精品解析：江西上饶市余干县沙港中学、育才学校等校联考2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学试题

八年级 数学（一） 说明：1．范围：13.1~14.1． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 年月日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义：大小一样，形状相同的两个图形称为全等图形，求解即可． 【详解】解：A、B、C中形状相同，但大小不同，不符合题意； D中大小一样，形状相同，符合题意； 故选：D． 2. 滨河公园的网红桥是座斜拉桥，斜拉桥是由拉索、主梁和塔柱形成的三角形结构，这样设计是利用了（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【详解】解：三角形具有稳定性，四边形等其他多边形不具备稳定性，桥梁搭建三角形结构设计是利用了三角形的稳定性． 3. 若一个三角形的三个内角的度数比是，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】结合三角形内角和定理与内角度数比，求出最大角的度数即可判断三角形类型． 【详解】解：∵三角形内角和为，三个内角度数比为. ∴最大角的度数为. ∴这个三角形是直角三角形． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个正方形一定是全等图形 B. 任意一个非负数都有两个平方根 C. 三角形的内角中最多有一个钝角 D. 两个无理数的和还是无理数 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根的意义、全等图形的判定、三角形内角和定理、无理数的性质，依次分析每个选项的正误，从而确定正确选项． 【详解】解：A、∵正方形的边长不一定相同，则任意两个正方形不一定是全等图形，不符合题意； B、根据平方根的意义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而0属于非负数，但它的平方根是0，不符合题意； C、根据三角形的内角和为，则三角形的内角中最多有一个钝角，符合题意； D、由题意，取两个无理数为，，则它们的和是4，不是无理数，不符合题意． 5. 数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度不可取（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，第三边长度必须大于两边之差且小于两边之和求解． 【详解】解：设第三根木棒长度为， ∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴， 即． 只有A不在范围内． 6. 如图，将一副三角板按此方式叠放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题图算出，再根据三角形外角的性质求出． 【详解】解：如图， 根据题图可知，， 故． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在中，，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：根据三角形内角和定理可得， ． 8. 如图，从A处观测C处仰角，从B处观测C处的仰角，从C处观测A、B两处的视角______度． 【答案】15 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：15 【点睛】本题考查了仰角的概念和三角形外角性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键． 9. 在中，，直线与直线和直线分别相交于点和点，若，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】先利用三角形内角和定理求出中的度数，再根据直线相交的位置分两种情况讨论与中的关系，结合内角和定理和外角的性质计算的度数． 【详解】在中，根据三角形内角和定理可得： 设， 在中，根据三角形内角和定理可得：， 分两种情况讨论： 情况1：如图所示， ∵ ∴在中，解得 情况2：如图所示， ∴，则解得． 10. 如图，在中，，边上的高，点P为上一点，于点E，于点F，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】连接，根据求解即可． 【详解】解：连接， 则， ∵，为边上的高， ∴， 即． 11. 如图点B在上，，，，则的度数是_______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】先用三角形内角和定理求解的度数，再用三角形的外角性质求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴． 12. 定义：有两个内角的差为的三角形叫作“反直角三角形”．在中，，点P为直线上一点，若为“反直角三角形”，且，则的度数为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，然后分四种情况进行讨论，利用三角形的内角和定理以及三角形外角定理进行求解． 【详解】解：∵， ∴． ①如图所示，当时， 又∵， 解得， ∴； ②如图所示，当时， ∴， ∴， ∴，不符合题意，舍去； ③如图所示，当时， ∴， ∴， ∴； ④如图所示，当时， 又∵， 解得， ∴； 综上，的度数为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，，点在边上，与交于点．已知，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】利用全等三角形等角减去公共角得到两角相等，结合已知总角与中间角求出两角之和，平分后算出目标角度． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即 由图可知，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 14. 已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是正整数． （1）若，，且c为奇数，，求的周长； （2）化简：． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用三角形三边关系得到，然后结合c为奇数，且求出，然后计算三角形周长即可； （2）首先利用三角形三边关系得到，，然后化简即可． 【小问1详解】 解：由三角形的三边关系定理，得， ∴． ∵c为奇数，且， ∴， ∴的周长． 【小问2详解】 解：由三角形的三边关系定理，得，， ∴，， ∴ ． 15. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C均在格点上． （1）请仅用无刻度的直尺，在边上找到点F，连接，使得； （2）若每个小正方形的边长为1，则（1）中的面积为______． 【答案】（1）所求图形，如图所示； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据网格特点，取格点F，使得，连接，即可解答． （2）根据三角形的面积公式，结合网格特点求解即可． 【小问1详解】 解：∵，且的边上的高与的边上的高相同， ∴． 【小问2详解】 解：由图可得，． 16. 如图，已知于点D，，的延长线交边于点E． （1）若，求的长； （2）求证：． 【答案】（1）的长为4 （2）证明：∵AD⊥BC， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）因为全等三角形对应边相等，所以由可得，已知长度即可求出长度，再结合，代入长度就可计算的长。 （2）如果要证明，那么只需证明中；因为全等三角形对应角相等，所以由可得，又因为，所以，通过等量代换即可得到。 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴的长为4． 【小问2详解】 略 17. 如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． （1）若的面积为6，则的面积为 ； （2）若，求和的度数． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的三线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据三角形的中线平分面积即可得出结果； （2）高线得到，三角形的内角和定理求出，的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【小问1详解】 解：∵是边的中线， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为12， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵是的高， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，分别是，边上的中线，的周长比的周长多1.5，若，． （1）求，的长； （2）求的周长． 【答案】（1）； （2）30.5 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中线的定义直接求解即可； （2）先根据的周长比的周长长1.5，得到，即可求解，继而可求解周长． 【小问1详解】 解：∵分别是边上的中线， ∴点E，F分别为的中点． ∵， ∴，； 【小问2详解】 解：∵的周长比的周长多1.5， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的周长为． 19. 如图，已知，，点C在上，与交于点F． （1）已知，求和的度数； （2）线段，与之间有什么数量关系?请说明理由． 【答案】（1）， （2）． 理由如下： ， ，． ， ． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形中两个锐角互余可得的度数，再根据全等三角形的性质和邻补角的性质可得答案； （2）根据全等三角形的性质可得，，然后根据线段的和差关系可得答案． 【小问1详解】 解：∵在中，， ． ， ， ， ； 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，，交于点，且． （1）判断与的位置关系，说明理由； （2）若平分，且分别交，于点，．求证：． 【答案】（1）解：． 理由：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据，，结合，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，结合，利用三角形外角的性质得到，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，点P为负半轴上任意一点，它表示的数为x． （1）计算 的值； （2）小七认为：当时，，则以，，的长为边长不能构成三角形．若以，，的长为边长能构成三角形，请求出x的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由数轴可知，，将a，b的值代入即可得到答案； （2）由题意得，，，分情况讨论，再根据三角形的三边关系即可得出答案． 【小问1详解】 解：由数轴可知：，， ∴ 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵， ∴点P始终在线段上， ∴， ∴以，，的长为边长不能构成三角形； ∵，以，，的长为边长能构成三角形， ∴点P在点A的左侧， ∴． ①当为最大边时，，， ∴，解得 ； ②当为最大边时，，， ∴， 此不等式恒成立，即． 综上所述，x的取值范围为 22. 如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； （3）如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3），证明如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线得出，，则，根据，即可求解． （2）根据角平分线得出，，则，结合（1）中，即可求解． （3）根据角平分线得出，，则，结合，，即可解答． 【小问1详解】 解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由（1）知， ∴． 【小问3详解】 略 六、解答题（本大题共12分） 23. 【问题】 （1）如图1，在中，平分，平分． ①若，则 ； ②若，则 ． 【探究】 （2）如图2，在中，，三等分，，三等分．若，则 ； 【应用】 （3）如图3，在四边形中，平分，平分外角，连接．若，，求的度数． 【答案】（1）①；②； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①首先利用三角形内角和定理得到，然后结合角平分线定义求出，进而求解即可； ②同①求解即可； （2）首先利用三角形内角和定理得到，然后结合三等分线定义求出，进而求解即可； （3）延长和交于点M，延长和交于点N，利用角平分线的定义得到，，然后结合三角形外角的性质求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵平分，平分， ，， ， ； ②由三角形的内角和定理得， ∵平分，平分， ，， ， ∴； 【小问2详解】 解：由三角形的内角和定理得，， ∵，三等分，，三等分， ，， ， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长和交于点M，延长和交于点N． ∵平分，平分外角， ，， ， ∵， ， ∵， ， ， ， ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级 数学（一） 说明：1．范围：13.1~14.1． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 年月日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 滨河公园的网红桥是座斜拉桥，斜拉桥是由拉索、主梁和塔柱形成的三角形结构，这样设计是利用了（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 垂线段最短 3. 若一个三角形的三个内角的度数比是，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 4. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个正方形一定是全等图形 B. 任意一个非负数都有两个平方根 C. 三角形的内角中最多有一个钝角 D. 两个无理数的和还是无理数 5. 数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度不可取（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将一副三角板按此方式叠放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在中，，则的度数为__________． 8. 如图，从A处观测C处仰角，从B处观测C处的仰角，从C处观测A、B两处的视角______度． 9. 在中，，直线与直线和直线分别相交于点和点，若，则_______． 10. 如图，在中，，边上的高，点P为上一点，于点E，于点F，则__________． 11. 如图点B在上，，，，则的度数是_______． 12. 定义：有两个内角的差为的三角形叫作“反直角三角形”．在中，，点P为直线上一点，若为“反直角三角形”，且，则的度数为__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，，点在边上，与交于点．已知，，求的度数． 14. 已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是正整数． （1）若，，且c为奇数，，求的周长； （2）化简：． 15. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C均在格点上． （1）请仅用无刻度的直尺，在边上找到点F，连接，使得； （2）若每个小正方形的边长为1，则（1）中的面积为______． 16. 如图，已知于点D，，的延长线交边于点E． （1）若，求的长； （2）求证：． 17. 如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． （1）若的面积为6，则的面积为 ； （2）若，求和的度数． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，分别是，边上的中线，的周长比的周长多1.5，若，． （1）求，的长； （2）求的周长． 19. 如图，已知，，点C在上，与交于点F． （1）已知，求和的度数； （2）线段，与之间有什么数量关系?请说明理由． 20. 如图，在中，，交于点，且． （1）判断与的位置关系，说明理由； （2）若平分，且分别交，于点，．求证：． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，点P为负半轴上任意一点，它表示的数为x． （1）计算 的值； （2）小七认为：当时，，则以，，的长为边长不能构成三角形．若以，，的长为边长能构成三角形，请求出x的取值范围． 22. 如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； （3）如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【问题】 （1）如图1，在中，平分，平分． ①若，则 ； ②若，则 ． 【探究】 （2）如图2，在中，，三等分，，三等分．若，则 ； 【应用】 （3）如图3，在四边形中，平分，平分外角，连接．若，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $