安徽部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

1 高二10月数学·答案 一、选择题 1.答案C 命题透析本题考查两直线平行. 解析因为直线3x-y+2=0的斜率为3，所以由平行关系可设l:y=3x+b.将点(1，-1)代入，得-1=3×1+ b,解得b=-4,所以1的方程为y=3x-4. 2.答案D 命题透析本题考查直线的斜率与倾斜角： 解析由题意知，an0=2>3=tan60°，所以60°<0<90°. 3.答案C 命题透析本题考查空间向量的数量积与夹角. 解折因为a,b的夹角为钝角，所以a:b=-4-4m-1<0,解得m>-子当m=4时，a,b共线，需排除，所 以m>一子且m≠4，结合选项可知，只有m=2符合题意 4.答案A 命题透析本题考查空间向量基本定理 解析由题意，得d=(丽+BC=[丽+(B底+cd]=c+b-a+e)=-a+b+c 5.答案C 命题透析本题考查平面的法向量以及点到平面的距离公式 解析由题意，得庐=(0,0,6)，则点P到平面a的距离为d=应，n 12 1mV2+(-0产+24 6.答案B 命题透析本题考查直线的斜率， 解析不锁设点C(-1,-》,所以直线4C的斜幸为出=-号，直线C的斜幸号-二}-1因 为直线1与线段AB相交，所以：的取值范围是(-”，-号]U[1,+∞) 7.答案D 命题透析本题考查直线的方程与性质： x1+2y1-8=0, 解析设A(x1,y1),B(x2,y2).由点A,B所在的直线方程，得{ 因为AB的中点为P(2,1),所以 2x2-y2+1=0. 「1+x2=2, 联立以上四个方程，可得4(2,3)，8(0,1），所以直线4B的方程为y--合+1，即-y+1=0 ly1+y2=4. 8.答案A 命题透析本题考查二面角的概念以及空间向量的综合应用. 解析作AM垂直PB于点M,CN垂直PB于点N,则AM=CN-,MN=1,所以=d++心平方，得 1At12=(Ai+M+NC)2=A㎡+M+N心+2Ai.Nt+2Ai.M+2Nd.M成.因为AM1MN,NC⊥MN, 所以AM.M亦=Nd.M=0.因为二面角A-PB-C的大小为120°，所以AM,N心的夹角为60°，所以1A心12= 子++1+2x××m60-故A= 二、选择题 9.答案AD 命题透析本题考查空间向量基本定理及空间基底. 解析三个不共面的向量才能构成空间基底。 对于A,因为a,b,c三个向量不共面，所以a,-b,-c三个向量也不共面，故A正确. 对于B,易知a-b与b-a是共线向量，所以a-b,b-a,c三个向量共面，故B错误. 对于C,因为(a-b)+(b-c)=a-c,所以a-b,b-c,a-c三个向量共面，故C错误， 对于D,设xa+y(a+b)+z(a+b+c)=0,整理得(x+y+z)a+(y+z)b+zC=0.因为a,b,c三个向量不共面， 所以x+y+z=y+z=z=0.所以x=y=z=0.所以a,a+b,a+b+c不共面，故D正确. 10.答案BCD 命题透析本题考查两直线平行、垂直关系的判断。 「x-2y=0, 解析对于A,直线l1的方程可化为a(x-2y)+(3x+y+1)=0,由 3x+y+1=0 解得=一弓= 所以马过定点(-弓，-)放A错误 对于B,设P(-号，-），则原点0到的距离的最大值为10P1=√（号）+(-汽，故B正确 对于C,若l1∥12，则(a+3)(a+1)-(2a-1)(1-2a)=0,化简，得5a2+4=0,该方程无实数解，故不存在 aeR,使得l1∥l2,故C正确. 对于D,若乙1h,则(a+3)(2a-1)+(1-2a)(a+1)=0,解得a=2,故存在唯-的aeR,使得41h,故D 正确。 11.答案ACD 命题透析本题考查立体几何的动点综合问题以及空间向量的应用. 解析由AM=AB+入A+μAA,入，4e[0,1],可知点M在正方形BB,C,C内（含边界）运动. 对于A,因为点M在平面BB,C1C内运动，平面BB,C1C∥平面AD,D,所以点M到平面AD,D的距离为定值， 故四面体A1D,DM的体积为定值，故A正确。 2 对于B,设AM与平面BCC所成的角为a因为AB1平面B,GC,所以am0=品其中AB=1,BW≤BG,= 反所以回9≥品-号.即4仙与平面照CC所成角的正切值的最小值为号放B结灵 对于C,若入=4，则点M在线段BC1上运动.当二面角M-A1D-D1最小时，其余弦值最大，此时点M与C1重 合，只需求二面角C1-A1D-D1的余弦值即可.如图，取A1D的中点N,连接C,N,DN,易知C,N⊥AD,D1N⊥ AD,则∠G0芳为谈二周角的平面角，又GN-9N-号所以mLG0,2-停放c正瑰 D B 对于D,若入+u=1,则点M在线段BC上运动.如图，将△BC1C沿着B1C翻折到△B,PC的位置，使得点P 在平面DA1B,C内，MD+MC1的最小值即为此时的DP.在△DCP中，由余弦定理，得DP2=CD2+CP2-2CD· CPco3∠DCP=1+1-2×1×1×cos135°=2+√2，即DP=√2+2，故D正确. 三、填空题 2答案多 命题透析本题考查平行直线间的距离公式 解析直线3x-4y+5=0的方程可写为6x-8y+10=0,由平行直线间的距离公式可得，两直线间的距离为 110-(-5)1=3 62+82 Γ2 13答案昌 命题透析本题考查空间向量的运算. 解析设四面体ABCD的棱长为a,因为E,F分别是AD,CD的中点，所以E亦=？Ad.所以店.E-?店. 证2os60°山得a=2圆BE=BF3,F=l,所以cLBB2X有=名放配·B庐=月xB 55 6=2 14.答案2或3（答案不完整不给分） 命题透析本题考查直线的方程与应用. 解析建立如图的平面直角坐标系.由题意，可得B(6,0),C(0,6),故直线BC的方程为x+y=6.设P(a,0), r+x+=6， 2 2 x=6, 其中0<a<6,则点P关于直线BC的对称点P1(x,y)满足 解得 即P,(6,6-a).易 [y=6-a, 3 得点P关于y轴的对称点为P2(-a,0).由光的反射原理可知，P,Q,R,P2四点共线，所以直线QR的方程为 y-名：2+0).即了名+是+g,。所以4识=68：日-1整现得。-5a+6=0,解得a=2或a= 6+a 四、解答题 15.命题透析本题考查两直线的垂直关系，点到直线的距离. 解析(1)由题意，得1×2+（-a)×1=0,即2-a=0.…(3分) 解得a=2. ……… (5分) (2)由题意知，四边形PBAC为矩形，PB,PC分别是点P到直线1，l2的距离，…(7分) 所以1PB1=13-2×4+2L-35 √+(-2)25， …(9分） 1PC1=2×3+4-31_75 (11分) √22+12 5 四边形PBAC的面积为S=1PB1·1PC1=35x7,5_ 5 (13分) 16.命题透析本题考查空间向量在立体几何中的应用. 解析（(1)取AB的中点O,连接PO. 因为△PAB是正三角形，所以PO LAB. …(1分) 又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB, 所以PO⊥平面ABCD.… (3分) 过O点作OE∥BC,交CD于点E,易知OA,OP,OE两两相互垂直.以O为坐标原点，以OA,OE,OP所在直线 分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. B 由题意，得P(0,0,3),B(-1,0,0),D(1,2,0). …(5分） 所以P=(-1,0,-3),Pi=(1,2,-3). 一4 故Pi.Pi=-1+3=2.… …(7分)》 (2)由(1)，得A(1,0,0),P(0,0,N3),C(-1,2,0),D(1,2,0),…(8分) 所以A=（-1,0,5),Ad=(0,2,0),P元=(-1,2，-5).… (9分) 设平面PAD的法向量为m=(x,y,z), m应=-+5=0令=l,则m=(5,01 则 …(12分)》 m.A市=2y=0, 设PC与平面PAD所成的角为6， 则sin0= pt.m.1-3-51 P1中43xV3+冷即P心与平面PAD所成角的正弦值为 …(15分) 17.命题透析本题考查直线的方程与性质。 解析(1)①当1经过点0时，两坐标轴上的截距均为0， 则24-3=0，解得a=号 …（2分）》 ②当1不经过点0时，a≠子 令x=0,得y=2a-3:令y=0,得x=-(a≠1).…(4分）》】 由题意，得3-20=2a-3,解得a=0. a-1 (5分) 综上所述a=或0 … (6分) (2)易知a-1≠0，即a≠1，设A(xA,0),B(0,yB）, 3-20<0 则 a-1 解得a<1.… (8分) lya=2a-3<0, 此时40）80,2-3). 所以5aw宁01.102 (11分) 不妨设1-a=t,则te(0,+∞)，a=1-t, s是2-2+分+22 1 -+2=4.…（14分) 2t 2t 当且仅当2=分，即：=2时取等号，此时a=子<1 故△0AB面积的最小值为4.…(15分) 18.命题透析本题考查空间向量在立体几何中的应用， 解析(1)取AC的中点0，连接B0,D0,PO. 因为△ABC和△ACD均为正三角形，所以DO⊥AC,BO⊥AC.所以AC⊥平面BOD, 又OPC平面B0D,所以ACLP0.…(1分) 5 因此∠BOD为二面角B-AC-D的平面角，∠POD是二面角P-AC-D的平面角 所以∠B0D=120°.…(2分) 再结合条件可知，B0=D0=√3，∠OBD=∠ODB=30°，BD=3. 由Pi=号D成，得PD=号BD=2,在△P0D中，由余弦定理，得P0=1.…(4分) 所以PD2=P02+D02.所以∠P0D=90°， 即二面角P-AC-D为90°.故平面PAC⊥平面ACD. …(5分) (2)以0为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，OB的方向为y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系， 则410.0)，805.0.c(-1,0.0).00,-52》 …(6分) 所以-(0,35，-2）pi-(o,3,-2小赋-1,5.0)c-(-1,-5,0. 所以i=成+威=(，3-5，-2刘成=店+成=(1,3-5，-小 所以减.元-1+(3-+子=9m-9A+2=(A-2-4 故当入=2时，，P心取得最小值，且最小值为-子 …(9分) (3)设平面APC的法向量为m=(x,y,z), 由(2)知，=(1,3-5，-多花=(-20,0， m…i=x+(35-3-3=0 令y=乃x,可得m=(0,5入，3入-2).…(11分) m.A花=-2x=0, 设平面DPC的法向量为n=(p,9,r), 由2)奥成-(-1，，》-o,35,-2》 nD心=-p+52-3 29 27=0, 则 n·Di=33。-3 令g=1,可得n=（-5,1,w5). …(13分） 29-21=0, 由可万（哥 143λ-25 ,得16入2-16入+3=0，…(15分) 解得A=(A=子舍去) …（17分）》 19.命题透析本题考查直线的方程，直线与直线的位置关系. 解析设l1,2的斜率分别为1，k2 )由4y=-2x+1,令y=0,得x=2,即马在x轴上的截距为2.…(1分 因为l1,2是“[2]-共轭直线”，所以2在x轴上的截距为-2，且k2=2. 因为所=-7，所以-26=2，解得名=-4.… (3分) 所以2的方程为y-0=-4(x+2),即y=-4x-8.…(4分) (2)设L,4的倾斜角分别为a,B,易知a,B≠行，则k=tan,k=tnB, 由题意知，kk2=-3,0=|-B引或0+|α-B=180°.…(5分) 无论哪种情况，都有am0=1am(a-B)1=+, k1-k2 k-k2 Ik1-2 1-3 2 …（7分)》 因为k2=-3<0,所以k1,k2异号. 所以1k1-k21=1k1+1k21≥2√%1·2=2√3，当且仅当1k1=1k21=3时取等号.…(9分) 所以an0≥22=3，即an0的最小值为3. (10分) (3)因为1过点(-2,0)，所以2过点(2,0). 由题意知，k=-子，山y=k1(x-2),☑y=62(x+2).…… (11分) 设P(x,)由题寇知，士2，=本24产之 x-2’ 所以k伦2'2=-子整理得y3-子2，m四 4 (12分) 由3-子≥0，可得-2<x<2 设E(1,0),F(-1,0), 则1PE1=x-02+y=√2-2z+1+3-=√-2x+4=√-2=2-2，…(4分) P=x+12+=√+2x+1+3-=√+24=√（分+2=2+7，…(16分） 所以IPE1+IPF1=(（2-2+(2+2）=4, 即点P到点(-1,0)的距离与点P到点(1,0)的距离之和为定值. …(17分) 71 高二10月数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.若直线1过点(1，-1)，且与直线3x-y+2=0平行，则直线1的方程为 A.y=3x-2 B.y=-3x+2 C.y=3x-4 D.y=-3x+4 2.已知直线1的斜率为2，则1的倾斜角0满足 A.0°<0<30° B.30°<0<45° C.45°<0<60° D.60°<0<90° 3.已知向量a=(-2,-4,1)与b=(2,m,-1)的夹角为钝角，则m的值可以是 A.-4 B.-2 C.2 D.4 4.在三棱柱ABC-AB1C1中，M是B,C1的中点，记AB=a,AC=b,AA1=c,则BM= A.-Zatzbse B.za-z0+e c0-b+c 1 D.-2a+b-2 5.已知平面a经过点A(2,1,0),且其一个法向量为n=(2,-1,2),则点P(2,1,6)到平面 的距离为 A.2 B.3 C.4 D.6 数学第1页（共4页） 6.已知点A(-4,3),B(2,2),过点(-1，-1)且斜率为k的直线1与线段AB相交，则k的取 值范围是 A(-a,引u[,+m) B(-,-U[1,+) c.[ D.(-∞，-4]U[1,+∞) 7.已知A是直线x+2y-8=0上的动点，B是直线2x-y+1=0上的动点，若AB的中点为 P(1,2),则直线AB的方程为 A.y=2 B.3x-y-1=0 C.x-2y+3=0 D.x-y+1=0 8.在三棱锥P-ABC中，二面角A-PB-C的大小为120°，PB=2PA=2BC=2,AB=PC=√3， 则AC= A B岭 2 C.√3 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.已知a,b,c是三个不共面的空间向量，则下列选项中可以构成空间基底的是 A.{a,-b,-c} B.a-b,b-a,c C.a-b,b-c,a-c D.a,a+b,a+b+c 10.设直线l1:(a+3)x+(1-2a)y+1=0,l2:(2a-1)x+(a+1)y-2=0,则 A过定点房，引 B.原点到的距离的最大值为写 C.不存在aeR,使得l1∥l2 D.存在唯一的a∈R,使得l1⊥2 11.已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，点M满足AM=AB+入AD+uAA1,其中入，M∈ [0,1],则下列选项正确的是 A.四面体ADDM的体积为定值 B.AM与平面BB,C1C所成角的正切值的最小值为1 C若入=，则二面角M-A,D-D,的余弦值最大为写 D.若入+4=1，则MD+MC1的最小值为√2+√2 数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.直线3x-4y+5=0与6x-8y-5=0之间的距离为 13.在正四面体ABCD中，E,F分别是AD,CD的中点，若AB·E京=1，则B·B京= 14.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=6,P是边AB上异于A,B的点，光线从点P出 发，经BC,CA反射后又回到点P.若AR=1,则AP= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知直线l1:x-ay+2=0,a∈R与直线l2:2x+y-3=0相互垂直. (1)求a; (2)L1,L2相交于点A,过点P(3,4)作L1,L2的垂线，垂足分别为B,C,求四边形PBAC的 面积 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，△PAB是正三角形，且平面 PAB⊥平面ABCD,AB=2. (1)求P.P⑦； (2)求PC与平面PAD所成角的正弦值， 数学第3页（共4页） 17.(15分) 已知直线l:y=（a-1)x+2a-3,a∈R,设0为坐标原点. (1)若1在两坐标轴上的截距相等，求α； (2)若I交x轴负半轴于点A,交y轴负半轴于点B,求△OAB面积的最小值， 18.(17分) 如图，在四面体ABCD中，△ABC和△ACD均为正三角形，二面角B-AC-D的大小为 120°，4C=2,点P满足P店=D成，其中入∈[0,2] (1)若入=}，证明：平面PAC1平面ACD; (2)求PA·PC的最小值； (3)若二面角1-PC-D的正弦值为，求 19.(17分) 若直线1,2在x轴上的截距互为相反数，且斜率之积为入，则称1,2是一对“[入]-共轭 直线”，如直线y=x+1与y=-x+1是一对“[-1]-共轭直线”. (1)若马，6是一对“[2]-共轭直线”，且飞的方程为y=之+1，求乙的方程： (2)若l1,4是一对“[-3]-共轭直线”，记l1,4的夹角为00≤0≤)，求tan0的最 小值； (3)若，4是一对[--共轭直线”，且1过点(-2,0)，记1与的交点为P,证明： 点P到点(-1,0)的距离与点P到点(1,0)的距离之和为定值. 数学第4页（共4页）