专题12 期中真题易错百练通关（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题12 期中真题易错百练通关 基础·固本强基 题型1 利用勾股定理求解 题型2 平方根与立方根的综合应用 题型3 已知最简二次根式求参数 提升·进阶突破 题型4 二次根式的混合运算 题型5 求点到坐标轴的距离 题型6 轴对称与坐标变化 拔高·压轴破难 题型7 勾股定理与折叠 题型8 立体图形中的最短路径问题 题型9 一次函数图象平移问题 题型10 一次函数的应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 利用勾股定理求解（共5小题） 【模型】在直角三角形中，两直角边平方之和等于斜边平方，用于求边长。 【步骤】确定直角，分清斜边直角边，代入公式列式，计算线段长度。 【易错】认准斜边，非直角三角形不可直接使用，注意分类讨论多解。 1．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）若一个直角三角形的两边分别为和，则第三边为（   ） A． B． C．或 D． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）直角三角形两边长分别是，，第三边是（    ） A． B．或 C．或 D．无法确定 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 5．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知是直角边长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第一个等腰，再以的斜边为直角边，画第二个等腰，……，依此类推，第2026个等腰直角三角形的面积是_____________． 题型2 平方根与立方根的综合应用（共5小题） 【模型】平方根非负，立方根正负均可；利用定义列方程求解参数。 【步骤】依据根的定义列式，求出未知数，检验是否满足取值限制。 【易错】平方根有两个（0 除外），立方根仅有一个，别漏或多写解。 6．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 7．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 8．（25-26七年级下·山东德州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 9．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)是小于的最大整数，求的平方根． 10．（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 题型3 已知最简二次根式求参数（共5小题） 【模型】利用最简二次根式定义，列等式求解参数，同时满足根式有意义。 【步骤】对照最简根式条件列方程，算出参数后代入检验根式是否最简。 【易错】求出参数务必回代检验，不能忽略被开方数是非负数这一条件。 11．（25-26八年级下·云南昆明·期中）若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 13．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）若与最简二次根式能合并，则的值为__________． 14．（25-26八年级下·山东临沂·期中）已知最简二次根式与能合并，求m的值． 15．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 提升·进阶突破 题型4 二次根式的混合运算（共5小题） 【模型】二次根式混合运算遵循整式运算顺序，结果化为最简二次根式。 【步骤】先乘方再乘除后加减，有括号先算括号，合并同类二次根式。 【易错】乘法公式可直接套用，注意符号，最终结果必须化成最简根式。 16．（26-27九年级上·四川·期中）下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·山东滨州·期末）计算：=________． 18．（26-27九年级上·四川·期中）计算： 19．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)． (2)． 20．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型5 求点到坐标轴的距离（共5小题） 【模型】点(x,y)到 x 轴距离为纵坐标绝对值，到 y 轴距离为横坐标绝对值。 【步骤】找准点的横、纵坐标，分别取绝对值，得到到两条坐标轴的距离。 【易错】距离一定是非负数，不要直接用坐标值，忘记添加绝对值符号。 21．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为3，到y轴的距离是2，下列选项中，不可能是点P的坐标的是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级下·河北唐山·期中）若点的横坐标为，且到轴的距离为3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 23．（25-26八年级下·山东泰安·期中）如图，在长方形中，，，，则点的坐标为________． 24．（25-26七年级下·四川广元·期中）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，且点P到x轴的距离为2，则的值为_______． 25．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）已知点，根据下列条件，求出点A的坐标． (1)若点A在x轴上； (2)若点A在过点且与x轴平行的直线上． 题型6 轴对称与坐标变化（共5小题） 【模型】平面内点关于坐标轴对称，坐标按固定规律变换，可直接写对称点坐标。 【步骤】分清对称轴，套用坐标变化规律，写出对称点并核对符号变化。 【易错】区分 x 轴、y 轴对称的坐标符号变化，不要混淆横纵坐标。 26．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的坐标为（      ） A． B． C． D． 27．（25-26七年级下·西藏·期中）点P的坐标为，则点P关于x轴的对称点的坐标为_______________ 28．（25-26八年级下·湖南·期中）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为____________． 29．（26-27八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，． (1)已知与关于轴对称，请直接写出三个顶点的坐标，并在坐标系中画出； (2)在轴上找一点，使得的周长最小，请在坐标系中画出点的位置，并直接写出点的坐标． 30．（25-26八年级下·上海宝山·期中）在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图平面直角坐标系，原点及的顶点都在格点上． (1)直接写出、、的坐标； (2)请画出关于轴的对称图形； (3)求的面积． 拔高·压轴破难 题型7 勾股定理与折叠（共5小题） 【模型】折叠前后边长相等，构造直角三角形，借助勾股定理列方程求线段 【步骤】利用折叠找等线段，设未知数，在 Rt△中根据勾股定理列方程求解。 【易错】找准折叠对应边，分清直角边斜边，设元时留意线段之间和差关系。 31．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 32．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一直角三角形纸片，在中，，，，点D在上，现将沿直线折叠，使它落在上，点C的对应点为点E，则的长为________． 33．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是______． 34．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在纸片中，，，，折叠，使、两点重合，折痕为，、分别在、上，连接，求的长． 35．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 题型8 立体图形中的最短路径问题（共5小题） 【模型】将立体侧面展开为平面，两点之间线段最短，利用勾股定理求路径长。 【步骤】展开立体表面，确定两点位置，构造直角三角形，用勾股定理计算。 【易错】展开方式不唯一，要分类计算对比，找准展开图中的直角边长度。 36．（25-26八年级下·四川自贡·期中）如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 37．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 38．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，在棱柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，需要爬行的最短路程是，则的值为______． 39．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为、底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？ 40．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 题型9 一次函数图象平移问题（共5小题） 【模型】一次函数平移 k 值不变，b 发生变化，遵循 “左加右减，上加下减” 规律。 【步骤】抓住斜率 k 不变，按平移方向调整解析式，化简得到新函数表达式。 【易错】左右平移只对 x 进行加减，不要直接在常数项上加减，避免混淆。 41．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）直线可以由直线（   ）得到 A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度 C．向下平移2个单位长度 D．向上平移2个单位长度 42．（25-26八年级下·河北沧州·期中）新考法 在平面直角坐标系中，有一点．要使一次函数的图象l经过图形变化后得到的图象过点P，两位同学提供了如下方案． 方案Ⅰ：作与l关于y轴成轴对称的； 方案Ⅱ：将l沿y轴向下平移6个单位长度得到． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 43．（25-26八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为_____． 44．（25-26八年级下·重庆万州·阶段检测）一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 45．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 题型10 一次函数的应用（共5小题） 【模型】建立一次函数模型，用解析式、图象解决实际数量变化问题 【步骤】找等量关系列函数，确定自变量范围，代入求值并检验实际意义。 【易错】注意自变量取值限制，结果要符合实际，区分 k 的实际含义。 46．（25-26八年级下·河北唐山·期中）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发 C．客人距离厨房门口 D．从聪聪出发直至送餐结束，共需 47．（25-26八年级下·内蒙古·期中）最近正是草莓成熟的时候，草莓园给每位入园采摘草莓的顾客配一个篮子．每位顾客采摘草莓需付总金额y（元）与采摘草莓质量的关系如表（未记录完整）： 采摘草莓质量 1 2 3 4 5 … 需付总金额y（元） 18 33 48 ？ 78 … 根据上表中的数据，写出表中采摘草莓质量时，需付总金额______（元） 48．（25-26八年级下·广东珠海·期中）一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地距离为，慢车离乙地的距离为，慢车行驶时间为，两车之间的距离为．，与的函数关系图象如图1所示，与的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中；②当时，两车相遇；③当时，两车相距；④图2中点的坐标为；⑤当或时，两车相距．其中正确的有___________（请写出所有正确判断的序号） 49．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）两名老师计划在假期带领名学生去旅游，他们联系了报价均为每人1000元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名老师全额收费，学生都按5折收费；乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按6折收费． (1)分别求出甲、乙两家旅行社的收费（元）、（元）与学生人数（名）之间的函数关系式； (2)请帮助他们确定应该如何选择旅行社才划算？ 50．（25-26八年级下·广东佛山·期中）春风送暖，农事渐忙．南山镇农资商店为助力春耕生产，对热销的“黄金1号”高产玉米种子推出阶梯定价优惠：原价为5元/千克．为鼓励农户批量购买，商店规定：一次性购买不超过6千克的部分，按原价付款；一次性购买6千克以上的，超过6千克的部分按原价的八折销售．当地农户刘叔叔与周叔叔相约一同到店购买种子，希望以最省钱的方式完成采购．请你解决下列问题： (1)若一次性购买3千克“黄金1号”玉米种子，需付款 元，若一次性购买7千克“黄金1号”玉米种子，需付款 元； (2)设购买这种玉米种子千克，付款金额为元，求与之间的函数解析式； (3)刘叔叔要购买5千克，周叔叔要购买10千克，两人采取总花费最少的方式合买再分种子，则刘叔叔应付款 元？ $专题12 期中真题易错百练通关 基础·固本强基 题型1 利用勾股定理求解 题型2 平方根与立方根的综合应用 题型3 已知最简二次根式求参数 提升·进阶突破 题型4 二次根式的混合运算 题型5 求点到坐标轴的距离 题型6 轴对称与坐标变化 拔高·压轴破难 题型7 勾股定理与折叠 题型8 立体图形中的最短路径问题 题型9 一次函数图象平移问题 题型10 一次函数的应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 利用勾股定理求解（共5小题） 【模型】在直角三角形中，两直角边平方之和等于斜边平方，用于求边长。 【步骤】确定直角，分清斜边直角边，代入公式列式，计算线段长度。 【易错】认准斜边，非直角三角形不可直接使用，注意分类讨论多解。 1．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）若一个直角三角形的两边分别为和，则第三边为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，注意分类讨论进行求解． 分当边长为的边是斜边时，当边长为的边为直角边时，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方进行讨论求解即可． 【详解】解：当边长为的边是斜边时，则第三边的长为； 当边长为的边为直角边时，则第三边的长为； 综上所述，第三边长为或， 故选：C． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）直角三角形两边长分别是，，第三边是（    ） A． B．或 C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据勾股定理，用分类讨论思想求解. 【详解】解：当为直角边时，第三边为：； 当为斜边时，第三边为：； ∴第三边长为或， 故选：C. 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 5．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知是直角边长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第一个等腰，再以的斜边为直角边，画第二个等腰，……，依此类推，第2026个等腰直角三角形的面积是_____________． 【答案】 【分析】解题的关键是掌握从特殊到一般探究规律题目的方法，利用规律解决问题．根据是边长为1的等腰直角三角形分别求出、、的面积，找出规律 即可． 【详解】解：∵是边长为1的等腰直角三角形， ∴第1个等腰三角形的面积：， ∴，； ∴第2个等腰三角形的面积：， 第3个等腰三角形的面积：， 以此类推，第n个等腰直角三角形的面积：， ∴第2026个等腰直角三角形的面积是． 题型2 平方根与立方根的综合应用（共5小题） 【模型】平方根非负，立方根正负均可；利用定义列方程求解参数。 【步骤】依据根的定义列式，求出未知数，检验是否满足取值限制。 【易错】平方根有两个（0 除外），立方根仅有一个，别漏或多写解。 6．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值，正确求出、的值是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义，求出，，再代入计算求值即可． 【详解】解：的立方根是3，的算术平方根是4， ，， ，， , 故选：B． 7．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质与立方根的概念，根据正数的两个平方根互为相反数的性质求出的值，再确定这个正数，最后计算该数的立方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴这个正数为， ∴这个数的立方根是． 8．（25-26七年级下·山东德州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是5， ，， ，； （2）解：，， ， 的平方根为． 9．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)是小于的最大整数，求的平方根． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根和无理数的估算，解题关键是明确平方根和立方根的求法，准确进行计算； （1）根据题意得出和解方程即可； （2）确定c的值，再代入求出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是4， 所以，，， 解得，，． （2）解：∵，即，是小于的最大整数， ∴， ， 的平方根是． 10．（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的性质： （1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数列方程求解； （2）根据立方根和算术平方根求出，代入代数式求解． 【详解】（1）解： 这个正数的其中一个平方根为， 这个正数为． （2）解：根据题意得， ， 解得； ， 的算术平方根为， 即， ， 的平方根为． 题型3 已知最简二次根式求参数（共5小题） 【模型】利用最简二次根式定义，列等式求解参数，同时满足根式有意义。 【步骤】对照最简根式条件列方程，算出参数后代入检验根式是否最简。 【易错】求出参数务必回代检验，不能忽略被开方数是非负数这一条件。 11．（25-26八年级下·云南昆明·期中）若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，掌握二次根式的化简及计算是解题的关键． 由同类二次根式的定义，需化简后被开方数相同，由此可得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵，且与是同类二次根式， ∴ 化简后被开方数也为， 又∵是最简二次根式， ∴， 解得：. 故选：A． 13．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）若与最简二次根式能合并，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念和合并同类二次根式，已是最简二次根式，能合并的最简二次根式为同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：是最简二次根式，且与最简二次根式能合并， 与是同类二次根式，可得， 解得． 14．（25-26八年级下·山东临沂·期中）已知最简二次根式与能合并，求m的值． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义，可知两个最简二次根式能合并，则它们的被开方数相同，据此列方程求解即可 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴，且， 解得：， 此时且，且为最简二次根式， ∴符合题意． 15．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据同类二次根式的定义进行计算即可； （2）先推导出，得到，再进行绝对值与二次根式的化简，最后合并即可． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 提升·进阶突破 题型4 二次根式的混合运算（共5小题） 【模型】二次根式混合运算遵循整式运算顺序，结果化为最简二次根式。 【步骤】先乘方再乘除后加减，有括号先算括号，合并同类二次根式。 【易错】乘法公式可直接套用，注意符号，最终结果必须化成最简根式。 16．（26-27九年级上·四川·期中）下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的乘法法则，二次根式的除法法则及平方差公式进行逐项判断即可． 【详解】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意． B．，故本选项计算错误，不符合题意． C．，故本选项正确，符合题意． D．，故本选项错误，不符合题意． 17．（25-26七年级下·山东滨州·期末）计算：=________． 【答案】1 【详解】解： ． 18．（26-27九年级上·四川·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 19．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后相乘即可求解． （2）根据负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解： ． 20．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 题型5 求点到坐标轴的距离（共5小题） 【模型】点(x,y)到 x 轴距离为纵坐标绝对值，到 y 轴距离为横坐标绝对值。 【步骤】找准点的横、纵坐标，分别取绝对值，得到到两条坐标轴的距离。 【易错】距离一定是非负数，不要直接用坐标值，忘记添加绝对值符号。 21．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为3，到y轴的距离是2，下列选项中，不可能是点P的坐标的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即可求解． 【详解】解：∵点到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∴，， ∴，， 即点P的横坐标为或，纵坐标为或， ∴点P的坐标为或或或． 选项D中点坐标为，不符合要求． 22．（25-26八年级下·河北唐山·期中）若点的横坐标为，且到轴的距离为3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，已知横坐标后，分情况讨论纵坐标即可得到结果． 【详解】解：∵点的横坐标为，且到轴的距离为3， ∴设点P纵坐标为y，可得， 解得或， ∴ 点P的坐标为或． 23．（25-26八年级下·山东泰安·期中）如图，在长方形中，，，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据题意可得轴，轴，，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，，， ∴轴，轴，， ∴点的坐标为． 24．（25-26七年级下·四川广元·期中）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，且点P到x轴的距离为2，则的值为_______． 【答案】或/或 【分析】根据点在轴上的坐标特征得到横坐标为，可求出的值． 根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，可求出的所有可能值，再代入计算得到的值． 【详解】解：点 在轴上， ， 解得． 点到轴的距离为， ， 即或， 解得或． 当，时，； 当，时，． 综上可知，的值为或． 25．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）已知点，根据下列条件，求出点A的坐标． (1)若点A在x轴上； (2)若点A在过点且与x轴平行的直线上． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】（1）根据点A在x轴上得到，求出，从而得到点A的坐标； （2）根据点A在过点且与x轴平行的直线上得到，求出，从而得到点A的坐标． 【详解】（1）解：∵点A在x轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点A在过点且与x轴平行的直线上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． 题型6 轴对称与坐标变化（共5小题） 【模型】平面内点关于坐标轴对称，坐标按固定规律变换，可直接写对称点坐标。 【步骤】分清对称轴，套用坐标变化规律，写出对称点并核对符号变化。 【易错】区分 x 轴、y 轴对称的坐标符号变化，不要混淆横纵坐标。 26．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的的坐标为． 27．（25-26七年级下·西藏·期中）点P的坐标为，则点P关于x轴的对称点的坐标为_______________ 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可求解； 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴点P关于x轴的对称点的坐标为． 28．（25-26八年级下·湖南·期中）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据题意，依次求出点，，，，的坐标，可推出从点开始，每6次变换为一个循环，求出2025除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ∴关于直线的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ， 以此类推，可知，从点开始，每6次变换为一个循环，变换后的点的坐标依次为，，，，， ∴， ∴点的坐标为． 29．（26-27八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，． (1)已知与关于轴对称，请直接写出三个顶点的坐标，并在坐标系中画出； (2)在轴上找一点，使得的周长最小，请在坐标系中画出点的位置，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为： 【分析】（1）利用坐标系中对称点的特征得到的坐标，依次连接即可得到； （2）利用坐标系中对称点的特征得到的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，从而得到点的坐标． 【详解】（1）解：、、， 关于轴的对称点为：，，， 故依次连接即可得到， 画图见答案处； （2）解：， 关于轴的对称点为， 连接，交轴于点，由两点之间线段最短得最短， 由轴对称的性质可知，， 此时的周长最小， 点的坐标为：，画图见答案处． 30．（25-26八年级下·上海宝山·期中）在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图平面直角坐标系，原点及的顶点都在格点上． (1)直接写出、、的坐标； (2)请画出关于轴的对称图形； (3)求的面积． 【答案】(1)，， (2)解：如图，即为所求作： (3) 【分析】（1）根据平面直角坐标系中格点的位置，直接读取各点的横纵坐标即可； （2）先求出三个顶点关于轴的对称点坐标（纵坐标不变，横坐标互为相反数），再在网格中描点并依次连接，即可得到对称图形； （3）采用割补法，用包围的最小矩形面积，减去矩形内三个多余直角三角形的面积，即可求出的面积． 【详解】（1）解：，，； （2）略 （3）解：． 拔高·压轴破难 题型7 勾股定理与折叠（共5小题） 【模型】折叠前后边长相等，构造直角三角形，借助勾股定理列方程求线段 【步骤】利用折叠找等线段，设未知数，在 Rt△中根据勾股定理列方程求解。 【易错】找准折叠对应边，分清直角边斜边，设元时留意线段之间和差关系。 31．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 32．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一直角三角形纸片，在中，，，，点D在上，现将沿直线折叠，使它落在上，点C的对应点为点E，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长，然后根据勾股定理即可求得．掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ 将该纸片沿直线折叠，使点落在斜边上的点处， ∴，，， ∴， 设， ∴，， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 33．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是______． 【答案】1 【分析】由折叠得，然后根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， ∵四边形是长方形 ∴， ∴ ∴． 34．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在纸片中，，，，折叠，使、两点重合，折痕为，、分别在、上，连接，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查的是翻折变换和勾股定理，根据翻折的性质和勾股定理列出方程是解答此题的关键．设，则，在中，利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：由折叠得，， 设，则， 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ． 答：的长为． 35．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可知，， ，由勾股定理得，则，设，由勾股定理得，即，计算求解然后作答即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， 由折叠的性质可知，， ， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴． 题型8 立体图形中的最短路径问题（共5小题） 【模型】将立体侧面展开为平面，两点之间线段最短，利用勾股定理求路径长。 【步骤】展开立体表面，确定两点位置，构造直角三角形，用勾股定理计算。 【易错】展开方式不唯一，要分类计算对比，找准展开图中的直角边长度。 36．（25-26八年级下·四川自贡·期中）如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把长方体的侧面展开，分三种情况求出线段的长，进而比较即可求解． 【详解】解：∵两点之间，线段最短， ∴蚂蚁沿着线段爬行时，路径最短， 把长方体的侧面展开，有三种情况： 如图①， ∵ ，， ∴； 如图②， ∵ ，， ∴； 如图③， ∵ ，， ∴； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是． 37．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 【答案】 【详解】解：如图， ∴． 38．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，在棱柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，需要爬行的最短路程是，则的值为______． 【答案】 【分析】将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：棱柱展开前面与右边如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴， ∴， 棱柱展开前面与上面如图所示， ∴， 棱柱展开左面与上面如图所示， ∴， ∵， ∴需要爬行的最短路程是． 39．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为、底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？ 【答案】蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，求最短距离，解题的关键是利用轴对称的性质以及勾股定理进行求解． 将杯子侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， 由题意可得，，， 由勾股定理可得，， 答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是． 40．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据不同的切割方式可以有不同的路径，分别求出蚂蚁需要爬行的路程，最后比较大小即可． 【详解】解：将长方体的两个面展开，连接． 分三种情况： ①如图①，； ②如图②，； ③如图③，． ， 蚂蚁需要爬行的最短距离是． 题型9 一次函数图象平移问题（共5小题） 【模型】一次函数平移 k 值不变，b 发生变化，遵循 “左加右减，上加下减” 规律。 【步骤】抓住斜率 k 不变，按平移方向调整解析式，化简得到新函数表达式。 【易错】左右平移只对 x 进行加减，不要直接在常数项上加减，避免混淆。 41．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）直线可以由直线（   ）得到 A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度 C．向下平移2个单位长度 D．向上平移2个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，掌握“上加下减 左加右减”的平移法则即可求解． 【详解】解：， 直线向上平移3个单位长度可以得到直线． 42．（25-26八年级下·河北沧州·期中）新考法 在平面直角坐标系中，有一点．要使一次函数的图象l经过图形变化后得到的图象过点P，两位同学提供了如下方案． 方案Ⅰ：作与l关于y轴成轴对称的； 方案Ⅱ：将l沿y轴向下平移6个单位长度得到． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】B 【分析】分别求出两个方案变换后直线的解析式，将点代入验证，即可判断两个方案是否可行． 【详解】解：验证方案Ⅰ： ∵直线关于轴对称时，只需将原解析式中替换为，原直线为， ∴方案Ⅰ得到的解析式为 ， 将代入得 ，因此不经过点，方案Ⅰ不可行； 验证方案Ⅱ： ∵直线沿轴向下平移个单位，只需将原解析式常数项减，原直线为， ∴方案Ⅱ得到的解析式为， 将代入得，与点纵坐标相等，因此经过点，方案Ⅱ可行， 综上，Ⅰ不可行，Ⅱ可行． 43．（25-26八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为_____． 【答案】9 【分析】先根据直线的平移的性质得出平移后的关系式，再将点代入关系式可得答案． 【详解】解：将直线向上平移m个单位长度可得关系式为， ∵直线经过点， ∴， 解得． 44．（25-26八年级下·重庆万州·阶段检测）一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移规则求出新的函数解析式，待定系数法求出的值即可； （2）分和两种情况，结合一次函数的性质，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，平移后的解析式为， 把点代入，得， 解得； （2）解：当时，则随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 当时，则随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 综上：. 45．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 【答案】(1)、 (2)①；② 【分析】（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标． （2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为． ②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标． 【详解】（1）解：将代入中，可得， 将代入中，可得， 解得：， ∴点的坐标为、， （2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线， ∴ ∵ ∴ ∴面积为． ②由题意可得，轴，， ∴， ∴点坐标为． 题型10 一次函数的应用（共5小题） 【模型】建立一次函数模型，用解析式、图象解决实际数量变化问题 【步骤】找等量关系列函数，确定自变量范围，代入求值并检验实际意义。 【易错】注意自变量取值限制，结果要符合实际，区分 k 的实际含义。 46．（25-26八年级下·河北唐山·期中）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发 C．客人距离厨房门口 D．从聪聪出发直至送餐结束，共需 【答案】C 【分析】运用路程除以时间等于速度，得出聪聪的速度为；根据图象信息，得出慧慧比聪聪晚出发，结合速度、路程、时间之间的关系，求出慧慧一开始的速度，再结合速度变化，；列式计算得出客人距离厨房门口，结合速度、路程、时间之间的关系求出从聪聪出发直至送餐结束，共需，即可求解． 【详解】解： A、聪聪的速度为，故A选项不符合题意； B、由图象可得，慧慧比聪聪晚出发，故B选项不符合题意； C、慧慧一开始的速度为：，当速度提高到原来的2倍时，为，则后一段行走了，则客人距离厨房门口为，故C选项符合题意， D、由C选项得出，则，即从聪聪出发直至送餐结束，共需，故D选项不符合题意． 47．（25-26八年级下·内蒙古·期中）最近正是草莓成熟的时候，草莓园给每位入园采摘草莓的顾客配一个篮子．每位顾客采摘草莓需付总金额y（元）与采摘草莓质量的关系如表（未记录完整）： 采摘草莓质量 1 2 3 4 5 … 需付总金额y（元） 18 33 48 ？ 78 … 根据上表中的数据，写出表中采摘草莓质量时，需付总金额______（元） 【答案】63 【分析】由表格数据可知与满足一次函数关系，先求出函数解析式，再代入计算可得的值． 【详解】解：根据表格中的数据可得当质量增加时，总金额增加15元，因此y是x的一次函数， 设，将，代入得： ， 解得：， ∴与的函数关系式为， 将代入得． 48．（25-26八年级下·广东珠海·期中）一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地距离为，慢车离乙地的距离为，慢车行驶时间为，两车之间的距离为．，与的函数关系图象如图1所示，与的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中；②当时，两车相遇；③当时，两车相距；④图2中点的坐标为；⑤当或时，两车相距．其中正确的有___________（请写出所有正确判断的序号） 【答案】①③④ 【分析】结合两个图确定快车到乙地的时间，再计算出两辆车的速度，根据两车的位置关系，逐项判断即可． 【详解】解：对于①，由图2可知，时，直线斜率变小， ∴此时快车到达乙地，即，故①正确； 对于②，快车的速度为，慢车的速度为， ∴两车相遇时间为，即，故②错误； 对于③，∵， ∴此时两车相向而行， ∴两车距离为，故③正确； 对于④，当时，快车到达乙地，慢车离开乙地， ∴两车相距， ∴点的坐标为，故④正确； 对于⑤，∵， ∴两车相向而行， ∴两车距离为， ∵， ∴快车到达乙地，慢车离开乙地， ∴两车相距，故⑤错误． 综上所述，正确的结论为：①③④． 49．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）两名老师计划在假期带领名学生去旅游，他们联系了报价均为每人1000元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名老师全额收费，学生都按5折收费；乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按6折收费． (1)分别求出甲、乙两家旅行社的收费（元）、（元）与学生人数（名）之间的函数关系式； (2)请帮助他们确定应该如何选择旅行社才划算？ 【答案】(1) （为正整数）， （为正整数）． (2)当带领的学生人数少于8名时，选择乙旅行社划算；当学生人数为8名时，两家旅行社收费相同，选择哪家都可以；当学生人数多于8名时，选择甲旅行社划算． 【分析】（1）根据甲乙两家旅行社的优惠条件，分别计算总收费，即可得到函数关系式． （2）分三种情况比较两个收费的大小，根据大小关系即可判断选择哪家旅行社更划算． 【详解】（1）解：根据题意，甲旅行社的收费为2名老师全额收费加学生5折收费． ，其中为正整数． 乙旅行社的收费为所有人员都按6折收费，总人数为人． ，其中为正整数． （2）解：分三种情况比较和的大小． 当时，可得 ． 移项化简得 ， 解得，此时乙旅行社收费更低，更划算． 当时，可得 ． 解得，此时两家旅行社收费相同，选择哪家都可以． 当时，可得 ． 解得，此时甲旅行社收费更低，更划算． 50．（25-26八年级下·广东佛山·期中）春风送暖，农事渐忙．南山镇农资商店为助力春耕生产，对热销的“黄金1号”高产玉米种子推出阶梯定价优惠：原价为5元/千克．为鼓励农户批量购买，商店规定：一次性购买不超过6千克的部分，按原价付款；一次性购买6千克以上的，超过6千克的部分按原价的八折销售．当地农户刘叔叔与周叔叔相约一同到店购买种子，希望以最省钱的方式完成采购．请你解决下列问题： (1)若一次性购买3千克“黄金1号”玉米种子，需付款 元，若一次性购买7千克“黄金1号”玉米种子，需付款 元； (2)设购买这种玉米种子千克，付款金额为元，求与之间的函数解析式； (3)刘叔叔要购买5千克，周叔叔要购买10千克，两人采取总花费最少的方式合买再分种子，则刘叔叔应付款 元？ 【答案】(1)， (2) (3)22 【分析】（1）根据题意，可以分别计算出购买3千克和购买7千克种子需要付款的金额； （2）根据题意，可以分别写出和时对应的函数解析式； （3）根据题意，可知刘叔叔和周叔叔一起购买花钱最少，然后算出刘叔叔应付款的金额即可． 【详解】（1）解：由题意可得，一次性购买3千克“黄金1号”玉米种子，需要付款：（元）， 一次性购买7千克“黄金1号”玉米种子，需要付款：（元）； （2）解：由题意可得， 当时，， 当时，， 由上可得，； （3）解：由题意可知，刘叔叔和周叔叔一起购买花钱最少， 将代入，得， 此时刘叔叔需要付款：（元）． $