福建省福州第四中学2026-2027学年第一学期第一次适应性练习高三数学试题

福州四中2026-2027学年第一学期第一次适应性练习 高三数学 一.选择题:(共40分) 1.已知集合A={x|x2<3},则A∩Z的子集个数为() A.1 B.2 C.4 D.8 2.复数z=sinl+icos1,则|z=() A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知直线m,n与平面a,B,y,则a⊥B的一个充分条件是() A.⊥a,⊥B B.a⊥y,B⊥Y C.m⊥B,mCu D.a∩B=n,mca,m⊥n 4.某地气象部门预报,在国庆期间甲地的降雨概率为0.2,乙地的降雨概率为0.3.假定这段时间内两地 是否降雨相互之间没有影响,则这段时间内至少有一个地方降雨的概率为() A.0.4 B.0.44 C.0.56 D.0.6 5.已知cosa= v5 cos(a+2)= 2W5 25, 则sin(a+)simB=() A.-45 B.- c.4v5 D.65 25 25 25 25 6.函数f(x)=2+lm与函数g(x)=e公切线的斜率为() A.1 B. e C.1或e D.1或e2 入双能c后君 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为R、R,O为坐标原点,点P是c上一点, 151HP325 1oP,则c的离心率为() A.1+2 B.1+√5 C.3 D.1+5 8.己知函数f(x)=(2x-m)x,g(x)=2x-n,若fw)≥gw)恒成立,则业的取值范围是() A. 0,-2Ue+1+) B.(03U[2,+回) C.( ∞,0lJ[e+1,+w) D.(-m,0J[2e,+w) 二.多选题:(共18分) 9.(多选)在正三棱台ABC-AB,C中,D为BC的中点,则() A.AD//AB B.ADII平面ABC1C.AD⊥AC D.BC⊥平面AAD 第1页(共4页) 10.(多选)已知f()为定义在R上的函数,对任意的x,y∈R,都有fx+)=,fx)f),并且当x>0 时,有f(x)>2,则() A.f(0)=2 B.若f(2)=m,则f(-2)=2 C.f(x)在(-o,+o)上为增函数 D.若f(2)=4,且fa)f(-3a+3)>8,则实数a的取值范国为(m,U+o) 11.(多选)己知函数f(x)=Acos(or+p)(A>0,o>0,0<p<元,若f(x)及其导函数f'(x)的部分图象如 图所示,则() A.p= 3 B.函数)在区间(受上单词递增 C.f)的图象关于直线x=-工对称 6 D.f(x)+f'(x)的最大值为3 三.填空题:(共15分) 12.若函数f(x)=xx+Va+x2)为偶函数,则a= 13.已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f()=-e.若fn2)=8,则a= 14.函数f(x)=2x-1|-21x的最小值为 四.解答题:(共77分) 15.(13分)已知等差数列{anJ的公差d≠0,其前n项和为Sn,若a1,a2,a5成等比数列,且S6=36. ()求数列a)的通项公式:(2②)记r.品十品与十十求证,T<号 16.(15分)已己知 ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tan Btan C=tanB+tanC+1, a=√6,c=3. (1)求角C;(2)若 ABC为锐角三角形,且A+NB+WC=0,求 BC的面积. 第2页(共4页) 17.(17分)已知函数f=ma+26x0其中a>0. (1)当a=2时,求曲线y=f)在点1,(1)处切线方程: (2)求f(x)的单调区间: (3)若区间1,+))≥为, 求实数a的取值范围. 18.(15分)已知球O的半径为1,在球O的内接八面体PABCDO中,顶点P,Q分别在平面ABCD两侧, 且四棱锥P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥. (1)如图1,若点O在平面ABCD上,求证:PA/1平面QBC; (2)如图2,若二面角P-AB-Q的正切值为-3,求该内接八面体的体积. P A C D B *0 B p 图1 图2 第3页(共4页) 设分)已炎效线c荐苦-a>Q8>0的实长为4H经过点Re. (1)求C的方程; (2)记C的右顶点为A,点R在线段AP(不含端点)上运动,垂直于x轴的直线RM交C于点M(x,)M 在第一象限),点S满足M瓜=R西,设直线AS与C的另一个交点为N(x2,y). ①用x,为表示直线AS的斜率k;②证明直线MN过定点. 第4页(共4页) 福州四中2026-2027学年第一学期第一次适应性练习 高三数学 参考答案与试题解析 一.选择题: 1.已知集合A={xx<3},则A∩z的子集个数为() A.1 B.2 C.4 D.8 【解答】A={x-3<x<5,所以A∩Z={-1,0,1,所以A∩Z的子集个数为2=8. 故选:D, 2.复数z=sinl+icosl,则z=() A.1 B.2 C.3 D.4 【解答】因为复数z=sinl+icos1,所以|z=√sim1+cos21=1 故选:A. 3.已知直线m,n与平面a,B,y,则a⊥B的一个充分条件是() A.⊥a,⊥B B.⊥y,B⊥Y C.m⊥B,mc& D.∩B=n,mc,mln 【解答】已知直线m,n与平面a,B,y, A:当⊥a,m⊥B时,a//B,所以本选项不符合题意: B:当a⊥y,B⊥y时,平面,B可以平行,所以本选项不符合题意; C:当LB,mca时,由面面垂直的判定定理可得u⊥B,所以本选项符合题意; D:当a∩B=n,mcu,⊥n时,根据线面垂直的判定定理,由m⊥n不一定能推出LB,所 以本选项不符合题意. 故选:C. 4.某地气象部门预报,在国庆期间甲地的降雨概率为0.2,乙地的降雨概率为0.3.假定这段时间内两地 是否降雨相互之间没有影响,则这段时间内至少有一个地方降雨的概率为() A.0.4 B.0.44 C.0.56 D.0.6 【解答】设“甲地降雨”为事件A,“乙地降雨”为事件B,则P(A)=0.2,P(B)=0.3, “甲乙两地都不降雨”即事件A与B同时发生,即AB,P(A)=1-0.2=0.8,P(B)=1-0.3=0.7, 利用独立事件的性质可知,事件A与B相互独立,所以P(AB)=P(④P(B)=0.8 0.7=0.56, 第5页(共4页) 所以甲乙两地至少有一个地方降雨的概率为1-0.56=0.44. 故选:B. 5.已知cosa=25 cos(a+2p)=-25 则sin(a+B)sinB=() 25 A.-45 25 B.-6V5 C.45 D.65 25 25 25 【解等】由想意得towa=cou+)-A-小25,coa+op+sa+0smg2 .①, cos(a+2B)=cos[(+)]=- 2V5 25即cos(ac+B)cosA-sim(a+P)simB=23.、②, ①-②,可得2sna+A)nB-125,所以ma+mm0=65 25 25 故选:D 6.函数f(x)=2+lm与函数g(x)=e公切线的斜率为() A.1 B.te C.1或e D.1或e2 【解答】因为f)=2+hx,g(9=e,所以f()=1g()=e, 设切点分别为(,2+im),(:,e),>0,本>0,则切线斜率为k=1=e9=2+h加-e ￥-x3 所以=,所以L 2+纸- 1 为x1+l1 立,所以(k-1)x+)=0,所以￥=1或x=。, e 所以公切线的斜率为k=1=1或e. X 故选:C. 7、双曲线C号若-=1a>060伯左,右生点分州为K、只,0为华标原点,点P是心上一点 1REHPEI2 )1OP1,则c的离心率为() A.1+√2 B.1+V5 C.3 D.1+5 【解答】R、R分别为双曲线C千Q>0b>0)的左、有焦点,0为坐标原点,点P是c上一点 图.1RH3L25oP,由2GRKH3上2S 1oP1, 则在 OP耳中,|OE=c,lPE=2c,OP=V5, 则|OEP+|PE PHOPP,则PE⊥x轴,于是|PE=√4c2+4C2=2W2c, 由于1PR1-PR上2a,则25-c=2a,所以e=C=1=V2+1. a√2-1 故选:A 第6页(共4页) 8.己知函数fx)=(2x-mhx,8(x)=2x-n,若f)>g()恒成立,则业的取值范围是() A.(.-Ute+1.+) B.(-m,U2e,+m) C.( ,0Ue+1,+w) D.(m,0U[2e,+0) 【解答】由f(x)≥g(x),则(2x-m≥2x-m,即(2x-m)x-)≥0对于x>0恒成立, 而函数y=2x-m和y=x-n在(0,+oo)上均为增函数, 则函数y=2x=m和y=r-n在0,)上有共同的零点,即)=e,则m=22”,即=2e nn 设0=2g,n≠0,则0m=2e01-D,令n0m<0,得n<0或0<n<1,令n0m>0,得n>1, n n2 所以函数hm在(-o,0)和(0,1)上单调递减,在1,+o)上单调递增, 又n<0时,h(m<0,n>0时,hm>0,且h(1)=2e, 则h0m∈(m,0U[2e,+0),即"的取值范围是(-m,0J2e,+m). 故选:D. 二.多选题: 9.(多选)在正三棱台ABC-AB,C中,D为BC的中点,则() A.AD//AB B.AD/I平面ABC1C.ADLAC D.BC⊥平面AAD 【解答】A中,在正三棱台ABC-AB,C中,D为BC的中点,AB/1AB, 假设AD11AB,则AD11AB,与AD∩A4B=A相矛盾,故A不正确: B中,因为平面AB,C/1平面ABC,ADC平面ABC,所以AD/1平面AB,C,故B正确: C中,易得AC1/AC1,若AD⊥AC1,可得AC⊥AD,与AC与AD夹角为30 相矛盾,故C不正确: A D中,取BC中点E,连接ED,BE,CE,易得ED⊥BC,AD⊥BC, 因为AEIIAD,即A,D,D,A四点共面,ED∩AD=D, A 所以BC⊥平面ADEA,即BC⊥平面AAD,故D正确. 故选:BD. 10.(多选)已知f)为定义在R上的函数,对任意的x,y∈R,都有fx+)=f)f),并且当x>0 时,有f(x)>2,则() A.f(0)=2 B.若f(2)=m,则f(-2)=2 C.f(x)在(-o,+o)上为增函数 第7页(共4页) D.若f(2)=4,且f2d)f(-3a+3)>8,则实数a的取值范围为(m,U1,+o) 【解答】选项4,已知对任意的x,yeR,都有+)=f)f), 令=0,y=1,则0+0-2/0)f0,即0=2f0f0: 因为当x>0时有f)>2,所以了(1)>2,可得子/@)=1,解得f0=2,选项A正确. 选项B,令=2,y=-2,则f2+(2》-f@f-,即f02)2, 由A可知0=2,又已知了(2)=m,所以2号m(-2),解得f-2)=4,选项B错误 选项C,设x1,x2∈R且x1<x,则x2-x>0,因为当x>0时有f(x)>2,所以f(化3-x)>2, )-f)-=-)+1-1)3c-0)-c)=f,-)- 因为,-)>2,所以f-)-1>0, 令x=0,y=,则f0+)=f0)-f),即f)=f0-f)=2j), 解得f)=0(舍去)或f)>0,所以f)>0,那么f)-f6)=f片f-)-]>0, 即f()>f(:),所以函数f(w)在(-”,+w)上为增函数,选项C正确. 选项D,由c+)-/)-)可得f0a)j(-3a+3到=2f2a+(3a+3)=2f2a-3a+到 因为f(2)=4,f0)=2,所以f(2)=2f(0),即f(2)=f(0+2)=2f(0), 那么f(2a2-3a+3)>4=f(2), 义因为脑数)在m+)上单调谥增,2a-3a+3>2,即2a-3a+10.解得a号或a>1 所以实数a的取值范围为(m,儿U1,+w),选项D正确. 故选:ACD. 11.(多选)己知函数f(x)=Acos(r+p(A>0,0>0,0<p<元,若f(x)及其导函数f"(x)的部分图象如 图所示,则() A.p-罗 B函数八)在区间停孕上单调选塔 C.f(x)的图象关于直线x=-亚对称 6 D.f(x)+f(x)的最大值为3 第8页(共4页) 【解答】由f(x)=Acos(ar+p得f"(x)=-@Asin(or+p, 因为A>0,o>0,0<p<元,所以f"(0)=-@Asinp<0, 故由图象可知:A=1,0A=2,得o=2,f(x)=cos(2x+),f"(x)=-2sin(2x+9, 血孕=2n否+)=0,0<<得0子故4正确: 因=-22孕:由经+2加2+骨经+2版z得沿如晋-ae2, 由-空+2m≤2x+霄号+2ez设+m≤x≤8+meZ, 3-2 12 故了)在区回晋从树上单调递啦,布区间设m晋+如上单洞递减,故为错误: 12 12 ”12 /)=c08(2x+孕,由2x+于=m∈Z,得f)的对称轴为x=石+,keZ,放C正确, 62 0+war-学-2nex+9-5an0+骨0,共p0=-25,m- 5 故f(x)+(x)的最大值为V5,故D错误. 故选:AC. 三.填空题: 12.若函数f(x)=xn(x+√a+x2)为偶函数,则a= 【解答】f(x)=xn(x+Va+x2)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴.(-x)ln(-x+Va+x2)=xln(x+√a+x2), ..-In(-x+a+x2)=In(x+a+x2),..In-x+va+x2)+mn(x+a+x2)=0, .lm(Na+x2+x)(Wa+x2-)=0,lma=0,a=1. 故答案为:1. 13.已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f()=-e.若f(2)=8,则a= 【解答】:f(x)是奇函数,f(ln2)=-8,又:当x<0时,f(x)=ex, f(-ln2)=-e2=-8,-aln2=ln8,a=-3. 故答案为:-3 14.函数f(x)=2x-1|-2x的最小值为 【解答】法一、函数f(x)2x-1川-2m的定义域为(0,+o). 当0<x≤)时,f)2x-1-2=-2x+1-2,此时函数f)在0,为上为减函数, 2 当x号时,)2x-1-2-2x1-2m,则f)=2-是-2》。 第9页(共4页) 当e)时,)<0,)单调递减,当x∈+)时,f)0,了单调递增, :f(x)在(0,+∞)上是连续函数,∴.当x∈(0,1)时,f(x)单调递减,当x∈1,+o)时,f(x)单调递增. .当x=1时f(x)取得最小值为f(1)=2 1-1-2ln1=1. 法二、令g(x)2x-1川,h(x)=2x,分别作出两函数的图象如图: h(x)=2Inx 由图可知,f(x)≥f(1)=1, g(x)=2x-1 则数f(x)=2x-1|-2x的最小值为1. 故答案为:1. 2 四.解答题(共5小题) 15.(7+6分)已知等差数列{a}的公差d≠0,其前n项和为Sn,若a1,a2,a5成等比数列,且S6=36. ①求数列a)的通项公式:2)记=高十品十十求证:T<号 a23 【解答】(1)因为a1,a2,a5成等比数列,S6=36, (a1+02=a(a1+4d0 所以 6a1+65d=36 4分)由d+0,解符侣,2分) 2 所以a,=a1+(n-1)d=1+(n-1) 2=2n-1.(1分) an=(品)3分)i2 (2)由1= 1 aiai+l 得1:-1-言+号吉++高-)(1-2+),2分) 由meN,有>0,所以1-<1,得T=-)<1分 l6.(8+7分)己知 ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tan B tanC=tanB+tanC+1, a=V6,c=3. (1)求角C;(2)若 ABC为锐角三角形,且A+N丽+NC=0,求 BC的面积. 【解答】(1)当1-tan Btan C=0时,A=90 ,因为a=√6,c=3即a>c,所以A=90 不合题意(1分) 当1-tan B tanC≠0时,由tan BtanC=tanB+tanC+l得tanB+tanC-l,则tan(B+C)=-l1分) 1-tan BtanC 因为A+B+C=元,所以tanA=tan[ -(B+C)】=-tan(B+C),所以tanA=1,(1分) 又0<A< ,(1分)所以A=元(1分),因为a=V6,c=3,C∈(0,m), 所以由正弦定理得inC=csm43+2 2(1分),所以C=51分)或5(1分), 3 因为c>a,所以C>A,两个解均符合题意; 第10页(共4页) (2)因为 4BC为锐角三角形,所以C=号所以snB-sim[r-A+C=sm4+Q=645,(3分) 4 因为+B+NC=0,所以N是 ABC的重心,(1分) 所以Se写8e=名B名6x3x6正3片5,所以 aC的面积写3+ 1 .(3分) 6 6 44 4 17.(4+6+7分)已知函数f)=(cm)+,a ,其中a>0. 2(x-) (1)当a=时,求曲线y=f)在点1,f(1))处切线方程: (2)求f(x)的单调区间; (3)若区间Q,+切)c了)宁,求实数a的取值范围。 【解容1D当a-时,=加+2则ew-是 x(4x-2) (1分), 所以1)=01分),又了1)=加1分),则所求切线方程为y=加1分). (2)f)=+g12-20(1分),令f)=0,可得x=9或x=2a, x2(x-a)2 2x(x-)2 当a>0时,f(x)的定义为(0,U(a,+w)(1分), 则由f)>0,可得0<<g或x>2a,由f)<0,可得g<x<a或a<x<2a, 2 2 则fw)的增区间为(0,马和(2a,+∞)(2分),减区间为(,四和(a2四(2分). (3)由(2)得,当a>0时,f)在0孕和(2a+)上单调递增,在号)和(a20上单调递减, 当0<a时,2a1,则f在a+)上单调递增。 而/0-0用51}与g8不0,法:a分 当分aa时,2a>1,则/在Q,2刘上单调递减,在(a网)上单调递增, 则-0)-分放=d0,剥a1.解将 2≤K1.(3分) 当a>1时,x=a在L,+)上,但f(x)在x=a处无定义,舍去.(1分) 综上,a的取值范围是, 2 18.(5+10分)已知球O的半径为1,在球O的内接八面体PABCD2中,顶点P,Q分别在平面ABCD两 侧,且四棱锥P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥. 第11页(共4页) A D. D 图1 图2 (1)如图1,若点O在平面ABCD上,求证:PA//平面OBC: (2)如图2,若二面角P-AB-Q的正切值为-3,求该内接八面体的体积. 【解答】(1)证明:如图,连接AC,则AC必过点O, 在四边形PAQC中,由于对角线AC,P9互相平分, 则四边形PAQC为平行四边形,故PA/1QC,(2分) 由于PA丈平面QBC(1分),且QCc平面QBC,所以PA/1平面OBC:(2分) (2)【解法一】如图,过点B作BH/PQ,记正方形ABCD的中心为N,连接NA,NB, 由于BH⊥平面ABCD,BC,BAC平面ABCD,则BH⊥BC,BH⊥BA, 又BC⊥BA,则BC,BA,BH两两垂直, 如图,以点B为坐标原点,以BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,熙 BH所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,(1分) 由对称性,不妨设点O在N的下方,设ON=t(0<t<1), NA=NB=v1-p,AB=v2-2P,PN=1-t,ON=1+1, 于是点00040万.0,9-F,5T1-0,0-FM-E,1-0 设T面B的个注向量为元化,》,即=停1下971-0,团=05-F.0, 由g萨=0 9T+0-班-0,令3:.则55,0, BA=0 √2.V1-t24=0 于是平面PAB的一个法向量为=( V2V1-t,0,M+t),(3分) 设平面O1B的法向量为=s,为,》,20-T,5-,-10,=0,V5-F,0, 由匹0=0,则 [5-Fx+5.-F%-a+05=0 2, BA=0' V21-t为,=0 令2=1-t,则x2=√21+t,为2=0,则平面QAB的法向量为%=(W2V1+t,0,1-i)(2分), 第12页(共4页) 设三面角P-4B-Q平面角为0,由cos0而得队 1- F-F-12分) |nl%1V3-t.3+t√9-f2√10 测1兮圆V行D四方2 令-是即内接八面体约体积为 3> (2分) 【解法二】如图,记正方形ABCD的中心为N,取AB中点M,连接PM,QM,NA,NB, 由于PA=PB,则PM⊥AB,同理可证QM⊥AB,则∠PMQ为二面角P-AB-Q的平面角,(2分) 又NA=NB,则NM1AB,则∠PMN为二面角P-AB-N平面角,∠QMN为二面角Q-AB-N平面角, 不妨设点O在N的下方,设0N=x(0<x<1), 则NB=VI-平=NA4B=2-2,NM-T,PN=1-xQw=1+x 于是tan PMN=器-2g ,(1分) V1-x2 D tan:器号2震 (1分) 于是tan∠PMQ=tan(LPMW+∠QMW=tanPMN+taQMN 1-tan∠PMN.tanzQMN’ (2分) mpwg:n區。景离3 1一2 由于0<层<1,则层-号(1分)解得x=令则B专1分) 则V=号 PQ S四边Bc0=专 2 》-器即内接八面体的体积为器2分) 19. C5M8分》已知双曲线C号1a>0b>0的实精长为4,且经过有PA马 (1)求C的方程: (2)记C的右顶点为A,点R在线段AP(不含端点)上运动,垂直于x轴的直线RM交C于点M(:,)M 在第一象限),点S满足M瓜=西,设直线AS与C的另一个交点为N(x2,y2). ①用x,为表示直线AS的斜率k:②证明直线N过定点. 2a=4 [a=2 【解答】(1)由题可得 925 (2分),解得 851分》,敢c的方程为号号=1:1分) a 4631 (2)①因为42,0,P3,所以直线4P方程为y=x-5,2分) 2 由于M(,),故(2-),因为M派=西,所以S,5x-10-),(1分) 所以,022-5产1分 ￥1-2 ②证明:由①可知kw+w=k+k=5-”,+当,5,即光,+当。=5,(1分) x1-2-2 1-2x2-2 第13页(共4页) 由题意可知,直线MN的斜率显然存在,设直线MN:y=+m, -=1,消y得(6-4k)x-8r-4r2D M 联立 y=kx+m =642m2+4(5-4k2)4m2+20)>0(1分),即2+5>4k2, 所以+=分剂,=分》 则片+为-=+m++m=2西+0m-2)3+x)-45 1-2为3-2x1-253-2 Xx3-2(1+x3)+4 m+2k5,(2分) 所以m=1-2k(1分),所以直线MN:y=+1-2k=k(x-2)+1, 所以直线MN过定点(2,1).(1分) 第14页(共4页)