专题11 期中真题常考百练通关（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题11 期中真题常考百练通关 基础·固本强基 题型1 勾股数（树） 题型2 实数的分类 题型3 确定位置 题型4 函数的概念 提升·进阶突破 题型5 用勾股定理理解三角形 题型6 利用勾股定理的逆定理求解 题型7 平方根与立方根的综合应用 题型8二次根式的运算 题型9 平面直角坐标系 拔高·压轴破难 题型10 一次函数的图象与性质 题型11 勾股定理的证明方法 题型12 勾股定理的应用 题型13 二次根式有关的新定义型问题 题型14 勾股定理与折叠 题型15 点坐标规律探究 题型16 一次函数的应用 题型17 一次函数与几何综合 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 勾股数（树）（共5小题） 【模型】勾股数树由基础勾股数生成，可迭代得到多组整数直角三角形三边。 【步骤】先找本原勾股数，按对应公式扩倍，快速写出多组勾股数。 【易错】勾股数必须是正整数，注意区分本原勾股数与倍数衍生勾股数。 1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】验证每组数中较小两数的平方和与最大数的平方是否相等且是否为正整数，即可判断是否为勾股数． 【详解】解：A．，不是勾股数； B、C、D组分别满足，，，均为勾股数． 2．（25-26八年级下·青海西宁·期中）下列各组数中，不是勾股数的一组是（    ） A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，17 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义，满足两较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数是勾股数，逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：A、，是勾股数，不符合要求； B、，，，不满足条件，不是勾股数，符合要求； C、，是勾股数，不符合要求； D、，是勾股数，不符合要求． 3．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）下列各组数中，是勾股数的是（） A． B．5，12，13 C．0.6，0.8，1 D．1，2，3 【答案】B 【分析】根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方进行分析判断即可． 【详解】解：A．， ∵， ∴ 不是勾股数； B．∵，且5，12，13都是正整数， ∴5，12，13是勾股数； C．∵0.6，0.8，1不都是正整数， ∴0.6，0.8，1不是勾股数； D．， ∴1，2，3不能构成三角形， ∴1，2，3不是勾股数． 4．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 【答案】25 【分析】分两种情况讨论，为最长边和为最长边，结合勾股定理计算后筛选符合条件的的值． 【详解】解：勾股数是满足勾股定理的三个正整数，分两种情况讨论： 当为最长边时，根据勾股定理得： 由，得 ，是正整数，符合要求； 当为最长边时，根据勾股定理得： 因为不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去． 5．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2026次后形成的图形中所有正方形的面积和是______． 【答案】2027 【分析】根据直角三角形性质得到“生长”规律，进而求解即可． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为：、，斜边为， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， 由图可知，“生长”次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴所有正方形的面积和为：， 由图可知，“生长”次后，所有正方形的面积和为：， …… 按此规律，“生长”次后，所有正方形的面积和为：． 题型2 实数的分类（共5小题） 【模型】实数分为有理数、无理数；有理数是可分数，无理数为无限不循环小数。 【步骤】先判断能否写成分数，再看小数形式，区分有理数与无理数。 【易错】带根号不一定是无理数，无限循环小数属于有理数。 6．（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】选项A，为整数，是有理数，不符合题意； 选项B，为分数，是有理数，不符合题意； 选项C，为整数，是有理数，不符合题意； 选项D，是无限不循环小数，是无理数，符合题意. 7．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）下列各数：，，，，0.6，7.3，3.14159，中，属于有理数的有（     ）个． A．5个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】本题根据有理数的定义，逐一判断给出的数，统计有理数的个数即可得到答案，用到的知识点为：有理数是整数和分数的统称，有限小数、百分数都可化为分数，属于有理数，无限不循环小数是无理数． 【详解】∵ 有理数是可表示为两个整数之比的数，包含整数、分数、有限小数、无限循环小数，无限不循环小数是无理数， ∴ 逐个判断各数： ：是无理数，因此是无理数，不属于有理数； 是有限小数，可化为分数，是有理数； ，是分数，是有理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 统计可得，有理数共有个， 因此选C． 8．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）在，，，（每两个之间的个数依次增加），，中，无理数的个数有______个． 【答案】 【分析】先将化简，再根据无理数的定义逐个判断各数即可求解． 【详解】解：是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； （每两个之间的个数依次增加）是无限不循环小数，是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开方开不尽的数，是无理数； 无理数有个． 9．（25-26七年级上·浙江温州·期中）把下列各数的序号填在横线上． ①0，②，③，④，⑤，⑥ 整数： ； 分数： ； 无理数： ． 【答案】整数：①⑤；分数：②③；无理数：④⑥ 【分析】本题考查实数的分类．整数包括正整数、负整数和零；分数包括正分数和负分数；无理数是无限不循环小数． 根据整数、分数和无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：①0是整数． ②，是分数． ③是分数． ④是无理数． ⑤，是整数． ⑥是无理数． 因此，整数：①⑤；分数：②③；无理数：④⑥． 10．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个之间依次多个）． (1)整数集合： ； (2)分数集合： ； (3)无理数集合： ． 【答案】(1)②③⑤ (2)①⑥⑦ (3)④⑧ 【分析】本题考查了有理数、实数和无理数的分类，熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键． （1）根据整数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据无理数的定义作答即可． 【详解】（1）解：②是整数，③是整数，⑤是整数， 整数集合：②③⑤， 故答案为：②③⑤； （2）解：①是分数，⑥是分数，⑦是分数， 分数集合：①⑥⑦， 故答案为：①⑥⑦； （3）解：④是无理数，⑧（相邻的两个之间依次多个）是无理数， 无理数集合：④⑧， 故答案为：④⑧． 题型3 确定位置（共5小题） 【模型】平面内确定点位置常用有序数对，两个数据缺一不可。 【步骤】先定横向序号，再定纵向序号，按顺序写成有序数对。 【易错】有序数对顺序不能调换，(a,b) 与 (b,a) 一般表示不同位置。 11．（25-26七年级下·云南曲靖·期中）曲靖市某学校七年级（3）班教室的座位，第2列第3排可以表示为，那么表示的位置是（   ） A．第4列第5排 B．第5列第4排 C．第4排第5列 D．第5排第4列 【答案】A 【分析】根据题干给出的有序数对的约定，确定两个数分别对应的位置含义即可判断． 【详解】解：∵第2列第3排可以表示为， ∴可得有序数对中第一个数对应第几列，第二个数对应第几排， ∴表示的位置是第4列第5排． 12．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）坐标方法是数学的一个重要方法，除了平面直角坐标系外，还可以用表示方位的角和距离来表示平面内物体的位置．例如，经测学校到遵义市政府的直线距离约3.9公里，其相对位置如图所示，则遵义市政府（点B）相对学校（点A）的位置可用方位坐标描述为（   ） A．（北偏西，） B．（西偏北，） C．（北偏西，） D．（东偏南，） 【答案】C 【分析】根据方位角的定义，以正北方向为基准，结合图形中给出的角度和已知距离，确定点B相对于点A的方向和距离即可． 【详解】解：由图可知，射线指向正北方向， ∵，且点B在点A的左侧（西方）， 点B在点A的北偏西方向． 又∵学校到遵义市政府的直线距离约3.9公里， ∴遵义市政府（点B）相对学校（点A）的位置可用方位坐标描述为（北偏西，） 13．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，在一次活动中，位于A处的小汪准备前往相距的B处与小丽会合．请你用方向和距离描述小汪相对于小丽的位置，其中描述正确的是（　　） A．小汪在小丽的北偏东，处 B．小汪在小丽的北偏东，处 C．小汪在小丽的南偏西，处 D．小汪在小丽的南偏西，处 【答案】A 【详解】解：由题意得，， ∴ ∴小汪在小丽的北偏东，处 14．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，如果用方位和距离描述，乐成镇在雁荡山的______． 【答案】南偏西的处 【分析】根据方位角的概念及位置的相对性，两地互为观测点时，方向相反，角度相等，距离相等，据此即可求解． 【详解】解：由图象可知，以乐成镇为观测点，雁荡山在乐成镇的北偏东方向，距离处． 根据位置的相对性，若以雁荡山为观测点，则乐成镇在雁荡山的相反方向，且距离不变． 北偏东的相反方向为南偏西． 所以乐成镇在雁荡山的南偏西的处． 15．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城特克斯县．以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方位和角度（）向外延伸出八条主街．如图，是以八卦文化广场为点绘制的简易地图，若点的位置用表示，点的位置用表示，则点的位置可以表示为___________． 【答案】 【分析】根据圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标，可得答案． 【详解】解：∵点的位置用表示，点的位置用表示， ∴点C的位置可以表示为． 题型4 函数的概念（共5小题） 【模型】在一个变化过程，x 每取一值，y 有唯一值对应，y 是 x 的函数。 【步骤】先辨变量，检验给定 x，判断是否只有唯一 y 与之对应。 【易错】一个 x 只能对应一个 y，一个 y 可对应多个 x，别搞反。 16．（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列选项中，y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，自变量在允许的取值范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：对于选项C，给定一个允许的值x，都只有唯一的y值与之对应，故能表示y是x的函数． 对于选项A、B、D，给定一个允许的值x，会出现多个y的值与之对应，故不能表示y是x的函数． 17．（26-27八年级上·安徽·期中）下列曲线中，能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义：在一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，结合图象进行判断即可． 【详解】解：对于选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数，符合题意； 对于、、三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有不止一个交点，从而不能表示是的函数，不符合题意． 18．（25-26八年级下·上海·期中）“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是___________． 【答案】时间 【分析】根据定义，主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量，据此即可判断求解． 【详解】解：由题意可知，气温随时间的变化而变化，其中时间是主动变化的量，气温是随时间变化的量，因此自变量是时间． 19．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列4个关系式中：① ② ③ ④，y不是x的函数的有_________个． 【答案】1 【分析】根据函数的定义，判断每个关系式中，对的任意一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应，统计不满足条件的个数即可得到结果． 【详解】解：根据函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则称是的函数， ① ，对于的每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； ② ，对于的每一个不为的确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； ③ ，当取任意一个正数时，有两个不同的确定的值与之对应，因此不是的函数； ④ ，对于的每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； 综上，不是的函数的有个． 20．（25-26八年级下·吉林·期中）如图（1）所示，用相同的实验装置分别加热质量相同的水和食用油，根据实验数据绘制了如图（2）所示的温度随时间变化的图象，则加热时间为6分钟时，水与食用油的温差为___________． 【答案】160 【分析】观察图象可得加热时间为6分钟时，水的温度为，食用油的温度为，即可求解． 【详解】解：观察图象得：加热时间为6分钟时，水的温度为，食用油的温度为， 所以加热时间为6分钟时，水与食用油的温差为． 提升·进阶突破 题型5 用勾股定理理解三角形（共5小题） 【模型】利用三边平方大小关系，判断三角形为直角、锐角或钝角三角形。 【步骤】算出较短两边平方和，与最长边平方比较，判定三角形形状。 【易错】必须选取最长边平方作对比，不要随意拿任意两边平方比较。 21．（25-26八年级下·北京·期中）在中，，如果，则（     ） A．6 B．8 C．10 D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题已知直角三角形的斜边长和两条直角边的比值，可利用勾股定理设参数求解的长度． 【详解】解：∵ ， ∴可设，，其中， ∵ 在中，，斜边， ∴ 由勾股定理得， ∴ ， 整理得， 即， ∵， ∴， ∴ ． 22．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知斜边与一条直角边，利用勾股定理求解另一条直角边长度即可． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 梯子的顶端距地面为． 23．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）如图，中，，，，则的长是______． 【答案】1 【详解】解：∵，，， ∴. 24．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在中，于点，，，高，求的长． 【答案】 【分析】由，则，在中，通过勾股定理得，从而求得，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，． 25．（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】24 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． ∵在中，，， ∴． 题型6 利用勾股定理的逆定理求解（共5小题） 【模型】已知三边，验证两短边平方和是否等于最长边平方，判定直角三角形。 【步骤】找出最长边，分别求三边平方，验算等式成立，确定直角。 【易错】要以最长边作为斜边，不可随便取两边平方和进行验算。 26．（25-26八年级下·广西百色·期中）如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再结合勾股定理逆定理求出即可． 【详解】解：，，， ， ，， ，， ， ． 27．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后利用进行计算即可解答． 【详解】解：如图，连接, ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 28．（25-26八年级下·天津·期中）已知，，，，，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】先使用勾股定理计算出，再根据勾股定理的逆定理判断出． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 29．（25-26八年级下·重庆丰都·期中）如图，四边形中，，，，．求四边形的面积． 【答案】33 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形为直角三角形，再由四边形面积三角形面积三角形面积，求出即可． 【详解】解：连接， 在中，，， 根据勾股定理得：，， ，， ， 为直角三角形，即， ． 30．（25-26八年级下·云南·期中）如图，在中， (1)求证： (2)作，D为垂足，求的长． 【答案】(1)证明：∵ ∴， ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据等面积法得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵ ∴． 题型7 平方根与立方根的综合应用（共5小题） 【模型】平方根非负，立方根正负均可；利用定义列方程求解参数。 【步骤】依据根的定义列式，求出未知数，检验是否满足取值限制。 【易错】平方根有两个（0 除外），立方根仅有一个，别漏或多写解。 31．（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，， ∴． 32．（25-26七年级下·山东日照·期中）是的平方根，是的立方根，则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．或5 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据平方根和立方根的定义求出和，分情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平方根， ∴， ∵是的立方根， ∴， 当时，， 当时，， 因此的值为或． 33．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知和分别是一个正数的平方根，实数b的立方根是，则的值为________． 【答案】 【分析】由平方根的性质可得，即得，由立方根的定义可得，最后代入即可求解． 【详解】解：∵和分别是一个正数的平方根， ∴， ∴， ∵实数b的立方根是， ∴， ∴， 34．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知正数有一个平方根是，的立方根是，求的值． 【答案】 【分析】先根据平方根和立方根的定义求出与，再计算即可． 【详解】解：∵正数有一个平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴． 35．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为． (1)求正数和的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程，求出的值，再求出正数即可； （2）根据立方根的定义求出值，再代入代数式求平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵的立方根为 ∴， 解得：， ∴，16的平方根为， ∴的平方根为． 题型8 二次根式的运算（共5小题） 【模型】二次根式运算遵循运算法则，结果化为最简二次根式。 【步骤】先化简根式，再合并同类二次根式，按顺序乘除加减计算。 【易错】运算中注意符号，分母不能带根号，勿忘化成最简根式。 36．（26-27八年级上·贵州·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算，即可得出答案． 【详解】解：A．，故本选项错误，不符合题意， B．，故本选项错误，不符合题意， C．，故本选项错误，不符合题意， D．，故本选项正确，符合题意． 37．（25-26八年级下·青海西宁·期中）计算：_____． 【答案】/ 【分析】本题考查积的乘方的逆用，平方差公式的应用，将原式拆分为同指数幂的乘积与剩余因式的乘积，逆用积的乘方法则，结合平方差公式化简计算即可． 【详解】解： ． 38．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 39．（26-27九年级上·四川·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 40．（26-27九年级上·四川·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)12 (2)2 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 题型9 平面直角坐标系（共5小题） 【模型】平面直角坐标系由两垂直数轴构成，点可用有序数对 (x,y) 唯一表示。 【步骤】过点分别作坐标轴垂线，读出横、纵坐标，写成有序数对。 【易错】有序数对顺序不可颠倒，坐标轴上的点不属于任何象限。 41．（25-26七年级下·陕西西安·期中）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点所在象限的坐标符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，结合图即可求解． 【详解】解：根据图可知，目标在第三象限，即坐标可能为，故选项C符合题意． 42．（26-27八年级上·甘肃·期中）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则___________． 【答案】 【详解】解：∵点在y轴上， ∴横坐标， 解得． 43．（25-26七年级下·福建厦门·期中）点到x轴和y轴的距离相等，则点P的坐标是______． 【答案】或 【分析】点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，根据距离相等列方程求解，再计算点的坐标． 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， 又点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， ∴当时，，，此时点坐标为； 当时，，，此时点坐标为． ∴点的坐标是或． 44．（26-27八年级上·新疆·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的； (2)直接写出，，三点的坐标：（______，______），（______，______）， （______，______）． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)，；，；1，2 【分析】（1）先确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据图形写出，，三点的坐标即可． 【详解】（1）略； （2）解：由图可得：，，． 45．（26-27八年级上·新疆·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． (1)在图中作，使和关于y轴对称； (2)写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） (3)点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)2，1；4，5；5，2 (3)如图，点P即为所求， 【分析】（1）分别作出三角形的三个顶点关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可； （2）根据图形写出点、、的坐标即可； （3）作出点B关于x轴的对称点，再连接交x轴于点P，根据两点之间线段最短求解． 【详解】（1）略； （2）解：由图可知，，，； （3）略． 拔高·压轴破难 题型10 一次函数的图象与性质（共5小题） 【模型】一次函数图象是直线，k 定增减，b 决定直线与 y 轴交点位置。 【步骤】确定 k、b 取值，画出图象，结合图象判断增减与经过象限。 【易错】k≠0 才是一次函数，k 正负决定增减，别混淆 k 与 b 作用。 46．（26-27八年级上·四川·期中）点和点都在直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于一次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，由，可得随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 47．（21-22八年级上·山东青岛·期中）如图，直线l是一次函数的图象，若点在直线l上，则m的值是______． 【答案】 0 【分析】直接根据图象即可得出结果. 【详解】解：由图象可知，直线l过点， 又点在直线l上， ∴. 48．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图像如图所示，且经过点，那么当________时，． 【答案】 【分析】利用一次函数的增减性，结合已知点的坐标，直接判断不等式的解集． 【详解】解：根据题图可知，该一次函数的随的增大加而增大，且点的坐标为， 故当时，． 49．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点，的坐标． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)6 (3)点C的坐标为或． 【分析】（1）分别令x、y为0，代入解析式求出对应的y、x值即可得到点A、B坐标； （2）根据三角形面积公式代入数据计算即可； （3）设点C的坐标为，先求出长，再解得m值即可． 【详解】（1）解：在中，当时，；当时，， ∴，； （2）解：； （3）解：设点C的坐标为， 由勾股定理得， ∵， ∴或． ∴点C的坐标为或． 50．（25-26八年级下·山西临汾·期中）已知一次函数与． (1)填空：一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为 和 ；一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为 和 ． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． (3)请问一次函数的图象经过怎样的运动变化可得到一次函数的图象． 【答案】(1)；；； (2)图见解析 (3)一次函数的图象向下平移6个单位长度可得到一次函数的图象 【分析】（1）分别令，，求出两个函数与坐标轴的交点即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据图象进行作答即可. 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， 故一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为和； 同法可知：一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为和； （2）解：由题意，作图如下： （3）解：由图象可知一次函数的图象向下平移6个单位长度可得到一次函数的图象. 题型11 勾股定理的证明方法（共5小题） 【模型】借助图形面积割补，用两种方式表示同一图形面积，推导出勾股关系式。 【步骤】分割拼接图形，分别列式表示面积，建立等式化简得到三边关系。 【易错】面积等量关系要找准，图形边长不要看错，区分直角边与斜边。 51．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， 故A选项能证明勾股定理； B、梯形的面积为：； 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴， 故B选项能证明勾股定理； C、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴， 故C选项能证明勾股定理； D、大正方形的面积为：； 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴D选项不能证明勾股定理． 52．（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图，两个全等的直角三角形与一个小直角梯形恰好拼成一个大直角梯形，请你利用此图证明勾股定理． 【答案】证明：如图． 由两个全等的直角三角形，得． ， ， ， ， ． 【分析】先说明，由图形可知，然后运用三角形的面积公式化简整理即可证明结论． 【详解】证明：略． 53．（25-26七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解； （2）根据勾股定理构造等量关系即可求得的长度，即可求解面积． 【详解】（1）解：， 且， ， ． （2）解：由题意设， ， ． ， ． 在中， 在中， ， 解得， ， ． ． 54．（25-26八年级下·广东东莞·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （4）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 55．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余推出，再根据可得证； （2）在中得，在中得，据此得到关于的方程，求解后可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， 观察图形可知：， ∴， ∴； （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，设， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即的值为． 题型12 勾股定理的应用（共5小题） 【模型】构造直角三角形，利用两直角边平方和等于斜边平方求解线段长度。 【步骤】找准直角，确定三边，代入勾股定理列式，计算并检验结果。 【易错】分清斜边与直角边，无直角时先作垂线构造直角三角形再求解。 56．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方体的长，宽，高，点在上，且．如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，那么它爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算到的距离，需分三种情况讨论：一是将前面和右面展开在同一平面；二是将前面和顶面展开在同一平面，三是将长方体的底面和右面展开在同一平面内，比较三种情况下的路径长度即可得出答案． 【详解】解：分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，如图1， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况二：将长方体的前面和顶面展开在同一平面内，如图2， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况三：将长方体的底面和右面展开在同一平面内，如图3， 由题意得：，， 在中，根据勾股定理得：， ，， ， 需要爬行的最短路程是． 57．（26-27八年级上·河北·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为___________ 【答案】/厘米 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴（负值舍去）． 58．（25-26八年级下·四川南充·期中）某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路．下图是施工图纸，，，，，，其中的长度不小心被污染了，但知道比长3m． (1)请你帮忙计算出的长度________； (2)求这片绿地（即四边形）的面积是多少？（小路忽略不计） 【答案】(1)12m (2) 【分析】（1）设m，则m，在直角三角形中，根据勾股定理构建方程求解即可； （2）根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，再根据四边形的面积计算求解. 【详解】（1）解：设m，则m， 在直角三角形中，根据勾股定理可得： ， ∴， 解得， 即的长度是12m； （2）解：在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴这片绿地（即四边形）的面积. 59．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际中的应用，正确理解勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可知，利用勾股定理即可解答； （2）结合题意得出，则，再利用勾股定理，算出的长，的大小即为物体升高的高度． 【详解】（1）解：由题可知，，， 绳长， 答：绳子的总长度为． （2）解：由题可知，滑块向左是水平滑动，则， ， 在直角三角形中， ， ， 物体升高， 答：物体升高了． 60．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为． 题型13 二次根式有关的新定义型问题（共5小题） 【模型】读懂二次根式新定义，按定义转化式子，结合根式性质运算求值 【步骤】阅读理解定义，代入对应数值，按二次根式规则化简计算作答。 【易错】严格遵从题目新定义，不可套用固有结论，留意二次根式有意义条件。 61．（25-26八年级下·河南商丘·期中），为不相等的两个实数，定义运算如下：，例如，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算、，相加即可． 【详解】解：， ∴， 62．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”，规定，如：，则________． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与二次根式的化简，理解新定义的运算规则是解题的关键． 根据新定义规则代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得． 63．（26-27七年级上·河北·期中）对于任意有理数和，定义一种新运算“”：，例如：，． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)3； (2)220 【分析】（1）根据新定义进行运算，即可得出答案； （2）根据新定义进行运算，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为， 所以． （2）解：因为， 所以， 所以． 64．（25-26七年级下·广西柳州·期中）【阅读理解】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． (2)若三个数，a，是“完美组合数”且其中两个数乘积的算术平方根为10，求a的值． 【答案】(1)，，这三个数是“完美组合数”，理由如下： ，， ，其结果15，10，6都是整数， ，，这三个互不相等的负整数是“完美组合数”． (2) 【分析】此题考查了算术平方根的应用，解题的关键是理解“完美组合数”的定义，利用分类讨论的思想进行求解，注意检验． （1）根据“完美组合数”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美组合数”的定义，以及题意，分两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：①当时，， 解得不符合题意，舍去； ②当时，， 解得， 此时，， 且结果10，40，20都是整数，，，这三个数是“完美组合数”，符合题意． 综上所述，． 65．（25-26七年级下·四川成都·期中）对于任意数，，，，我们规定． (1)计算的结果为 ； (2)对于数，，若，， ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式放置，点在边上，连接，．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)20 (2)①；②70 【分析】（1）根据新定义将数值代入计算即可； （2）①根据新定义可得，再结合利用完全平方公式可得，从而求解即可； ②先表示出，再根据，，分别计算求解即可． 【详解】（1）解：， 则的结果为20； （2）解：①，， ， ， ； ②由图可知： ， 由①可知：，， ， 则图中阴影部分的面积为70． 题型14 勾股定理与折叠（共5小题） 【模型】折叠前后边长相等，构造直角三角形，借助勾股定理列方程求线段 【步骤】利用折叠找等线段，设未知数，在 Rt△中根据勾股定理列方程求解。 【易错】找准折叠对应边，分清直角边斜边，设元时留意线段之间和差关系。 66．（25-26七年级下·北京·期中）阅读理解： (1)学习了实数这一章后，我们可以用折纸的方法研究纸的边长之间的关系，将纸按下图所示的方式折叠，可以得到纸的长与宽的比例关系，请你观察图片，写出纸长：宽=___________；已知纸的宽是1米，则纸的面积是___________平方米． (2)按照国际标准，B系列纸为长方形，将纸沿长边对折、裁开便成纸；将纸沿长边对折、裁开便成纸，将纸沿长边对折、裁开便成纸……按照这样的规律，纸的面积是___________平方米． 【答案】(1)； (2)/ 【分析】（1）① 设纸的长为a，宽为b，根据折叠形成的等腰直角三角形及由勾股定理求解即可； ② 已知纸的宽米，则长米，再根据长方形的面积公式求解即可． （2）观察图形，可知每次对折后，面积变为原来的，从到共对折5次，即可解答． 【详解】（1）解：① 设纸的长为a，宽为b．根据折叠形成的等腰直角三角形，由勾股定理得： ， ， 因此长与宽的比为． ② 已知纸的宽米，则长米，纸面积为：（平方米）． （2）解：观察图形，可知每次对折后，面积变为原来的，从到共对折5次，因此： （平方米）． 67．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 68．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）阅读与思考 如果两个正数、，即、，则有：① 又② ③ ， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：，； 即：函数的最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为____________________； (2)已知，则函数的最小值为_____，此时的值为_____； (3)若，试求函数的最小值． 【答案】(1)完全平方公式 (2)， (3) 【分析】本题考查了求最值的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． （1）识别运算步骤②所运用的公式． （2）把原函数化成，即可得到解答； （3）对函数进行变形，得到时，的最小值为 ． 【详解】（1）解：步骤②中运用的是完全平方公式，即（这里）， 故答案为：完全平方公式； （2）解： ， ． ． 当且仅当时取等号，解方程，得，即． 函数的最小值为，此时的值为， 故答案为：，； （3）解：， ， 将函数变形为． ， 当且仅当时取等号，解方程，得，即，， 函数的最小值为． 69．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 70．（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 【答案】(1) (2) (3)A0纸的长为，宽为 【分析】（1）根据系列纸的面积规律即可求出答案； （2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案； （3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米， A1纸的面积为平方米， A2纸的面积为平方米， A3纸的面积为平方米， A4纸的面积为平方米， A5纸的面积是平方米． （2）解：如图， 由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， ， ∵， ∴， ∵（负值不合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：纸的长为，宽为． 题型15 点坐标规律探究（共5小题） 【模型】观察点坐标变化，寻找循环或递推规律，推导第 n 个点坐标 【步骤】列出前几组坐标，发现周期规律，代入序号推算目标点坐标。 【易错】看清点运动方向，区分周期起点，不要混淆横纵坐标顺序。 71．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按……的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出四边形的周长为10，根据，由此即可解决问题． 【详解】解：∵，，，， ∴，，且四边形为矩形， ∴矩形的周长． ∵，， ∴细线的另一端落在点． 72．（25-26七年级下·北京西城·期中）如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，甲和乙由点同时出发，沿长方形的边作环绕运动．甲按逆时针方向以每秒2个单位长度匀速运动，乙按顺时针方向以每秒4个单位长度匀速运动，则甲和乙运动后第2026次相遇点的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据长方形的边长求出周长，利用甲乙的速度比求出每次相遇时甲运动的路程，进而求出前几次相遇点的坐标，发现每相遇3次回到出发点这一规律，利用周期性即可求解． 【详解】解：由图可知，长方形的长为，宽为， 长方形的周长为， 甲的速度为个单位/秒，乙的速度为个单位/秒， 甲、乙的速度比为， 每次相遇时，甲运动的路程为总路程的， 每次相遇甲、乙合走一圈， 每次相遇甲运动的路程为， 点坐标为，点坐标为， ， 甲从出发逆时针运动个单位到达，再运动个单位， ， 甲在边上，且距离点个单位， 第次相遇点的横坐标为，纵坐标为，即， 第次相遇时，甲累计运动的路程为， ， 甲运动到点后，再沿方向运动个单位， 第次相遇点的横坐标为，纵坐标为，即， 第3次相遇时，甲累计运动的路程为， 等于长方形周长， 甲回到出发点， 甲、乙每相遇次，就回到出发点，相遇点的坐标以次为一个循环周期， ， 第2026次相遇点的坐标与第次相遇点的坐标相同， 第2026次相遇点的坐标为． 73．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线经过点，且与轴平行，点，分别是轴和直线上的动点，且轴，连接，当取得最小值时，点的坐标是__________． 【答案】 【分析】将点向上平移1个单位得到，连接、，设，则，证明，得到，当最小时，取得最小值，再根据为定值，从而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案．解题的关键是将转化为． 【详解】解：将点向上平移1个单位得到，连接、， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小，即取得最小值， 又∵直线经过点，且与轴平行，轴，则，为定值， ∴此时取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 74．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，是长方形，为原点，点的坐标为，点的坐标为，且满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)______，______，点的坐标为______； (2)当点移动时，求出此时点的坐标； (3)在移动过程中，当点到轴的距离为7个单位长度时，求点移动的时间． 【答案】(1)，， (2) (3)点移动的时间为或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负数性质可得，，进而可得点坐标； （2）利用移动速度和时间求出移动距离，即可求出点位置，得出点坐标； （3）分点在边和边上两种情况，分别求出移动距离，再求出移动时间即可； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， 是长方形， ∴， ∵点在第一象限内， ∴． （2）解：∵点的速度为每秒2个单位长度，运动时间为， ∴移动的距离为， ∵， ∴时，点在边上，与点的距离为个单位长度，即，如图所示， ∴点的坐标为． （3）解：设移动时间为秒， ∵点到轴的距离为7个单位长度，， ∴或， 如图，当时， ∵点的速度为每秒2个单位长度， ∴； 当时，移动距离为， ∴； 综上所述：点移动的时间为或． 75．（25-26七年级下·江西南昌·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，点P的坐标为_______________； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为 4 个单位长度时，点P移动的时间为________； (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P的坐标． 【答案】(1)4， 6， (2) (3)2秒或6秒 (4)或 【分析】（1）先利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出，再得到，即可求解． （2）求出点P移动的路程，再除以时间即可求解． （3）确定出当点P到x轴的距离为4个单位长度时的坐标，再利用路程除以速度即可求解． （4）求出边上的高为2时即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （2）解：点P移动时，运动路程为个单位， ∵，， ∴点P在上，距离点C两个单位长度， ∴； （3）解：在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，则或， 当运动到时，时间为， 当运动到时，时间为， ∴点P移动的时间为或； （4）解：∵点B的坐标为， ∴， ∴当三角形的面积等于6时，边上的高为，，此时，点在上或上， ∴或． 题型16 一次函数的应用（共5小题） 【模型】建立一次函数模型，用解析式、图象解决实际数量变化问题 【步骤】找等量关系列函数，确定自变量范围，代入求值并检验实际意义。 【易错】注意自变量取值限制，结果要符合实际，区分 k 的实际含义。 76．（25-26八年级下·四川南充·期中）为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数图象；则下列说法正确的是（     ） A．若小王家某月用水，则当月水费为20元 B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为 C．若当月用水，则当月水费45元 D．若当月用水超过，则每多用水，当月水费就多4元 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再逐项判断，即可． 【详解】解：当时，设当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 把点代入得，解得：， ∴当时，当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，同理当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，，即小王家某月用水，则当月水费为24元，故A选项错误； 当时，，解得：， 即小王家某月水费为45元，则当月用水量为，故B选项正确；C选项错误； ∵， ∴当月用水超过，则每多用水，当月水费就多5元，故D选项错误． 77．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．该产品的销售量超过______吨时，生产该产品才能盈利． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数的实际应用；解题的关键是理解两直线交点的实际意义，交点处销售收入等于销售成本，超过该点则开始盈利． 先找到直线与的交点，交点的横坐标即为盈亏平衡点，当销售量超过该值时，销售收入大于销售成本，开始盈利． 【详解】解：由图可知，直线与的交点坐标为， 即当销售量为吨时，销售收入等于销售成本； 当销售量吨时，在上方，即销售收入大于销售成本，产品开始盈利． 故答案为：． 78．（25-26八年级下·贵州六盘水·期中）活动中心想打造属于自己的文化品牌，在每一届夏令营结束后给孩子们送一个纪念品，了解到两家制作纪念品的公司的优惠方案分别如下： 甲：优惠后采购所需费用（元）与优惠前所需费用（元）满足如图所示的函数关系； 乙：优惠后采购所需费用（元）与优惠前所需费用（元）满足如图所示的函数关系． 根据图象中的信息，回答下列问题： (1)请分别求出和与之间的函数关系式； (2)请根据函数图象描述乙公司的优惠方案； (3)如果你是负责此次纪念品采购的工作人员，请通过计算说明选择哪家公司更省钱？ 【答案】(1)； (2)乙公司的优惠方案是当购买费用在元及元以内时，不打折；购买费用高于元时，超过元的部分打折 (3)若此次采购优惠前费用小于元，则选择甲公司更省钱；若此次采购优惠前费用大于元，则选择乙公司更省钱；若此次采购优惠前费用等于元，则两家公司费用相同． 【分析】（1）用待定系数法分别求出和与之间的函数关系式即可； （2）结合函数图象回答即可； （3）根据两个函数的交点以及一元一次不等式的应用可得出结论． 【详解】（1）解：由题图可设， 的函数图象过点，代入可得，， 解得， ； 当时，设， 的函数图象经过点， 代入可得， 解得， 当时，； 当时，设，的函数图象经过点，， 代入得， 解得， 当时，， ； （2）当时，， 乙公司的优惠方案是当购买费用在元及元以内时，不打折；购买费用高于元时，超过元的部分打折； （3）当时， 解得， 当时，两家公司费用相同； 当时， 解得， 当时，甲公司更省钱； 当， 解得， 当时，乙更省钱． 79．（25-26八年级下·河南南阳·期中）小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【答案】(1)小丽：；小明： (2) (3) 【分析】（1）根据速度路程时间计算即可； （2）求出点B的坐标，由路程速度时间写出线段所在直线的函数表达式即可； （3）写出线段所在直线的函数表达式，求出与交点坐标，再根据出发点与山庄之间的距离计算小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程即可． 【详解】（1）解：小丽骑行的速度为， ， ∴， 小明骑行的速度为． 答：小丽骑行的速度为，小明骑行的速度为； （2）解：， ， ∴， ， ∴线段所在直线的函数表达式为； （3）解：线段所在直线的函数表达式， 当小明第二次追上小丽时，得 ， 解得， ． 答：小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程为． 80．（25-26八年级下·河南周口·期中）随着新能源汽车的普及，快充技术成为提升用车体验的关键．某新能源汽车品牌研发中心为测试旗下新款车型的充电效率，安排实验团队分别用快充充电器和普通充电器对汽车电池进行充电测试，得到电池电量（占电池容量的百分比）与充电时间（单位：h）的函数图象；快充的电量变化为折线，普通充电的电量变化为线段．根据测试数据，图象标注：点，，，． 请结合图象和数据，解答下列问题． (1)求段的函数表达式． (2)若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 【答案】(1) (2)将汽车电量从充至，快充比普充少用时间小时． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）求出段的解析式，将代入两解析式求出x的值，然后求差解答即可． 【详解】（1）解：设段的函数解析式为． 将代入得， 解得． 因此，段的函数解析式为：； （2）解：将代入解析式得， 解得：（小时）， 设段解析式为，将、代入得， ， 解得， ∴， 将代入段解析式得， 解得：（小时）， 将汽车电量从充至，快充比普充少用时间：（小时）． 题型17 一次函数与几何综合（共5小题） 【模型】结合一次函数解析式求交点，搭配几何性质、勾股定理求解线段与面积 【步骤】求函数交点坐标，转化线段长，运用几何公式列式计算。 【易错】坐标转线段长勿忘绝对值，看清图形位置，注意多解情况。 81．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，将一个等腰直角三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为16 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 【答案】D 【分析】先求出直线与轴交于点，由图2可得：当时，开始大于，即此时直线开始与相交，直线向左平移了两个单位长度，故点的坐标为，即可判断A选项错误；当时，该直线被的边截得的线段最大，结合图1可得，此时经过点，平移了秒，从而可得点的坐标为，进而得出，求出，，的面积为，即可判断B选项错误；待定系数法求出直线的解析式为，即可判断C选项错误；当时，该直线被的边截得的线段最大，且过点，此时截得的线段长度，即可判断D选项正确． 【详解】解：在直线中，令，则， 解得， ∴直线与轴交于点， 由图2可得：当时，开始大于，即此时直线开始与相交，直线向左平移了两个单位长度， 故点的坐标为，即，故A选项错误，不符合题意； 当时，该直线被的边截得的线段最大，结合图1可得，此时经过点，平移了秒， ∴点的坐标为，即， ∴， ∴，，的面积为，故B选项错误； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为，故C选项错误； 当时，该直线被的边截得的线段最大，且过点，此时截得的线段长度，即D点坐标为，故D选项正确． 82．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为，过点向上作轴，且，连接，若直线与有公共点，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】求出直线经过点和点时，的值，即可得出结果． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，轴，且， ∴，； 当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得； ∴当直线与有公共点时，． 83．（25-26八年级下·广西北海·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，按如图方式作等腰直角三角形、、、…，、、，…在直线上，、、、…在轴上，连交于点，连交于点，连交于点，…，若图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为、、、…、，则的值______． 【答案】 【分析】求出的坐标，进而求出的坐标，求出的坐标，求出直线的解析式，联立求出的坐标，进而求出，同法求出，得到对应规律作答即可. 【详解】解：直线，令得，令，则， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形； ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，； 故横坐标为1，代入得， ∴，同理得， ， ∴纵坐标为， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 同理，， 联立，解得， ∴， ∴，， ∴； 同法可得：的解析式为，的解析式为，交点， ， ， 故. 84．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴负半轴交于点，，直线与直线交于点． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)将直线沿射线方向平移个单位长度得到新直线，在新直线上是否存在点，使得与新直线的夹角为，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求出点和，设，然后分第一象限和第三象限两种情况，利用铅锤法求面积，列式进行计算即可求解； （3）将直线沿射线方向平移个单位长度，相当于将直线向右和向上分别平移了4个单位，则，设该直线交y轴于点，设符合条件的点为点M、，过点A作交于点H，过点H作轴交y轴于点G，交过点M与y轴的平行线于点N，证明，求出点M、H的坐标，即可求解． 【详解】（1）解；∵， ∴点， 将点B的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：． （2）解：∵直线的表达式为， ∴令，则， ∴， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴， 设， 当点P在第一象限时，设直线解析式为：， 将，代入，得， 解得， ∴， 令，则， 设直线与y轴交于点D， 则D坐标为， ， 解得或5， ∵， ∴， ∴； 当点P在第三象限时，如图， 设直线解析式为：， 将，代入，得， 解得， ∴直线解析式， 令，则， 设直线与y轴交于点E， 则E坐标为， ， 解得， ∴； 综上所述，点或． （3）解：存在，理由如下： 如图，等腰直角，， ∴，， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴将直线沿射线方向平移个单位长度，相当于将直线向右和向上分别平移了4个单位，则，该直线交y轴于点， 设符合条件的点为点M、， 过点A作交于点H，过点H作轴交y轴于点G，交过点M与y轴的平行线于点N， 则为等腰直角三角形，则，， 设点，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则，且， 解得且， 则点，， 由题意得，点M和点关于点H对称， ∴由中点坐标公式，得； 综上所述，点M或． 85．（海南儋州市2025-2026学年八年级下学期期中学业质量监测数学试题）阅读材料：通过前面的学习我们已经知道了两点之间的距离，点到直线的距离和两条平行线间的距离，那么我们如何在平面直角坐标系中求这些距离呢? 【模型解析】 如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，由勾股定理得，所以、两点间的距离为．这样就可以求出平面直角坐标系中任意两点间的距离． 我们用下面的公式可以求出平面直角坐标系中任意一点到某条直线的距离：已知点和直线，则点到直线的距离可用公式．例如求点到直线的距离：解：因为直线可变形为，其中，． 所以点到直线的距离为． 根据以上材料，解决下列问题： 【模型应用】 (1)已知，求线段的长度； (2)求点到直线的距离； 【应用拓展】 (3)已知直线与平行，求这两条直线的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点之间的距离公式求出的长度； （2）首先直线变形为，根据点到直线的距离公式求出； （3）首先求出直线上的一点坐标，再根据点到直线的距离公式求出直线与的距离． 【详解】（1）解：，， ， 即线段的长度为； （2）解：直线可变形为， 其中，， ， ； （3）解：令，， 点在直线上， 直线可变形为， 其中，， 点到直线的距离为：， 直线与的距离为． $专题11 期中真题常考百练通关 基础·固本强基 题型1 勾股数（树） 题型2 实数的分类 题型3 确定位置 题型4 函数的概念 提升·进阶突破 题型5 用勾股定理理解三角形 题型6 利用勾股定理的逆定理求解 题型7 平方根与立方根的综合应用 题型8二次根式的运算 题型9 平面直角坐标系 拔高·压轴破难 题型10 一次函数的图象与性质 题型11 勾股定理的证明方法 题型12 勾股定理的应用 题型13 二次根式有关的新定义型问题 题型14 勾股定理与折叠 题型15 点坐标规律探究 题型16 一次函数的应用 题型17 一次函数与几何综合 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 勾股数（树）（共5小题） 【模型】勾股数树由基础勾股数生成，可迭代得到多组整数直角三角形三边。 【步骤】先找本原勾股数，按对应公式扩倍，快速写出多组勾股数。 【易错】勾股数必须是正整数，注意区分本原勾股数与倍数衍生勾股数。 1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级下·青海西宁·期中）下列各组数中，不是勾股数的一组是（    ） A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，17 3．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）下列各组数中，是勾股数的是（） A． B．5，12，13 C．0.6，0.8，1 D．1，2，3 4．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 5．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2026次后形成的图形中所有正方形的面积和是______． 题型2 实数的分类（共5小题） 【模型】实数分为有理数、无理数；有理数是可分数，无理数为无限不循环小数。 【步骤】先判断能否写成分数，再看小数形式，区分有理数与无理数。 【易错】带根号不一定是无理数，无限循环小数属于有理数。 6．（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 7．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）下列各数：，，，，0.6，7.3，3.14159，中，属于有理数的有（     ）个． A．5个 B．4个 C．6个 D．8个 8．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）在，，，（每两个之间的个数依次增加），，中，无理数的个数有______个． 9．（25-26七年级上·浙江温州·期中）把下列各数的序号填在横线上． ①0，②，③，④，⑤，⑥ 整数： ； 分数： ； 无理数： ． 10．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个之间依次多个）． (1)整数集合： ； (2)分数集合： ； (3)无理数集合： ． 题型3 确定位置（共5小题） 【模型】平面内确定点位置常用有序数对，两个数据缺一不可。 【步骤】先定横向序号，再定纵向序号，按顺序写成有序数对。 【易错】有序数对顺序不能调换，(a,b) 与 (b,a) 一般表示不同位置。 11．（25-26七年级下·云南曲靖·期中）曲靖市某学校七年级（3）班教室的座位，第2列第3排可以表示为，那么表示的位置是（   ） A．第4列第5排 B．第5列第4排 C．第4排第5列 D．第5排第4列 12．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）坐标方法是数学的一个重要方法，除了平面直角坐标系外，还可以用表示方位的角和距离来表示平面内物体的位置．例如，经测学校到遵义市政府的直线距离约3.9公里，其相对位置如图所示，则遵义市政府（点B）相对学校（点A）的位置可用方位坐标描述为（   ） A．（北偏西，） B．（西偏北，） C．（北偏西，） D．（东偏南，） 13．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，在一次活动中，位于A处的小汪准备前往相距的B处与小丽会合．请你用方向和距离描述小汪相对于小丽的位置，其中描述正确的是（　　） A．小汪在小丽的北偏东，处 B．小汪在小丽的北偏东，处 C．小汪在小丽的南偏西，处 D．小汪在小丽的南偏西，处 14．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，如果用方位和距离描述，乐成镇在雁荡山的______． 15．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城特克斯县．以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方位和角度（）向外延伸出八条主街．如图，是以八卦文化广场为点绘制的简易地图，若点的位置用表示，点的位置用表示，则点的位置可以表示为___________． 题型4 函数的概念（共5小题） 【模型】在一个变化过程，x 每取一值，y 有唯一值对应，y 是 x 的函数。 【步骤】先辨变量，检验给定 x，判断是否只有唯一 y 与之对应。 【易错】一个 x 只能对应一个 y，一个 y 可对应多个 x，别搞反。 16．（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列选项中，y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 17．（26-27八年级上·安徽·期中）下列曲线中，能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级下·上海·期中）“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是___________． 19．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列4个关系式中：① ② ③ ④，y不是x的函数的有_________个． 20．（25-26八年级下·吉林·期中）如图（1）所示，用相同的实验装置分别加热质量相同的水和食用油，根据实验数据绘制了如图（2）所示的温度随时间变化的图象，则加热时间为6分钟时，水与食用油的温差为___________． 提升·进阶突破 题型5 用勾股定理理解三角形（共5小题） 【模型】利用三边平方大小关系，判断三角形为直角、锐角或钝角三角形。 【步骤】算出较短两边平方和，与最长边平方比较，判定三角形形状。 【易错】必须选取最长边平方作对比，不要随意拿任意两边平方比较。 21．（25-26八年级下·北京·期中）在中，，如果，则（     ） A．6 B．8 C．10 D．以上都不是 22．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）如图，中，，，，则的长是______． 24．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在中，于点，，，高，求的长． 25．（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在四边形中，，，，，求的长． 题型6 利用勾股定理的逆定理求解（共5小题） 【模型】已知三边，验证两短边平方和是否等于最长边平方，判定直角三角形。 【步骤】找出最长边，分别求三边平方，验算等式成立，确定直角。 【易错】要以最长边作为斜边，不可随便取两边平方和进行验算。 26．（25-26八年级下·广西百色·期中）如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． 27．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（    ） A． B．8 C． D． 28．（25-26八年级下·天津·期中）已知，，，，，连接，则的度数为______． 29．（25-26八年级下·重庆丰都·期中）如图，四边形中，，，，．求四边形的面积． 30．（25-26八年级下·云南·期中）如图，在中， (1)求证： (2)作，D为垂足，求的长． 题型7 平方根与立方根的综合应用（共5小题） 【模型】平方根非负，立方根正负均可；利用定义列方程求解参数。 【步骤】依据根的定义列式，求出未知数，检验是否满足取值限制。 【易错】平方根有两个（0 除外），立方根仅有一个，别漏或多写解。 31．（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 32．（25-26七年级下·山东日照·期中）是的平方根，是的立方根，则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．或5 33．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知和分别是一个正数的平方根，实数b的立方根是，则的值为________． 34．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知正数有一个平方根是，的立方根是，求的值． 35．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为． (1)求正数和的值； (2)求的平方根． 题型8 二次根式的运算（共5小题） 【模型】二次根式运算遵循运算法则，结果化为最简二次根式。 【步骤】先化简根式，再合并同类二次根式，按顺序乘除加减计算。 【易错】运算中注意符号，分母不能带根号，勿忘化成最简根式。 36．（26-27八年级上·贵州·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 37．（25-26八年级下·青海西宁·期中）计算：_____． 38．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算：． 39．（26-27九年级上·四川·期中）计算： (1)； (2)． 40．（26-27九年级上·四川·期中）计算： (1) (2) 题型9 平面直角坐标系（共5小题） 【模型】平面直角坐标系由两垂直数轴构成，点可用有序数对 (x,y) 唯一表示。 【步骤】过点分别作坐标轴垂线，读出横、纵坐标，写成有序数对。 【易错】有序数对顺序不可颠倒，坐标轴上的点不属于任何象限。 41．（25-26七年级下·陕西西安·期中）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 42．（26-27八年级上·甘肃·期中）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则___________． 43．（25-26七年级下·福建厦门·期中）点到x轴和y轴的距离相等，则点P的坐标是______． 44．（26-27八年级上·新疆·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的； (2)直接写出，，三点的坐标：（______，______），（______，______）， （______，______）． 45．（26-27八年级上·新疆·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． (1)在图中作，使和关于y轴对称； (2)写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） (3)点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 拔高·压轴破难 题型10 一次函数的图象与性质（共5小题） 【模型】一次函数图象是直线，k 定增减，b 决定直线与 y 轴交点位置。 【步骤】确定 k、b 取值，画出图象，结合图象判断增减与经过象限。 【易错】k≠0 才是一次函数，k 正负决定增减，别混淆 k 与 b 作用。 46．（26-27八年级上·四川·期中）点和点都在直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D． 47．（21-22八年级上·山东青岛·期中）如图，直线l是一次函数的图象，若点在直线l上，则m的值是______． 48．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图像如图所示，且经过点，那么当________时，． 49．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点，的坐标． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标． 50．（25-26八年级下·山西临汾·期中）已知一次函数与． (1)填空：一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为 和 ；一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为 和 ． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． (3)请问一次函数的图象经过怎样的运动变化可得到一次函数的图象． 题型11 勾股定理的证明方法（共5小题） 【模型】借助图形面积割补，用两种方式表示同一图形面积，推导出勾股关系式。 【步骤】分割拼接图形，分别列式表示面积，建立等式化简得到三边关系。 【易错】面积等量关系要找准，图形边长不要看错，区分直角边与斜边。 51．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（     ）． A． B． C． D． 52．（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图，两个全等的直角三角形与一个小直角梯形恰好拼成一个大直角梯形，请你利用此图证明勾股定理． 53．（25-26七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 54．（25-26八年级下·广东东莞·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 55．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 题型12 勾股定理的应用（共5小题） 【模型】构造直角三角形，利用两直角边平方和等于斜边平方求解线段长度。 【步骤】找准直角，确定三边，代入勾股定理列式，计算并检验结果。 【易错】分清斜边与直角边，无直角时先作垂线构造直角三角形再求解。 56．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方体的长，宽，高，点在上，且．如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，那么它爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 57．（26-27八年级上·河北·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为___________ 58．（25-26八年级下·四川南充·期中）某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路．下图是施工图纸，，，，，，其中的长度不小心被污染了，但知道比长3m． (1)请你帮忙计算出的长度________； (2)求这片绿地（即四边形）的面积是多少？（小路忽略不计） 59．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 60．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 题型13 二次根式有关的新定义型问题（共5小题） 【模型】读懂二次根式新定义，按定义转化式子，结合根式性质运算求值 【步骤】阅读理解定义，代入对应数值，按二次根式规则化简计算作答。 【易错】严格遵从题目新定义，不可套用固有结论，留意二次根式有意义条件。 61．（25-26八年级下·河南商丘·期中），为不相等的两个实数，定义运算如下：，例如，，则的值为（    ） A． B． C． D． 62．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”，规定，如：，则________． 63．（26-27七年级上·河北·期中）对于任意有理数和，定义一种新运算“”：，例如：，． (1)求的值； (2)求的值； 64．（25-26七年级下·广西柳州·期中）【阅读理解】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． (2)若三个数，a，是“完美组合数”且其中两个数乘积的算术平方根为10，求a的值． 65．（25-26七年级下·四川成都·期中）对于任意数，，，，我们规定． (1)计算的结果为 ； (2)对于数，，若，， ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式放置，点在边上，连接，．若，，，，求图中阴影部分的面积． 题型14 勾股定理与折叠（共5小题） 【模型】折叠前后边长相等，构造直角三角形，借助勾股定理列方程求线段 【步骤】利用折叠找等线段，设未知数，在 Rt△中根据勾股定理列方程求解。 【易错】找准折叠对应边，分清直角边斜边，设元时留意线段之间和差关系。 66．（25-26七年级下·北京·期中）阅读理解： (1)学习了实数这一章后，我们可以用折纸的方法研究纸的边长之间的关系，将纸按下图所示的方式折叠，可以得到纸的长与宽的比例关系，请你观察图片，写出纸长：宽=___________；已知纸的宽是1米，则纸的面积是___________平方米． (2)按照国际标准，B系列纸为长方形，将纸沿长边对折、裁开便成纸；将纸沿长边对折、裁开便成纸，将纸沿长边对折、裁开便成纸……按照这样的规律，纸的面积是___________平方米． 67．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 68．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）阅读与思考 如果两个正数、，即、，则有：① 又② ③ ， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：，； 即：函数的最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为____________________； (2)已知，则函数的最小值为_____，此时的值为_____； (3)若，试求函数的最小值． 69．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 70．（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 题型15 点坐标规律探究（共5小题） 【模型】观察点坐标变化，寻找循环或递推规律，推导第 n 个点坐标 【步骤】列出前几组坐标，发现周期规律，代入序号推算目标点坐标。 【易错】看清点运动方向，区分周期起点，不要混淆横纵坐标顺序。 71．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按……的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 72．（25-26七年级下·北京西城·期中）如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，甲和乙由点同时出发，沿长方形的边作环绕运动．甲按逆时针方向以每秒2个单位长度匀速运动，乙按顺时针方向以每秒4个单位长度匀速运动，则甲和乙运动后第2026次相遇点的坐标是_____． 73．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线经过点，且与轴平行，点，分别是轴和直线上的动点，且轴，连接，当取得最小值时，点的坐标是__________． 74．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，是长方形，为原点，点的坐标为，点的坐标为，且满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)______，______，点的坐标为______； (2)当点移动时，求出此时点的坐标； (3)在移动过程中，当点到轴的距离为7个单位长度时，求点移动的时间． 75．（25-26七年级下·江西南昌·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，点P的坐标为_______________； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为 4 个单位长度时，点P移动的时间为________； (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P的坐标． 题型16 一次函数的应用（共5小题） 【模型】建立一次函数模型，用解析式、图象解决实际数量变化问题 【步骤】找等量关系列函数，确定自变量范围，代入求值并检验实际意义。 【易错】注意自变量取值限制，结果要符合实际，区分 k 的实际含义。 76．（25-26八年级下·四川南充·期中）为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数图象；则下列说法正确的是（     ） A．若小王家某月用水，则当月水费为20元 B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为 C．若当月用水，则当月水费45元 D．若当月用水超过，则每多用水，当月水费就多4元 77．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．该产品的销售量超过______吨时，生产该产品才能盈利． 78．（25-26八年级下·贵州六盘水·期中）活动中心想打造属于自己的文化品牌，在每一届夏令营结束后给孩子们送一个纪念品，了解到两家制作纪念品的公司的优惠方案分别如下： 甲：优惠后采购所需费用（元）与优惠前所需费用（元）满足如图所示的函数关系； 乙：优惠后采购所需费用（元）与优惠前所需费用（元）满足如图所示的函数关系． 根据图象中的信息，回答下列问题： (1)请分别求出和与之间的函数关系式； (2)请根据函数图象描述乙公司的优惠方案； (3)如果你是负责此次纪念品采购的工作人员，请通过计算说明选择哪家公司更省钱？ 79．（25-26八年级下·河南南阳·期中）小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 80．（25-26八年级下·河南周口·期中）随着新能源汽车的普及，快充技术成为提升用车体验的关键．某新能源汽车品牌研发中心为测试旗下新款车型的充电效率，安排实验团队分别用快充充电器和普通充电器对汽车电池进行充电测试，得到电池电量（占电池容量的百分比）与充电时间（单位：h）的函数图象；快充的电量变化为折线，普通充电的电量变化为线段．根据测试数据，图象标注：点，，，． 请结合图象和数据，解答下列问题． (1)求段的函数表达式． (2)若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 题型17 一次函数与几何综合（共5小题） 【模型】结合一次函数解析式求交点，搭配几何性质、勾股定理求解线段与面积 【步骤】求函数交点坐标，转化线段长，运用几何公式列式计算。 【易错】坐标转线段长勿忘绝对值，看清图形位置，注意多解情况。 81．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，将一个等腰直角三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为16 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 82．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为，过点向上作轴，且，连接，若直线与有公共点，则的取值范围为__________． 83．（25-26八年级下·广西北海·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，按如图方式作等腰直角三角形、、、…，、、，…在直线上，、、、…在轴上，连交于点，连交于点，连交于点，…，若图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为、、、…、，则的值______． 84．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴负半轴交于点，，直线与直线交于点． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)将直线沿射线方向平移个单位长度得到新直线，在新直线上是否存在点，使得与新直线的夹角为，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由 85．（海南儋州市2025-2026学年八年级下学期期中学业质量监测数学试题）阅读材料：通过前面的学习我们已经知道了两点之间的距离，点到直线的距离和两条平行线间的距离，那么我们如何在平面直角坐标系中求这些距离呢? 【模型解析】 如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，由勾股定理得，所以、两点间的距离为．这样就可以求出平面直角坐标系中任意两点间的距离． 我们用下面的公式可以求出平面直角坐标系中任意一点到某条直线的距离：已知点和直线，则点到直线的距离可用公式．例如求点到直线的距离：解：因为直线可变形为，其中，． 所以点到直线的距离为． 根据以上材料，解决下列问题： 【模型应用】 (1)已知，求线段的长度； (2)求点到直线的距离； 【应用拓展】 (3)已知直线与平行，求这两条直线的距离． $