精品解析：福建厦门市杏南中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年上学期10月阶段测试卷 高三年级数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是定义在上的奇函数且，当时，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（）在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列判断正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数则 C. 计算： D. 已知函数的定义域为A，函数，的值域为B，则等于 11. 已知函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 有三个不同零点 C. 的对称中心是 D. 若过点存在3条直线与曲线相切，则实数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某扇形的周长为20，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为______． 13. 函数的单调递增区间为__________. 14. 研究发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”.据此，对于函数，可以判定： （1）函数的对称中心是___________； （2）_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 16. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. （1）求的值； （2）求的值； （3）记点B的横坐标为，则，求的值. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期、对称轴及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，的面积为，求； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）设，若，为的两个极值点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期10月阶段测试卷 高三年级数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集并集的定义即可求出. 【详解】， ，. 故选：C. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】全称量词命题的否定为将量词更改，命题否定， 因此命题“，”的否定为命题“，”. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 4. 已知是定义在上的奇函数且，当时，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由题意根据函数的奇偶性可推出函数的周期为，从而将转化为，再利用奇偶性以及已知即可求解. 【详解】由已知条件知是定义在上的奇函数，所以， 又，可得， 故， 则，即函数的周期为， 而，又因为是奇函数，故， 当时， 所以， 因此 ， 所以. 5. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数式与指数式互化，再利用换底公式、对数运算求解作答. 【详解】因为，则，，同理， 所以. 故选：A 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 7. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解. 【详解】，， ，， ，， . 故选：D. 8. 已知函数（）在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由和求出范围，由题中条件得到，由得到，由题中条件得到，通过解这个不等式组得到的取值范围. 【详解】因为，且， ， 因为函数（）在区间上单调递增， 所以， 解第一个不等式， 即，即，即， 解第二个不等式， 解得，即，即， 又，则， 因为，在区间内恰有两个零点， 所以， 则，解得，即， 又，则， 则的取值范围是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 10. 下列判断正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数则 C. 计算： D. 已知函数的定义域为A，函数，的值域为B，则等于 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用同一函数的定义判断A项；根据分段函数式由内到外求值判断B项；利用对数的运算性质计算判断C项；利用根式有意义和对数函数的单调性计算判断D项. 【详解】对于A，因与定义域，对应关系与值域均相同，故是同一个函数，即A正确； 对于B，因，即，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由有意义，可得，，解得，即， 又因在上单调递增，故其值域为，则，故D错误. 11. 已知函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 有三个不同零点 C. 的对称中心是 D. 若过点存在3条直线与曲线相切，则实数 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导分析单调性可判断A；求导分析单调性再求出各极值点后可判断B；求二阶导，令二阶导为零可求对称中心，进而判断C；求解切点处的切线方程，将经过的点代入，利用方程的根即可判断D. 【详解】，，令，解得或， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极大值，在处取得极小值，A正确； 计算，，进而作出图像，故有两个不同零点，B错误 ，，令，解得， ，所以的对称中心是，C正确； 对于D，设切点横坐标为，切点坐标为 过点且与相切的直线的斜率为， 由点斜式，切线方程为， 该切线过点，将代入切线方程得： ， 过点存在3条直线与曲线相切， 故， 化简得有三个解， 令， 令，解得或， 当或时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 且极大值为，极小值为， 所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某扇形的周长为20，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，列出弧长和半径的方程组，求解出半径 【详解】设该扇形的弧长为，半径为. 因为扇形的周长为20，圆心角为3弧度. ，解得. 所以扇形的半径为4. 13. 函数的单调递增区间为__________. 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为， 对函数求导得， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 14. 研究发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”.据此，对于函数，可以判定： （1）函数的对称中心是___________； （2）_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据函数解析式，得到，令，判断其是奇函数，结合题中结论，即可得出结果；由解析式，先得到，依据该式可求题设中的和. 【详解】由得， 令，则， 即为奇函数. 由题中命题可得，函数的对称中心是， 故， 则 . 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）根据导数分析函数的单调性，结合单调性取得函数的最值即可． 【小问1详解】 因为， 所以 ， 又，， 所以曲线在处的切线方程为：，即； 【小问2详解】 由； 由或， 所以的递减区间为和，递增区间为， 所以在区间和上递减，在区间上递增， 且<，， 所以的最大值为，最小值为． 16. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. （1）求的值； （2）求的值； （3）记点B的横坐标为，则，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数的定义和三角函数的基本关系式求解. （2）利用三角函数的诱导公式及正余弦齐次式法求解. （3）由已知求出锐角，由点B的横坐标可得，再利用诱导公式化简即可. 【小问1详解】 由锐角的终边与单位圆相交于点，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以 . 【小问3详解】 由为锐角，且，得，依题意，， 所以 . 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期、对称轴及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小正周期是，对称轴是，，递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式得，再由正弦函数的周期及对称轴可得； （2）根据平移可得，再利用整体法结合函数图像求解即可． 【小问1详解】 由 ． 所以函数的最小正周期， 令，，化简得，， 所以的最小正周期是，对称轴是，． 由， 解得 即 所以的递增区间为； 【小问2详解】 由题意得：， 因为，所以． 当，即时，单调递增，； 当，即时，单调递减，； 所以当在上有两个不同的实数解时，的取值范围为． 18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，的面积为，求； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理求解角； （2）结合三角形面积公式求出的值，再通过完全平方公式和余弦定理计算边； （3）利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，结合锐角三角形条件确定角的范围，再通过辅助角公式化简，求出的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理得，展开并整理得. 结合余弦定理，可得，又，故. 【小问2详解】 由三角形面积公式，代入、，得，解得. 由，得. 结合余弦定理，代入得，故（负值舍去）. 【小问3详解】 由正弦定理，，故，. 由，得. 因为锐角三角形，故，解得. 则，展开并化简得. 由，得，故，因此. 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）设，若，为的两个极值点，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）. 【解析】 【分析】（1）求函数的导数，根据的正负判断函数的单调性，因式分解将问题转化为关于的含参一元二次不等式，对参数分类讨论即可. （2）函数在上有两个极值点，即方程有两个不相等的正实根，利用判别式求参数的范围，利用韦达定理求出和的值，整体代入已化简的式子，再将所求问题转化为求关于的函数的值域，根据导数的正负判断函数的单调性，求出的值域，即可得出的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域，， 令得，. 当时， 令得，或；令得，. 所以，在和上单调递增，在上单调递减. 当时，，当且仅当时取等号， 此时在上单调递增. 当时， 令得，或；令得，. 所以，在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ，定义域为， ， 因为和是的两个极值点，所以方程有两个不同的正实根和， 即方程有两个不同的正实根和， 则，解得. ， ， ， 将和代入上式得， ， 令，则， 由得，，即，所以在上单调递减， 当时，，得， 当时，， 得的范围为， 即的取值范围为. 【点睛】方法归纳： 1.利用导数的正负判断函数单调性，注意对参数分类讨论. 2.将函数有两个极值问题转化为导函数对应的方程有两个不相等的实数根，再结合韦达定理整体代换，构造关于的函数求值域. 易错归纳： 1.漏写函数的定义域，分类讨论时忽视参数的情况，单调性相同的不连续区间错用并集符号. 2根据函数有两个极值，求导数有两个正实根，忽视两根为正，导致参数的范围求错；对数书写时漏写括号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $