福建省三明第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

三明一中2025-2026学年上学期高三12月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 4. 已知平面向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 过三点的圆的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的图象在区间内有个对称中心 C. 在区间上单调递增 D. 的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象 7. 已知实数满足且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的有（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是锐角 C. 已知向量，，是不共面的向量，则向量，，共面 D. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 10. 已知焦点在轴上的等轴双曲线（对称中心为坐标原点）的实轴长与圆的半径相等，与圆在第一、二、三、四象限分别交于四点，且，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. C. 的焦距为4 D. 四边形的面积为 11. 已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且0，则（ ） A. B. 在处取得极小值 C. 存在唯一的实数使得 D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____． 13. 已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前5项和_____． 14. 直线（）与椭圆交于，两点，过点作轴，垂足为点，直线交椭圆于另一点，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为. （1）求； （2）点在边上，平分，若，求的周长. 16. 设数列满足. （1）证明：数列为等差数列； （2）设，求数列的最大项. 17. 如图，在正三棱锥中，，，为中点，为棱上一点． （1）证明：； （2）已知正三棱锥各顶点均在球的球面上． （i）求球的半径； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； （3）若，求证：直线过定点. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）讨论在区间上的单调性； （3）设，证明：． 三明一中2025-2026学年上学期高三12月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】129 【14题答案】 【答案】1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）将两边同乘以， 得，即， 又，因此，是以1为公差，1为首项的等差数列. （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明:由正三棱锥性质可知，，连接，， 故，， 而平面，平面，， 故平面， 而平面， 可得． （2）（i）；（ii）或 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） ，， 即， ，， 代入（*）式，得， 即， 化简得， 即 ， 或， 当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去， 当时，则直线，此时直线过定点， 当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，， 此时，显然成立. 直线过定点. 【19题答案】 【答案】（1）的极小值为，无极大值； （2） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）证明：令数列的前项和为，且，数列满足， 当时，， 当时，， 则原不等式，等价于， 当时，，，成立， 当时，，即，即， 令，则， 又，所以， 则不等式，等价于，即证， 由（2）得，当时，函数在上单调递增， 又，所以，即， 所以得证， 所以当时，成立，所以， 又当时，， 综上所述，成立，不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $