精品解析：辽宁锦州市实验中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

数学学科检测 时间：100分钟 总分120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 3. “黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，而且在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵为的黄金分割点， ， ∴． 故选：D． 4. 根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，熟悉二次函数的图象与性质是解题的关键．通过观察表格中函数值的变化，当时函数值为负，时函数值为正，根据函数性质，所对应的方程的根在． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程必有一个根满足，。 故选：C． 5. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．有一个角是直角的平行四边形才是矩形，一组对边相等且有一个角是直角的任意四边形不一定是矩形，故该选项错误， B．有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，缺少平行四边形的前提条件，故该选项错误， C．对角线相等且互相垂直平分的四边形才是正方形，缺少对角线互相平分的条件，故该选项错误 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，故该选项正确，符合题意． 7. 一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 起始有1人会做实验，第一轮教学后增加x人，第二轮教学后增加人，总人数为49，据此列方程即可． 【详解】解：∵起始会做实验的人数为1， 第一轮教学后，新学会的人数为x，此时总会做人数为， 第二轮教学后，新学会的人数为， ∴总会做人数为， 故选：D． 8. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意， D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似． 9. 如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用菱形的性质、解直角三角形等知识逐项判断即可． 【详解】解：由作法得MN垂直平分CD， ∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC=AD， ∴AB=BC=AC， ∴ΔABC为等边三角形， ∴∠ABC=60° ∴∠BCD=120°，即A选项的结论正确，不符合题意； 当AB=3，则CE=DE=， ∵∠D=60°， ∴AE=，∠DAE=30°，∠BAD=120° ∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90° 在Rt△ABE中，BE= ，所以B选项的结论错误，符合题意； ∵菱形ABCD ∴.BC=CD=2CE，即，所以C选项的结论正确，不符合题意； ∵ABCD，AB=2DE， ∴，所以D选项的结论正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、菱形的性质等知识点，灵活运用菱形的性质和垂直平分线的性质是解答本题的关键． 10. 如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作于，延长交于，根据正方形性质得四边形是矩形，根据矩形性质得，，，根据折叠性质得，，，进而求出，，根据直角三角形中30度所对边性质得，再根据勾股定理列方程求出，再根据求出，进而得，进一步求出、、、，即可得，再根据，，即可证明，进而得的长，最后根据计算即可得的长． 【详解】解：如图， ∵沿所在直线折叠得到， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， 过作于，延长交于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵即， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】将所求分式拆分变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： ． 12. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验：如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______cm． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程的一个实数根是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键：使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根；根据一元二次方程的解的定义可得，进而可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个实数根是， ， ， 的值是， 故答案为：． 14. 如图，矩形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，，垂足为点H，若，则AD的长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质得，，求出，利用30°角的直角三角形的性质求出CH的长度，再利用勾股定理求出DH的长度，根据求出，然后由含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ，， ， ，， ∴ 在中， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是矩形的性质以及直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°的性质是解决本题的关键． 15. 如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，满足，过点B作，垂足为E，连接，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设交于,由,由旋转可得,而,即可得,故,因,即有,,设,则,求出,证明,即可得,进而即可得解． 【详解】解：设交于,如图， , , 将绕点按逆时针方向旋转得到, , , , , , , , , , , , , , 设,则, , , ,, , , , , 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，平行线性质及应用，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转的性质和相似三角形的判定定理. 三、解答题（共8小题，其中16题12分，17题8分，18题8分，19题8分，20题7分，21题7分，22题12分，23题13分，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4），． 【解析】 【小问1详解】 解：， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ． 【小问3详解】 解：， ，， ， 即， 【小问4详解】 解：， ， ， 即或， 解得：，． 17. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：≌； （2）判定四边形AODF的形状并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ∵DF∥AC， ∴∠OAD=∠ADF， ∵∠AEO=∠DEF， ∴△AOE≌△DFE（ASA）； （2） 解：四边形AODF为矩形． 理由：∵△AOE≌△DFE， ∴AO=DF， ∵DF∥AC， ∴四边形AODF为平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 即∠AOD=90°， ∴平行四边形AODF为矩形． 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可； （2）先证明四边形AODF为平行四边形，再结合∠AOD=90°，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键． 18. 某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（）设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，降至就是方程的平衡条件，列出方程求解即可； （）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为，则 ∴，（不符合题意，舍去）， 答：每次下降的百分率为． 【小问2详解】 解：设每千克应涨价元，则 ∴ ∵要求尽可能减少库存：涨价越少，日销售量越大，剩余库存越少， ∴选择较小的涨价幅度， 答：每千克应涨价元． 19. 如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H． （1）求证：． （2）求长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． ()根据两个角对应相等即可证明； () 根据得到，由，对应线段成比例可得，再结合() ，对应边成比例即可求出的长度； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 答：的长度为． 20. 关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有两个实数根为 ，，且，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ 方程总有两个实数根； （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记定理的含义是解本题的关键； （1）计算一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将已知等式变形得出，继而解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 即 ∴，则，即 解得：，． 21. 如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问： （1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）经过几秒后，两个三角形相似 【答案】（1）2秒或4秒；（2）或秒． 【解析】 【分析】（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，根据三角形面积公式列一元二次方程，解方程，问题得解； （2）设经过y秒后，△BPQ与△BAC相似，根据∠B=∠B，分△BPQ∽△BAC和△BPQ∽△BCA两种情况讨论，根据比例式列出方程，解方程，问题得解． 【详解】解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2， 由题意得， 解得， 答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2． （2）设经过y秒后，△BPQ与△BAC相似， ∵∠B=∠B， ①当时，△BPQ∽△BAC， 即， 解得y= ； ②当时，△BPQ∽△BCA， 即， 解得y= ； 答：进过或秒后，两个三角形相似． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形形的判定，根据题意列出方程是解题关键，注意两个三角形相似没有指明对应边，故要分类讨论． 22. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解： ∴当时，． 有最小值，最小值为2，即的最小值为2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 填空：①代数式，则A的最小值为________； ②代数式，则B的最大值为________． （2）【类比应用】 我校劳动课基地有甲、乙两块长方形种植园，已知甲种植园的两边长分别是米、米，乙种植园的两边长分别是米、米，试比较这两块种植园的面积和的大小，并说明理由． （3）【创新应用】如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时b的值． 【答案】（1）①A的最小值为5， ②B的最大值为6． （2），理由如下： ，， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）①将代数式A通过配方转化为完全平方的形式，再根据完全平方的非负性求最小值； ②先提出一个负号，再对括号内的式子进行配方，最后根据完全平方的非负性求最大值． （2）分别表示出甲、乙两块种植园的面积，然后通过作差法比较大小，同样需要利用完全平方公式进行变形． （3）首先需通过作高构造直角三角形，利用勾股定理建立边a与b的等量关系：然后将该关系代入目标式，转化为关于b的二次函数，最后利用配方法求最值，得到此时b的值． 【小问1详解】 解：① ∴当时，， 有最小值，最小值为5，即的最小值为5． ② ∴当时，， 有最大值，最大值为6，即B的最大值为6． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，作于点D， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， 在中，． ∴ ∴ 化简，得 设，将代入得： ∴当时，y取得最大值， ∴当最大时，b的值为8． 23. 按要求解答下列问题： （1）如图1，四边形为正方形，E为边上一点，F为延长线上一点，G，H分别是，的中点，连接．且，试猜想：与之间的数量关系为________．与之间的数量关系为________； （2）如图2，四边形为矩形，E为边上一点，F为延长线上一点，G，H分别是，的中点，连接．，，且，，求的长． （3）如图3，四边形为平行四边形，，，E为边上一点，F为延长线上一点，连接．G，H分别是，的中点，连接．，当时，求的长． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件可判定，由全等性质得到对应边；连接、，利用直角三角形斜边中线性质和全等三角形性质，得到是等腰直角三角形，继而得出与的关系． （2）根据矩形性质和已知条件可判定，得出与的比例关系，利用中点性质和相似三角形性质，结合勾股定理，求出的长． （3）根据相似三角形判定定理“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得，得出；接着证明，得出；证明，求出的长度；最后通过证明三角形全等和利用等腰三角形性质，求出的长度． 【小问1详解】 解：∵在正方形中，，， ∴． ∵， 在和中， ， ∴， ∴． 连接、， ∵G，H分别是，的中点， ∴，， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【小问2详解】 如图，连接、， ∵矩形中，， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴，． ∵G，H分别是，的中点， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 连接，，，延长交于点I，连接． ∵在平行四边形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵G，H分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 过点C作于点J，，则， ∴， ∴， ∴点I、J重合， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科检测 时间：100分钟 总分120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，而且在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）． A. B. C. D. 4. 根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 7. 一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 10. 如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，则________． 12. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验：如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______cm． 13. 若关于的一元二次方程的一个实数根是，则的值是______． 14. 如图，矩形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，，垂足为点H，若，则AD的长为_______________． 15. 如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，满足，过点B作，垂足为E，连接，若，则的长为_____． 三、解答题（共8小题，其中16题12分，17题8分，18题8分，19题8分，20题7分，21题7分，22题12分，23题13分，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． （3）； （4）． 17. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：≌； （2）判定四边形AODF的形状并说明理由． 18. 某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 19. 如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H． （1）求证：． （2）求长度． 20. 关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有两个实数根为 ，，且，求的值． 21. 如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问： （1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）经过几秒后，两个三角形相似 22. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解： ∴当时，． 有最小值，最小值为2，即的最小值为2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 填空：①代数式，则A的最小值为________； ②代数式，则B的最大值为________． （2）【类比应用】 我校劳动课基地有甲、乙两块长方形种植园，已知甲种植园的两边长分别是米、米，乙种植园的两边长分别是米、米，试比较这两块种植园的面积和的大小，并说明理由． （3）【创新应用】如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时b的值． 23. 按要求解答下列问题： （1）如图1，四边形为正方形，E为边上一点，F为延长线上一点，G，H分别是，的中点，连接．且，试猜想：与之间的数量关系为________．与之间的数量关系为________； （2）如图2，四边形为矩形，E为边上一点，F为延长线上一点，G，H分别是，的中点，连接．，，且，，求的长． （3）如图3，四边形为平行四边形，，，E为边上一点，F为延长线上一点，连接．G，H分别是，的中点，连接．，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $