上海市吴淞中学2025-2026学年高三上学期第一次学科调研数学试卷

吴淞中学2025学年第一学期高三数学第一次学科调研 一.填空题 1.函数y=2cosx-1的最小正周期为一· 2.若z=-2+3i(其中i为虚数单位)，则|z= 3.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 4.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中m的值一· 甲 乙 79 233248 5.直线1：2x-(a+1)y-1=0,直线l2:x-y+1=0,若1/12，则a=一 6.设x∈R,方程|x-2+|2x-3|=3x-51的解集为 7.记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=2an+1,则S6= 8.如图所示为函数f(x)的图象，则不等式得<0的解集为 3: 9.在平面直角坐标系x0y中，己知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线 12x+5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是 10.随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为（默认每 个月的天数相同，结果精确到0.001) 11.在△ABC中，若|A=2|Ad=3,|Bd=4,0为△ABC的内心，且 A6=A+B武则入十4=一 12.设t>0,A=[t,t+1]U[t+3,t+6],任意x∈A都有会∈A,则= 二选择题 13.下列命题中正确的是() A.若ac2>bc2,则|a>b B.若a>b,c>d,则a-c>b-d C若a>b,则吉<吉 D若a>b>0,c<d<0,则是< 14.已知事件A和B相互独立，且P(A)=青，P(B)=,P(AnB)= A.克B.是C.号D. 15.已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是 () y=fx) y=g(x) A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率 B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率 C.对于任意xo∈(a,b),函数f(x)在x=xo处的瞬时变化率总大于函数g(x)在 x=x0处的瞬时变化率 D.存在o∈(a,b),使得函数f(x)在x=xo处的瞬时变化率小于函数g(x)在 x=xo处的瞬时变化率 16.示性函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知全集 U的元素个数有限，对于U的任意一个子集S,定义集合S的示性函数 (1,x∈S fs(x)= {0,xe§，集合A、 B都是U的子集.现有以下四个命题： ①若A∈B,则fA(x)≤fB(x); ②∑E4fa(x)<∑EUfA(x): ③∑eUfB(x)=∑au(fA(x)+fa(x)-fa(x)fg(x): ④∑s(1-fA(x)(1-fB(x))=∑(1-fA(x)-fB(x): 注：∑Nf(x)表示M中所有元素x所对应的函数值f(x)之和，（其中M是f(x) 定义域的 子集)上述命题中真命题的个数是() A.1B.2C.3D.4 三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD, PA=AD=2,BD=2v2 (1)求证：BD⊥平面PAC; (2)求点C到平面PBD的距离. 18.已知函数f(x)=sinxcosx-sin2x+青. 3 (1)求f(x)的单调递增区间： (2)在△ABC中，a,b,c为角AB,C的对边，且满足bcos2A=bcosA-asinB, 且0<A<,求角A的值，进而再求f(B)的取值范围. 19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 己知函数f(x)=2-京. (1)若f(x)=2,求x值： (2)若2f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围. 20.设椭圆C:等+爷=1(a>b>0)过点(2,0)，且直线x-5y+1=0过c的左焦 点 (1)求椭圆C的方程及其离心率； (2)设(xV3y)为C上的任一点，记动点（飞，y)的轨迹为了，下与x轴的负半轴，y轴的 正半轴分别交于点G,H,C的短轴端点关于直线y=x的对称点分别为FF2.当点 P在直线GH上运动时，求PF1·PF2的最小值； 3)如图，直线1经过C的右焦点F,并交C于A,B两点，且AB在直线x=4上的射 影依次为D,E.当1绕F转动时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，求出定点的 坐标；否则，请说明理由. 5 21.已知函数f(x),g(x)满足f(x)=2ex-e-x+ax, f(x)+g(x)=(2e2-1)e-x+(2-点)ex+2a (1)若f(x)为R上的增函数，求a的取值范围， (2)证明：f(x)与g(x)的图象关于一条直线对称. (3)若a≥-2W2,且关于x的方程f(x)+f(ex-m)=2g(2-x)在[-1,1]内 有解，求m的取值范围. 6吴淞中学2025学年第一学期高三数学第一次学科调研 一.填空题 1.函数y=2cosx-1的最小正周期为 【解析】π 2.若z=-2+3i(其中1为虚数单位)，则|z到= 【解析】√3 3.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 【解析】2 4.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中m的值_ 甲 乙 7 2 3 9 m 3 2 48 【解析】3 5.直线1：2x-(a+1)y-1=0,直线2：ax-y+1=0,若1//12，则a= 【解析】1 6.设xER,方程x-2+|2x-3=|3x-51的解集为 【解行1（引+ 7.记Sm为数列{an}的前n项和，若Sn=2an+1,则S6= 【解析】-63 8.如图所示为函数f(x)的图象，则不等式<0的解集为 1 2 【解析】 〔-2 9.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线 12x+5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是 【解析】 10.随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 (默认 每个月的天数相同，结果精确到0.001) 【解析】0.985 11.在△ABC中，若A=2,AC=3,Bd=4,0为△ABC的内心，且 Ad=AB+B则1+μ=一 【样折1写 12.设t>0,A=[t,t+1]U[t+3,t+6],任意x∈A,都有是∈A,则1= 【解析】 45 二选择题 13.下列命题中正确的是() A.若ac2>bc2,则|a>|b B.若a>b,c>d,则a-c>b-d C.若a>b,则吉<言 D.若a>b>0,c<d<0,则是< 【解析】D 14.已知事件A和B相互独立，且P(A)=,P(B)=号，P(AnB)= A.B.是C.号D. 【解析】A 15.已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示，则下列说法正确 的是()】 y=fx) y=g(x) A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化 率 B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化 率 C.对于任意o∈(a,b),函数f(x)在x=xo处的瞬时变化率总大于函数 g(x)在x=xo处的瞬时变化率 D.存在xo∈(a,b),使得函数f(x)在x=xo处的瞬时变化率小于函数 g(x)在x=xo处的瞬时变化率 【解析】D 16.示性函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知全集 U的元素个数有限，对于U的任意一个子集S,定义集合S的示性函数 1,x∈S f(x)={0,x8集合A B都是U的子集.现有以下四个命题： ①若AsB,则fA(x)≤fB(x); ②∑e4fA(x)<∑Eufa(x); ③∑EUB(x)=∑au(fa(x)+fa(x)-fa(x)fg(x): ④∑E(1-fA(x)(1-fg(x)=(1-fa(x)-fB(x): 注：∑swf(x)表示M中所有元素x所对应的函数值f(x)之和.（其中M是 f(x)定义域的 3 子集)上述命题中真命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】B 三、解答题：本题共5小题，共78分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD, PA=AD=2,BD=2v2 (1)求证：BD1平面PAC; (2)求点C到平面PBD的距离. 【解析】 (1):PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, PA⊥BD, :底面ABCD是正方形，：AC⊥BD, 又：PAnAC=A, :BD⊥平面PAC. (2):PA=AD=2,BD=22,底面ABCD是矩形， ·由勾股定理得AB=VBD2-AD2=2, ·底面ABCD是正方形， 所以SABCD=克AB·AD=2· 三棱锥B-PCD的体积VB-PcD=Vp-BcD 4 =青S△BD·PA=青×2×2=等 设点C到平面PBD的距离为h 则有普号80办-写9(22A曰h=2 18.已知函数f(x)=sinxcosx-sin2x+专. (1)求f(x)的单调递增区间： (2)在△ABC中，a,b,c为角AB,C的对边，且满足bcos2A=bcosA-asinB, 且0<A<受，求角A的值，进而再求f(B)的取值范围. 【解析】 (1)由题知fx)=sin2x-专(1-cos2x)+号 =sin2x+cos2x=号sm2x+爱). 由2kπ-号≤2x+晋≤2kπ+(k∈Z, 解得kπ-晋≤x≤kπ+晋· 所以fx)单调递增区间为[kπ-晋，kπ+晋](k∈Z)· (2)依题意，由正弦定理，sinBcos?2A=sinBcosA-sinAsinB· 因为在三角形中sinB≠0，所以cos2A=cosA-sinA cosA-sinA)(cosA+sinA-1)=0 当cosA=sinA时，A=; 当cosA+sinA=1时，A=号. 由于0<A<号，所以A=.则B+C=妥·则0<B<妥·又 等<2B+晋<妥 所以-1≤s血(28+)≤1.由f8=号sn(28+) 则f(B)的取值范围是 [-] 19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8 分. 已知函数f(x)=2-卖 (1)若f(x)=2,求x值； (2)若2f(2t)+mf(t)≥0对于te[1,2]恒成立，求实数m的取值范围. 【解析】 由已知得 付-寸6 (1)因为fx)=2, 所以2-=2. 整理得(2*)2-2×2-1=0. 因为x>0,解得2=1+V2,或2=1-2（舍去）， 所以x=1og,(1+V2). (2)因为t∈[1,2]， 所以2f(2t)+mf(0≥0等价于2(22-会)+m(2-)≥0， 即m(22t-1)≥-（24t-1). 因为22t-1>0， 所以上式等价于m≥-(4+1). 当t∈[1,2]时，-(4+1)的最大值为-5，于是m≥-5· 所以实数m的取值范围是[-5，+∞)· 6 20.设椭圆C:+器=1(a>b>0)过点2,0，且直线x-5y+1=0过c的左 焦点 (1)求椭圆c的方程及其离心率； (2)设（xV5y)为C上的任一点，记动点(x,y)的轨迹为『，了与x轴的负半轴， y轴的正半轴分别交于点G,H,C的短轴端点关于直线y=x的对称点分别为 FF2·当点P在直线GH上运动时，求P可·PF2的最小值； (3)如图，直线1经过C的右焦点F,并交C于A,B两点，且AB在直线 x=4上的射影依次为D,E·当1绕F转动时，直线AE与BD是否相交于定 点？若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由. 【解析】 (1)由已知得a=2,在直线x-5y+1=0中，取y=0,得x=-1,可得c=1· .b2=a2-c2=3, :椭圆C的方程为等+号=1： (2)由（x,V3y)为C上的点，得等+y2=1 :￥+y2=1,则G(-2,0),H0,1, GH:+￥=1，即x-2y+2=0 椭圆C的短轴两端点分别为(0，-V3),(0,5), 两点关于直线y=x的对称点分别为F(-V3,0F2(V5,0), 设P(x0y),则x-2y+2=0, 7 PB=（-5-x0-y)PR2=（V5--y), 则PB.PB3=x2-3+y。2=5y。2-8y。+1=5y。-)-号≥-昔 P序·P丽2的最小值为-号； (3)当直线1斜率不存在时，直线11x轴，则ABED为矩形， 由对称性知，AE与BD相交FK的中点N(,O), 猜想，当直线1的倾斜角变化时，AE与BD相 交于定点N(,0)· 证明：设直线1方程y=k(x-1), 直线1交椭圆于A(x1,y),B(x2,y2),则D (4y)E(4y2), (y=k(x-1) 联立{等+号=1 ,得（3+4k2)x2-8 k2x+4k2-12=0, X+X2=器Xx2= 3+4 当直线1的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点N(,0), :AE:y-y=(x-4),当x=月时， y=y,计受(-)=-在w a4-8) 24-x1) =-8k-2xt5t2=0, 24-x) :点N(,0)在直线AE上，同理可证，点N(,0)也在直线D上. ·当1绕F转动时，AE与BD相交于定点(，O): 21.已知函数f(x),g(x)满足f(x)=2ex-e-x+ax, 8 f(x)+g(x)=(2e2-1)ex+(2-是)ex+2a (1)若f(x)为R上的增函数，求a的取值范围。 (2)证明：f(x)与g(x)的图象关于一条直线对称. (3)若a≥-2W2,且关于x的方程f(x)+f(x-m)=2g(2-x)在 [-1,1]内有解，求m的取值范围。 【解析】 (1)由f(x)=2ex-e-s+ax,可得fx=2ex+e-s+a :f(x)为R上的增函数， :fx)≥0对xeR恒成立， :2ex+e-x+a≥0对xER恒成立， 即a≥-(2ex+e-)对x∈R恒成立， 2ex+e22ex.ex =2v2, i-(2ex+e)≤-22， 当且仅当2ex=ex,即ex=号，即x=h号时取等号， “【-(2ex+e*)]max=-25, :a≥-2W2, :a的取值范围为[-2y2,+): (2)证明：：fx)=2ex-e-*+ax,fx)+gx)=(2e2-1)ex+(2-è)ex+2a, “g(x)=(2e2-1)e-x+(2-è)ex+2a-fx) =(2e2-1)ex+(2-良)ex+2a-(2e-e-x+ax), 即g(x)=2e2.e-x-是·ex+2a-ax=2e2-x-e-2+a(2-x)=f(2-x) gx)=f(2-x), 又函数y=f(x)关于y对称的函数为y=f(x, 再把y=f(-x)向右方平移2个单位得到y=f[-(x-2)]=f(2-x) ·函数y=g(x)与y=f(x)关于对称x=1 (3)(2)可得g(2-x)=2ex-e-x+ax=f(x 又：fx)+f(ex-m)=2g(2-x)在[-1,1]内有解， fx)+f(ex-m)=2fx)在[-1,1]内有解， f(ex-m)=f(x)在[-1,1]内有解， 由(1)可知a≥一2W2时，f(x)为R上为单调递增函数， ÷fx)在[-1,1]上单调递增， :ex-m=x, m=ex-x在[-1,1]内有解， 令p(x)=ex-x,求导可得px)=ex-1, 当xE(-1,0)时，px)<0,函数在(-1,0)上单调递减， 当x∈(0,1)时，px)>0,函数在(0,1)上单调递增， “80-1汉p(-1)=+ 1<1.5,p(1)=e-1>1.5, p(8m=44=e-1, ÷m的取值范围为[1，e-1]· 10