精品解析：江苏省江都中学、江苏省高邮中学、江苏省仪征中学2026-2027学年第一学期高一10月份联合测试数学试卷

江苏省江都中学、江苏省高邮中学、江苏省仪征中学 2026-2027学年度第一学期高一10月份联合测试 数学 试卷 命题单位：江苏省高邮中学 命题人：李宁 审核人：沈军 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（     ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知命题 ， 那么​为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 4. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若实数，满足，，则的值是（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 6. 满足 的集合的个数为（   ） A. B. C. D. 7. 下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则由知，的最小值为 C. 若，则 D. 若，则 8. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，下列叙述正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为 D. 若，则的最大值为1 11. 若正实数满足，则下列说法正确的是 （ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设方程的两个根为，且，则实数m的值是________. 13. 若命题“”为真命题，则实数m的取值范围是______. 14. 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题： ①数域必含有0，1两个数； ②整数集是数域； ③若有理数集QM，则数集M必为数域； ④数域必为无限集． 其中正确的命题的序号是_________．（填上你认为正确的命题的序号） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. 设全集，集合，集合． （1）若，求，. （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知:关于的方程有实数根，． （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求函数的解析式； （2）若，，求关于的不等式的解集.（结果用表示） 18. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元;再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元.设总造价为（单位:元），长为，且（单位：）. （1）求关于的函数解析式； （2）长为时，求该休闲场所的总造价； （3）当长为多少米时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？. 19. 笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” （1）若，求和； （2）若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为.记，，满足，对x，y恒成立，求的取值范围； （3）证明：“”的充要条件是“”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省江都中学、江苏省高邮中学、江苏省仪征中学 2026-2027学年度第一学期高一10月份联合测试 数学 试卷 命题单位：江苏省高邮中学 命题人：李宁 审核人：沈军 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，又， 所以. 2. 设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，得到或，则推不出，但可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 3. 已知命题 ， 那么​为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】因为特称命题的否定为全称命题， 所以 . 故选：A 4. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD，举例判断，对于C，利用不等式的性质判断即可 【详解】对于A，若，则满足，此时，所以A错误， 对于B，若，则满足，而当时，则，所以B错误， 对于C，因为，所以，因为，所以，所以C正确， 对于D，若，则满足，而当时，则，所以D错误， 故选：C 5. 若实数，满足，，则的值是（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意实数，是方程的两根，利用韦达定理求解即可. 【详解】若, 因为实数，满足，，所以实数，是方程的两根， 所以， 所以， 若，则， 故选：C. 6. 满足 的集合的个数为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程以及集合之间的包含关系，可得答案. 【详解】由，整理可得，解得或， 则， 则满足条件的集合可以是：、、、、 、、、，共个. 7. 下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则由知，的最小值为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质依次判断即可. 【详解】对于A，，， 当，时，，当且仅当时等号成立， 当，时，，当且仅当时等号成立， 当，异号时，， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B，当，则由， 当且仅当，即或，不满足的条件，故B错误； 对于C，若，则， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，若，则， 当且仅当或时等号成立，故D正确． 8. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据确定的取值范围，初步判断在不等式的解集内，不在不等式的解集内，进而确定不等式解集内的整数，列出不等式，可求出结果. 【详解】由题意，且，且，解得，则， 设不等式的解集为. 因为时，不成立，所以；因为时，，所以. 又因为中恰有3个整数，所以这3个整数必定是1，2，3. 由. 综上所述. 故选：C 【点睛】关键点点睛：不等式中所含有的整数解必定是连续的整数，弄清楚1，2，3满足不等式后，还要注意0，4不满足原不等式. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，下列叙述正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式性质可以判断A正确；不等式两边同乘，判断B错误；当时，，故C错误；D项可以转化为，故D正确. 【详解】对于A，根据不等式性质，若，，则，故A正确； 对于B，若，则，不等式两边同乘，则，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，等价于，成立，故D正确. 故选：AD. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为 D. 若，则的最大值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的解集为，确定之间的关系，进而逐项判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以整理得 则． ， 解得． ，即，解得， 则． 故选：ACD． 11. 若正实数满足，则下列说法正确的是 （ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式，基本不等式中的“1”的应用，二次函数性质，配凑法计算判断各个选项. 【详解】对于A，由正实数满足，得，当且仅当时取等号，正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，正确； 对于C，，根据二次函数性质， 因为，所以当时，，不是，错误； 对于D，， 又， 由，则，， 所以，当且仅当时取等号，正确； 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设方程的两个根为，且，则实数m的值是________. 【答案】0或2 【解析】 【分析】当为实数根时，利用根与系数关系即可求出结果； 当为虚数根时，原方程的根是，利用复数模的定义即可求出结果. 【详解】当为实数根时， 方程的两个根为， ， ， ， ； 当为虚数根时，原方程的根是， ， ， 或， 故答案为：0或2. 13. 若命题“”为真命题，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合任意性的定义进行求解即可. 【详解】因为命题“”为真命题， 所以有， 因此实数m的取值范围是， 故答案为： 14. 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题： ①数域必含有0，1两个数； ②整数集是数域； ③若有理数集QM，则数集M必为数域； ④数域必为无限集． 其中正确的命题的序号是_________．（填上你认为正确的命题的序号） 【答案】①④ 【解析】 【详解】解：当a=b时，a-b=0、a b =1∈P，故可知①正确． 当a=1，b=2， ∉Z不满足条件，故可知②不正确． 对③当M中多一个元素i则会出现1+i∉M所以它也不是一个数域；故可知③不正确． 根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确． 故答案为①④． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. 设全集，集合，集合． （1）若，求，. （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算． （2）分与两种情况讨论，根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以或，所以． 【小问2详解】 因为，，， ①当时，满足，此时，解得； ②当时，要满足，则，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 16. 已知:关于的方程有实数根，． （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）命题是真命题，则利用可以求出实数的取值范围； （2）是的充分不必要条件，则对应的集合是对应自己的真子集，进而求出实数的取值范围． 【小问1详解】 ∵命题是真命题 ∴， ∴， ∴， ∴实数的取值范围是. 【小问2详解】 设集合，， ∵是的充分不必要条件 ∴是的真子集 ∴ ∴ ∴实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求函数的解析式； （2）若，，求关于的不等式的解集.（结果用表示） 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由不等式 的解集为 ，可知 是对应方程 的两个根且 ，利用韦达定理可解； （2）代入 后因式分解得 ，抓住两根 与 1 的大小关系，分 三种情况分类讨论，再结合 时开口向上写出对应的解集. 【小问1详解】 的解集为，1和3是方程的两个根，且， ，解得； ； 【小问2详解】 ，， ， 令，得，则，， ，， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 综上所述，时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为. 18. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元;再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元.设总造价为（单位:元），长为，且（单位：）. （1）求关于的函数解析式； （2）长为时，求该休闲场所的总造价； （3）当长为多少米时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）设，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，即可求解； （2）把代入（1）中的解析式，即可求得该休闲场所的总造价； （3）由（1）中的解析式，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【小问1详解】 解：设，则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以关于的解析式为. 【小问2详解】 解：当m时， 可得（元）， 所以长为时，该休闲场所的总造价元. 【小问3详解】 解：由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 19. 笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” （1）若，求和； （2）若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为.记，，满足，对x，y恒成立，求的取值范围； （3）证明：“”的充要条件是“”. 【答案】（1），； （2） （3） 证明：若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的充分条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的必要条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. 【解析】 【分析】（1）根据的定义直接运算求解； （2）首先表示出，，，结合基本不等式求出，即可得到的取值范围即可. （3）根据的定义结合充分必要条件分析证明； 【小问1详解】 因为，且， 所以，； 【小问2详解】 ，，，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 又对，恒成立， 所以，即的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $