精品解析：广东揭阳市榕城区立才中英文学校2026-2027学年第一学期九年级数学第一次学情自测卷

立才中英文2026-2027学年度第一学期第一次月考 九年数学试卷 时间：120分钟 分数：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列性质中菱形一定具有的是（ ） A. 对角线相等 B. 有一个角是直角 C. 对角线互相垂直 D. 四个角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直，四个角不一定相等，不一定有一个角是直角即可得到答案． 【详解】解：菱形的对角线互相垂直且平分，只有该菱形是正方形时，其对角线相等，有一个角是直角，四个相等， ∴菱形一定具有的性质是对角线互相垂直， 故选：C． 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 4、、1 B. 4、2、 C. 4、、 D. 4、2、1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；因此此题可根据“一元二次方程，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项”进行求解即可． 【详解】解：由方程可知：二次项系数、一次项系数、常数项分别为4、、1； 故选A． 3. 不解方程，判断一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等实根 B. 有两个相等实根 C. 没有实根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了根的判别式，正确求出根的判别式是解题关键． 整理一元二次方程把，，代入判别式进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况． 【详解】一元二次方程整理为， ∴． ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（ ） A. 15° B. 22.5° C. 20° D. 10° 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形与等边三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵正方形ABCD外侧作等边， ∴， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，掌握正方形与等边三角形的性质是解题的关键． 5. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围（    ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：B． 7. 如图，测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：B． 8. 如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出是解此题的关键．根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：连接，过作轴于， 点的坐标是， ，，由勾股定理得：， 四边形是矩形， ， ， 故选：D 9. 如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用折叠的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 将矩形沿折叠， ， ， ， 设，则，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得， ， ． 10. 《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为 ． 故选：D 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 【答案】2400 【解析】 【分析】根据勾股定理以及菱形的性质求出菱形的另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 即其透光面积为． 12. 某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 【答案】 【解析】 【分析】设小组人数为，每个人给除自身外的成员送贺卡，总贺卡数等于人数乘以每人送出的贺卡数，列一元二次方程求解后舍去不合题意的负解即可． 【详解】解：设这个数学小组共有人， ∵每个人需要给组内除自己以外的人送贺卡， ∴总贺卡数可表示为， 据此列方程，得 ， 整理，得 ， 解得，． ∵人数不能为负数， ∴舍去， 即这个数学小组共有人． 13. 已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：__________（写方程的一般形式）． 【答案】 【解析】 【分析】设出符合条件的一元二次方程，利用根与系数的关系求出一次项系数和常数项，即可得到目标方程． 【详解】解：设该一元二次方程为，方程的两个根为，， 由根与系数的关系可得，， ∴， ∴因此方程为． 14. 如图，在正方形中，点P是上一点，过点P作于点E， 于点F，连接，若，则的最小值为___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先证明四边形为矩形，连接,可得到,当点P运动到中点时， ,此时可得到最小值，再代入具体数值计算，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接． ∵ ， ， ∵四边形为正方形， ∴, ∴四边形为矩形， ∴, 当点P运动到中点时，, 此时有最小值，即有最小值， ∵， ∴, ∴, ∴, ∴最小值为． 15. 如图，已知菱形的边长为2，，进行如下操作：第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第次操作后，得到四边形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，涉及矩形和菱形的判定与性质，三角形的中位线性质，通过推导计算得到面积的变化规律是解答的关键．根据矩形和菱形的判定与性质，结合三角形的中位线性质得到每一次得到的四边形的面积与菱形的关系，进而得到变化规律即可． 【详解】解：连接，，，， ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 依次可得，， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【小问1详解】 解：； 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：或； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或． 17. 在菱形中，点E是边的中点，试分别在下列两个图形中按要求仅使用无刻度的直尺作图． （1）在图1中，过点E作线段，交于点F； （2）在图2中，连接，在上找一点P，使的值最小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为菱形的对角线互相平分，所以先连接得到交点，该点为菱形中心．因为过E和菱形中心的直线与的交点即为F，且由三角形中位线性质可证，所以连接E与对角线交点，延长交得点F即可． （2）因为菱形是轴对称图形，为对称轴，点A关于的对称点为点C，所以利用轴对称性质将转化为．因为两点之间线段最短，所以的最小值为的长度，因此连接与的交点即为所求点P． 【小问1详解】 连接菱形的对角线，两条对角线交于点O， 作直线并延长，交于点F， 线段即为所求的平行于的线段．  原理依据：菱形对角线互相平分，O是的中点，E是中点， ∴，即． 【小问2详解】 连接与的交点就是所求的点P． 原理依据：菱形的对角线是对称轴，点A和点C关于对称， ∴， ∴； ∵“两点之间线段最短”， ∴当C、P、E三点共线时，的长度最小，也就是的长度， 此时的值最小． 18. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴ （2） 选择条件①，四边形为矩形， 证明：∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 选择条件②，四边形为菱形， 证明：∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形和矩形的判定，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行得到，，再由，即可由证明全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系等知识． （1）计算，根据题意得到，即，得到； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，根据得到，整体代入得到，即可求出． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在矩形中，．点P从点D出发沿向点A运动，运动到点A即停止，同时点Q从点B出发沿向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是．连接．设点P，Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是菱形？ （2）是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）·  （2）不存在这样的时刻t，理由： 假设存在时刻满足， 过作于，则， ∵矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴． ∴． 其中，，， 代入得， 整理得一元二次方程． ∴， ∴该方程无实数根， ∴不存在这样的时刻，使得． 【解析】 【分析】先用含的代数式表示出线段、、、的长度，因为且，所以四边形是平行四边形． （1）如果菱形的邻边相等，那么，结合勾股定理列出关于的方程求解． （2）如果，那么，过点作的垂线，构造直角三角形，证明，得．代入，，，得，得一元二次方程． 判别式，无实数根，即得结论． 【小问1详解】 解： 由题意得，运动秒后：，． ∵矩形中，， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 若要平行四边形为菱形，需要满足邻边相等，即． 在中，由勾股定理得：​， 又， 列方程：  两边平方后化简得：， 解得​，经检验：​是方程的解，且符合题意． 【小问2详解】 略 21. 配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为（本），总成本（元）为： 利用配方法求的最小值， 解： ∴当时，总成本最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）求的最小值___________； （2）已知，求的值； （3）若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为，三角形面积为，用配方法求的最大值． 【答案】（1）2； （2）； （3）的最大值为18． 【解析】 【分析】（1）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，则，根据，确定出最大值即可． 【小问1详解】 解： ， ， 当时，有最小值； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ，， ； 【小问3详解】 解：设其中一条直角边为，则另一条直角边为， ， ， 当时，有最大值18． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分 22. 2025年11月，伴随着“绿茵风云动，足梦彩云南”的口号云南省城市足球联赛正式开赛，全省十六个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让云南球迷的足球梦想在七彩云南绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显云南“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“风风”和“云云”的风云球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款风云球服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． （1）求该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） 月平均增长率为 （2） 该款风云球服降价元时，月销售利润达元 【解析】 【分析】（1）根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于单价利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：设该款风云球服销售量的月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该款风云球服降价元时，月销售利润达元， 降价后每件球服的利润为元，月销售量为件， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服降价元时，月销售利润达元. 23. 如图，点在正方形的边的延长线上，点在边上，且，的延长线交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） （3）证明：如图所示，过点作，交的延长线于点， ∴， 由（2）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，则可证明，得到，即； （2）连接，取的中点，连接，，可证明，得到，；设，则，，据此可求出，则可求出； （3）过点作，交的延长线于点，则是等腰直角三角形，推出，，证明，得到，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接，取的中点，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴，； 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 立才中英文2026-2027学年度第一学期第一次月考 九年数学试卷 时间：120分钟 分数：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列性质中菱形一定具有的是（ ） A. 对角线相等 B. 有一个角是直角 C. 对角线互相垂直 D. 四个角相等 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 4、、1 B. 4、2、 C. 4、、 D. 4、2、1 3. 不解方程，判断一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等实根 B. 有两个相等实根 C. 没有实根 D. 无法确定 4. 如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（ ） A. 15° B. 22.5° C. 20° D. 10° 5. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围（    ） A. B. 且 C. 且 D. 7. 如图，测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 9. 如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 10. 《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 12. 某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 13. 已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：__________（写方程的一般形式）． 14. 如图，在正方形中，点P是上一点，过点P作于点E， 于点F，连接，若，则的最小值为___________ ． 15. 如图，已知菱形的边长为2，，进行如下操作：第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第次操作后，得到四边形的面积是________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 在菱形中，点E是边的中点，试分别在下列两个图形中按要求仅使用无刻度的直尺作图． （1）在图1中，过点E作线段，交于点F； （2）在图2中，连接，在上找一点P，使的值最小． 18. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 20. 如图，在矩形中，．点P从点D出发沿向点A运动，运动到点A即停止，同时点Q从点B出发沿向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是．连接．设点P，Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是菱形？ （2）是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由． 21. 配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为（本），总成本（元）为： 利用配方法求的最小值， 解： ∴当时，总成本最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）求的最小值___________； （2）已知，求的值； （3）若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为，三角形面积为，用配方法求的最大值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分 22. 2025年11月，伴随着“绿茵风云动，足梦彩云南”的口号云南省城市足球联赛正式开赛，全省十六个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让云南球迷的足球梦想在七彩云南绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显云南“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“风风”和“云云”的风云球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款风云球服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． （1）求该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 23. 如图，点在正方形的边的延长线上，点在边上，且，的延长线交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $