精品解析：　广东深圳市龙岗区深圳亚迪学校2026-2027学年九年级上学期10月数学学情自测试卷

2026-2027学年上学期九年级期中数学限时训练2 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可以为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程方程的定义．根据一元二次方程的二次项系数不为0求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，则， 故选：B． 2. 下面矩形中，和矩形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对应边成比例，对应角相等的矩形相似，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且四个角都是直角，根据所有的直角都相等，对应边成比例，符合定义． 3. 如图是一个由数控车床制造的高精度零件，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定主视图的观察方向（正面），再分析该零件从正面观察得到的图形形状，匹配对应选项． 【详解】从正面看，顶部是一个三角形；中部是一个长方形；底部是一个长方形，且宽度比中部的长方形要窄．符合条件的只有B选项． 4. 下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角线相等 C. 四条边相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与菱形的性质，熟记平行四边形的性质与菱形的性质是解决问题的关键． 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，但四条边相等是菱形特有的性质，不是所有平行四边形都具有，从而得到答案． 【详解】A、对边相等是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； B、对角线相等既不是菱形的性质，也不是平行四边形的性质，不符合题意； C、四条边相等是菱形性质，不是平行四边形性质，符合题意； D、对角线互相平分是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； 故选：C． 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由一元二次方程判别式求参数，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，利用判别式公式求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， 解得， 故选：D． 6. 已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中点四边形，由四边形为菱形可得，由三角形中位线定理得，故可得结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵点、、、分别为四边形各边中点， ∴， ∴， 故选项C正确，选项A，B，D不正确， 故选：C． 7. 如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 8. 如图，在正方形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动．设，两点移动的时间为．在，两点移动的过程中，当的长度为时，的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 3或4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、一元二次方程等知识，根据勾股定理列方程是关键． 在中求出对角线的长度，过点作于点，用含的代数式表示出、的长度，然后在中利用勾股定理得出，根据的长度等于列方程求解． 【详解】解：在正方形中，， ． 由题意，得，， ，． 如图，过点作于点， 则由勾股定理可得，， ， ． 在中， ， ， 即， 解得，． 故在，两点移动的过程中，当的长度为时， 的值为2或4． 故选：C ． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键． 根据比例的基本性质进行化简，代入求值即可． 【详解】解：由可得， ∴． 故答案为：． 10. 如图，在中，，，D是边的中点，连接，则____________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，先求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据等边对等角，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 若是方程的一个解，则这个方程的另一个解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，根据一元二次方程的解求得方程是解题的关键． 首先根据求得方程，再解方程得出另一个解即可． 【详解】解：将代入方程中， ∴，解得：， ∴，解得：，， ∴方程的另一个解是， 故答案为：． 12. 如图，矩形的对角线，相交于点O，分别过点O作于点E，过点D作于点F，此时，若，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得出，，，从而可得，再说明是的中点，结合，可说明是等腰三角形，再证明是等边三角形．然后利用中位线的性质求得，从而可求得． 【详解】解：由矩形的性质可知，，， ∴． ∵， ∴是的中点． ∵， ∴是等腰三角形， 即， ∴， 即是等边三角形． 又∵，， ∴是的中点． 又是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三线合一，等边三角形的判定和性质，与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 13. 如图，在中，，的高线与角平分线交于点F，若．则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定，矩形的判定与性质，角平分线的性质，分式方程化为一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 过点E作于点P，于点M，推导出四边形为矩形，设，证明，，推导出，，，由得到，，求出，，由，得到，即，设，得，解得（不符合题意，舍去）则，即可解答． 【详解】解：过点E作于点P，于点M，如图 有， ∴四边形为矩形， ∴， 设， ∵平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ， ， 设，得， 即， 解得（不符合题意，舍去） 经检验，是原方程的解， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共7小题，计61分．解答应写出过程） 14. 解方程： （1）； （2）（配方法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向左平移5个单位长度得到，画出； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并直接写出坐标． （3）用无刻度直尺作的角平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析，坐标为 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据向左平移横坐标减相应单位，纵坐标不变计算出、​、的坐标，描点连线得到． （2）根据以原点为位似中心，相似比为且在第三象限，原顶点横、纵坐标都乘以得到对应位似顶点坐标，再描点连线得到，同时可直接得出的坐标． （3）借助网格找到能辅助构造角平分线的点，连接与该点得到角平分线． 【小问1详解】 解：如图，A、B、C向左平移5个单位长度，得到、​、， 首尾顺次连接各点，即得； 【小问2详解】 解：如图，A、B、C各点的横纵坐标乘以，得到、​、的坐标， 描出各点，首尾顺次连接各点，即得， 坐标为； 【小问3详解】 解：取边与格线的交点P，线段即为所作． 16. 【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿． 【答案】（1）平行投影； （2）如图所示，就是的投影． （3）的长为； （4）这棵树高 【解析】 【分析】本题重点考查平行投影和相似三角形的实际应用，平行投影下，两个物体竖直放在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形的对应边成比例，抽取题目关键信息，作出图形，并利用相似三角形的性质是解决本题的关键． （1）【数学思考】太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影， （2）【数学思考】过点作的平行线，并交直线于，即得到投影， （3）【数学思考】根据平行投影的特征，得到两个相似三角形和，并利用相似三角形对应边成比例，求得立柱的值， （4）【解决问题】此题需要先抽取题目信息，画图构造，作出的平行线，并利用其与相似，计算得到的值，进而求得古树的高度． 【详解】解：（1）太阳光线属于平行光线，形成平行投影． （2）作直线，过点作，交直线于； （3）太阳光线是平行的， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故立柱的长为． 答：立柱的长为． （4）如图，过点作交于点， 则，， ， 即， ， ． 答：这棵树高． 17. 如图，菱形中的两条对角线相交于点O，其中，延长至点E，使，连接． （1）求的长度； （2）求的度数． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用平行四边形的判定与性质求解，利用菱形的性质求线段长，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据菱形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求解； （2）先根据菱形的性质得出，即，从而可求得，再根据平行四边形的性质得出，从而可求得． 【小问1详解】 解：由菱形性质可知：． ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴的长度为8； 【小问2详解】 解：由菱形性质可知：，即． ∵， ∴． ∵， ∴． 18. 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆． （1）求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据月份和月份的销售量建立方程求解即可； （2）设汽车的售价下调万元，根据总利润等于每辆汽车的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设新能源汽车的售价下调万元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵此次销售尽量让利于顾客， ∴， ∴． 答：下调后每辆新能源汽车的售价为万元． 19. 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】（1）；1 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． 【小问2详解】 解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． 20. 【材料理解】 素材1：凸多边形是指多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧（北师大数学七年级上册教材P128）． 例：如图1，四边形是凸四边形，四边形不是凸四边形． 素材2：过多边形的一个顶点的线段把该多边形分成相似的两部分，则称该多边形为“顶似多边形”，这条过顶点的线段称为“顶似线”． 【特例感知】 如图2，在等腰中，，，则是“顶似三角形”． 分析：________________，相似比是________． 则等腰是“顶似三角形”，是它的“顶似线”． （1）请补充以上分析过程中横线上的内容． 【问题解决】 （2）如图3，在中，，是“顶似三角形”吗？请证明你的结论． 【拓展延伸】 （3）如图4，在中，，，． ①直接写出：________，________，的面积为________； ②凸四边形是“顶似四边形”，它的唯一一条“顶似线”过点M．请在的基础上，用直尺作出凸四边形，并求出它的面积． 【答案】（1），， （2）是“顶似三角形”，证明如下： 如图，作于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“顶似三角形”； （3）①，，； ②当时，作于点， 则，， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴此时凸四边形的面积为； 如图，当时，作于点， 则，， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴此时凸四边形的面积为； 如图，当时，作于点， 则，， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时凸四边形的面积为． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，，，再结合相似三角形的判定与性质即可得出结果； （2）作于点，则，由同角的余角相等得出，从而可得，即可得证； （3）①作于点，则，为等腰直角三角形，结合勾股定理求出，求出，即可得出，由勾股定理得出，即可得出结果； ②分三种情况，分别结合相似三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在等腰中，，， ∴，，， ∴，相似比是； ∴等腰是“顶似三角形”，是它的“顶似线”． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：①如图，作于点，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； ②略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期九年级期中数学限时训练2 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可以为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 2. 下面矩形中，和矩形相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个由数控车床制造的高精度零件，其主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角线相等 C. 四条边相等 D. 对角线互相平分 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 6. 已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动．设，两点移动的时间为．在，两点移动的过程中，当的长度为时，的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 3或4 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知，则________． 10. 如图，在中，，，D是边的中点，连接，则____________ 11. 若是方程的一个解，则这个方程的另一个解是________． 12. 如图，矩形的对角线，相交于点O，分别过点O作于点E，过点D作于点F，此时，若，则线段的长为____________． 13. 如图，在中，，的高线与角平分线交于点F，若．则_______． 三、解答题（共7小题，计61分．解答应写出过程） 14. 解方程： （1）； （2）（配方法）． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向左平移5个单位长度得到，画出； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并直接写出坐标． （3）用无刻度直尺作的角平分线． 16. 【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿． 17. 如图，菱形中的两条对角线相交于点O，其中，延长至点E，使，连接． （1）求的长度； （2）求的度数． 18. 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆． （1）求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 19. 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 20. 【材料理解】 素材1：凸多边形是指多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧（北师大数学七年级上册教材P128）． 例：如图1，四边形是凸四边形，四边形不是凸四边形． 素材2：过多边形的一个顶点的线段把该多边形分成相似的两部分，则称该多边形为“顶似多边形”，这条过顶点的线段称为“顶似线”． 【特例感知】 如图2，在等腰中，，，则是“顶似三角形”． 分析：________________，相似比是________． 则等腰是“顶似三角形”，是它的“顶似线”． （1）请补充以上分析过程中横线上的内容． 【问题解决】 （2）如图3，在中，，是“顶似三角形”吗？请证明你的结论． 【拓展延伸】 （3）如图4，在中，，，． ①直接写出：________，________，的面积为________； ②凸四边形是“顶似四边形”，它的唯一一条“顶似线”过点M．请在的基础上，用直尺作出凸四边形，并求出它的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $