上海市七宝中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

2026学年（2026.10）七宝中学高三数学月考试卷及答案 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．考生应在答题纸相应位置直接填写结果） 1． 2．4 3．1 4． 5． 6．8 7． 8． 9． 10． 11． 12． 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13．B 14．B 15．D 16．C 三、解答题（本大题共5题，第题每题14分，第题每题18分．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤） 17．【详解】（1）几何体的表面积为； 6分 （2）因为，所以异面直线与所成的角即或其补角， 连接，， 8分 ， 所以，又， 所以， 12分 所以异面直线与所成角的大小为． 14分 18．【详解】（1）抽取的100只蟹质量的平均数为 ； 2分 因为质量小于250的频率为， 所以中位数位于，设中位数为，则，中位数 4分 （2）因为的频率为0.2，的频率为0.3，所以分层抽样比例为， 记“这两只蟹取自同一组”， 则这2只蟹都来自同一个质量区间的概率为； 8分 （3）因为蟹质量的平均数为255克， 所以按方案①获利为元； 10分 按方案②：质量低于250克的频率为， 质量大于等于250克的频率为， 所以按方案②获利为元， 12分 又因为，所以选择方案②获利更多． 14分 19．【详解】（1）当，时，，，则， 由正弦函数单调性，，，故． 6分 （2）由周期，得，则， 8分 方程的解为或，， 解得或． 当时，， 区间长度含675个周期（），贡献1350个解， 要求在区间内恰好有一个解， 10分 结合分析，在内的解为，． 若：仅落在区间，恰好1个解，符合； 若：，都落在区间，共2个解，不符合； 若：仅落在区间，恰好1个解，符合； 若：区间内无解，不符合． 综上所述，的取值范围为． 14分 20．【详解】（1）由题可知，，，所以焦距． 2分 离心率． 4分 （2）因为是线段的中点，所以，， 同时又在双曲线右支上，所以有，且，解得， 8分 所以斜率． 10分 （3），，设，，， 则，，， 双曲线和直线联立得，化简得到， 因此有，，， 12分 ． 13分 由得， 代入并化简得， 再代入，并化简得， 15分 方程有解，代入的范围，得到且． 由于，所以的取值范围为且． 18分 21．【详解】（1）对成立，得， 所以4为函数的周期． 4分 （2）由为“关于定积点”，得， 即，， 即，得， 6分 设的定义域为，求导得， 当时，，严格递增； 时，，严格递减； 时，，严格递增， 所以的单调递增区间为，，递减区间为， 所以的极大值为，极小值为， 8分 当时，，当，， 作出函数的大致图象如下， 只有两个不同的解转化为与有两个交点， 所以． 10分 （3）依题意，， 由恰有3个“的1定积点”，得方程恰有3个不等实数根， ①当时，，方程可化为，解得， 这与不符，因此在内没有实数根； 12分 ②当时，，方程可化为， 该方程又可化为． 设，则， 因为当时，，所以在内严格递增，， 因此，当时，方程在内恰有一个实数根； 当时，方程内没有实数根． 14分 ③当时，，方程可化为， 化为，于是此方程在内恰有两个实数根， 则有，解得， 因此当时，方程在内恰有两个实数根， 当时，方程在内至多有一个实数根， 16分 综上，的取值范围为． 18分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年（2026.10）七宝中学高三数学月考试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．考生应在答题纸相应位置直接填写结果） 1．已知，则________． 2．已知等差数列的前项和为，且，则________． 3．已知向量，满足，，，则________． 4．已知，不等式的解集为________． 5．中，角、、的对边分别为、、．若，则角的大小是________． 6．的展开式中的系数为________．（结果用数值表示） 7．复数满足，则的取值范围是________． 8．已知，，且，则的最小值为________． 9．已知的外接圆为单位圆，且圆心为，，，点是线段上一动点，则的最小值是________． 10．从，，，…，这10个数中任取4个不同的数，，，，则事件“存在，，，使得”的概率为________． 11．已知函数，，若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是________． 12．清凉夏日，上海玛雅海滩水公园是很多小朋友的避暑天堂．水公园的圆锥形翻水桶（如下左图），母线长为，开口直径为．水桶转动过程中时，当水面与水桶内壁所形成的椭圆经过母线中点时（如下右图），椭圆的离心率等于________． 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知直线经过点，则原点到点的距离可以是（ ） A．4 B．2 C． D． 15．一枚质地均匀的正方形骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（ ） A．第一次朝上的数字是偶数 B．第一次朝上的数字是1 C．两次朝上的数字之和是8 D．两次朝上的数字之和是7 16．数列中，，，记，，给出以下命题：命题；命题．下列选项中正确的是（ ） A．真真 B．真假 C．假真 D．假假 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤） 17．（第1小题满分6分，第2小题满分8分） 将边长为1的正方形绕边所在直线旋转，得到如图所示的几何体，它是圆柱的一部分． （1）求该几何体的表面积； （2）求异面直线与所成角的大小． 18．（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） “金秋时节蟹正肥，膏肓满溢惹人垂”，10月又到吃螃蟹的季节，某蟹塘随机捞出100只大闸蟹，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示．以各组数据的中间数代表这组数据的平均值． （1）求抽取的100只蟹质量的平均数和中位数；（若有小数，保留一位） （2）若按分层随机抽样从质量为，的蟹中随机抽取5只，再从这5只中随机抽取2只，求这2只蟹都来自同一个质量区间的概率； （3）某经销商来收购大闸蟹，该蟹塘中大约还有10000只蟹待捕捞，用样本估计总体．经销商对未捕捞的蟹提出以下两种收购方案： 方案①：所有蟹以90元/千克收购； 方案②：对质量低于250克的蟹以20元/只收购，对质量高于或等于250克的蟹以30元/只收购． 如果你是蟹塘老板，你会选择哪种方案，说明理由． 19．（第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知， （1）若，，求函数在上的值域； （2）若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围． 20．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知双曲线，过点的直线与交于不同两点、． （1）求双曲线的焦距和离心率； （2）若点坐标为，点在双曲线右支上，且为线段的中点，求直线的斜率； （3）若，点、分别是双曲线的左、右焦点，点是点关于轴的对称点，若存在直线，使得，求的取值范围． 21．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 对于定义域为的函数，若存在实数，使，其中为非零常数，则称为“的定积点”．已知，． （1）若任意实数均为“的2定积点”．求证：为周期函数； （2）若为“的定积点”，且只有两个不同的解，求实数的值； （3）设，若“的1定积点”恰有3个，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $