专题03 线段垂直平分线与角平分线及等腰三角形 期中复习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题03线段垂直平分线与角平分线及等腰三角形期中复习讲义 1.理解线段垂直平分线定义，掌握性质与逆定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上。会尺规作线段垂直平分线，能利用性质进行线段转化、几何证明与长度计算，了解三角形三边垂直平分线交于外心。 2.理解角平分线定义，掌握角平分线性质与逆定理：角平分线上的点到角两边垂线段距离相等；角内部到角两边距离相等的点在角平分线上。会尺规作角平分线，利用性质求解线段、角度；了解三角形三条角平分线交于内心，注意性质使用前提是垂线段。 3.掌握等腰三角形性质：等边对等角、三线合一，知道等腰三角形是轴对称图形。能运用性质求角度、线段长，规范书写几何推理步骤。 4.掌握等腰三角形判定定理 “等角对等边”，区分性质（等边推等角）和判定（等角推等边），会判定等腰三角形。 5.掌握等边三角形的性质（三边相等，三角均为 60°）与判定方法，能完成等边三角形相关角度、线段计算。 6.能够综合线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质判定，结合全等三角形，解决几何证明、线段与角度推导等中档几何题；识别角平分线 + 平行线出等腰、垂直平分线线段转化等常见几何模型。 7.梳理本节易错点：等腰三角形边角不确定时要分类讨论；三线合一只适用于等腰三角形顶角、底边相关线段；角平分线性质必须有垂直条件；区分线段垂直平分线和角平分线的性质，避免定理混用。 题型 考察方向 难度 题型一 线段垂直平分线的性质 ★ 题型二 线段垂直平分线的判定 ★★ 题型三 角平分线的性质定理 ★ 题型四 角平分线的判定定理 ★★ 题型五 角平分线性质的实际应用 ★★ 题型六 等腰三角形的定义 ★ 题型七 等边对等角 ★★ 题型八 三线合一 ★★ 题型九 格点图中画等腰三角形 ★★ 题型十 找出图中的等腰三角形 ★★ 题型十一 根据等角对等边证明等腰三角形 ★★ 题型十二 根据等角对等边证明边相等 ★★ 题型十三 根据等角对等边求边长 ★★ 题型十四 等腰三角形的性质和判定 ★★★ 题型十五 等边三角形的判定和性质 ★★★ 题型十六 含 30 度角的直角三角形 ★★ 题型十七 斜边的中线等于斜边的一半 ★★ 题型十八 直角三角形的两个锐角互余 ★ 题型十九 锐角互余的三角形是直角三角形 ★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点02：尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。 知识点03:角平分线 1. 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 知识点04：尺规作图：作已知角的平分线 已知∠BAC（如图所示），用直尺和圆规作∠BAC 的平分线AD 注意：要以大于EF的长为半径作圆弧。 若半径小于EF，两圆弧没有交点，无法确定角平分线上的点； 若半径等于EF，两圆弧仅有一个交点，作图精度差、不易操作。 知识点05:两者对比（超好用总结） 内容 线段垂直平分线 角平分线 线上点的性质 到线段两端点距离相等 到角两边距离相等 判定 到两端点等距 ⇒ 在垂直平分线上 到两边等距 ⇒ 在角平分线上 三角形交点 外心（到三顶点等距） 内心（到三边等距） 适用图形 线段 角 知识点06:等腰三角形基本概念 1.等腰三角形定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 名称区分：相等的两边叫腰，第三条边叫底边；两腰的夹角是顶角，腰与底边的夹角是底角。 对称性：轴对称图形，1 条对称轴，为顶角平分线所在直线。 2.等边三角形定义 三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形；有3 条对称轴。 知识点07:等腰三角形的性质 性质 内容 几何语言 图形 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点08:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 知识点09:直角三角形 1.定义 直角三角形：有一个角是 ** 直角（90°）** 的三角形叫做直角三角形。 夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 2.性质 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 3.核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 题型一：线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，，，垂直平分，交边于点D，交边于点E，在线段上有一动点P，连接，，则的周长最小值为_________． 2．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为，，则的周长为________． 3．如图，的边的垂直平分线交于点，若，则的长为______． 题型二：线段垂直平分线的判定 4．如图，一形状为四边形的风筝四边形中，已知，，则此风筝的骨架与即四边形的两对角线有怎样的关系？答：_____________． 5．如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为与交于点，则的长是___________． 6．如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以为圆心，为半径画弧①； 步骤2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点； 步骤3：连结，交的延长线于点．下列叙述正确的是（    ） A．垂直平分线段 B．平分 C． D． 题型三：角平分线的性质定理 7．在平面内，到三边距离相等的点有_____________个． 8．在中，平分交于点，若，则的面积等于__________． 9．如图，已知在四边形中，，平分，，，，则的面积是________． 题型四：角平分线的判定定理 10．如图，，，当________时，点在的平分线上． 11．如图，，，若，，，则的度数为______． 12．如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（     ） A．10 B．13 C．16 D．19 题型五：角平分线性质的实际应用 13．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在的___________的交点处． 14．计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 15．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 题型六：等腰三角形的定义 16．某等腰三角形的腰长为4，底边长为3，则这个等腰三角形的周长为______． 17．如果实数a、b满足，且a，b恰好是等腰的两边长，则的周长是______． 18．如图，已知，分别以，为边作等腰和等腰，，连接，点H为的中点，连接并延长交于点G，若，，则的面积为（    ）． A．5 B．10 C．15 D．20 题型七：等边对等角 19．如图，在中，点是斜边的中点，，则________． 20．如图，P为三边垂直平分线的交点，已知，，则的度数为______． 21．如图，在中，，，，垂足为点．若，分别是线段，上的动点，且，当最小时，的大小为（   ） A． B． C． D． 题型八：三线合一 22．如图，在中，，是的中线，，，则的面积为________． 23．如图，中，，，是边上的中线，，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为____________． 24．如图，在中，，，其面积为12，的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 题型九：格点图中画等腰三角形 25．如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 26．在如图的网格中，在网格上找到点C；点C在格点上，使为等腰三角形，这样的点有_______个． 27．如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（   ）个． A．7 B．6 C．5 D．4 题型十：找出图中的等腰三角形 28．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    29．如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有_____个．   30．在如图所示的方格中，点，，，均在小方格的顶点上．以其中三个点为顶点的等腰三角形个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型十一：根据等角对等边证明等腰三角形 31．如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（   ）    A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 32．如图，在中，点D，E分别是边的中点．若，，则的长为________． 33．将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D．无法确定 题型十二：根据等角对等边证明边相等 34．如图，在中，交于点，则的长是______． 35．如图，已知平分，平分，且，设，则的周长是 _______． 36．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，已知，，则的周长为（     ） A． B．5 C．10 D．13 题型十三：根据等角对等边求边长 37．如图，中，平分交于点 D，，，则的长为_______________________． 38．在中，平分，，交于点E．若，，则的长为______． 39．将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点A，B表示的刻度分别为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型十四：等腰三角形的性质和判定 40．如图，在与中，与相交于点D．给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有________． 41．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为_______________ 42．如图，在中，平分，，，若，，则的长为（    ） A．16 B．18 C．14 D．12 题型十五：等边三角形的判定和性质 43．如图，、是的边上的两点，并且，则________． 44．如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为，则当________时，是等边三角形． 45．如图，在和中，，，，点在的延长线上，的延长线交于点，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 题型十六：含 30 度角的直角三角形 46．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面1.8m处折断，且断枝与地面夹角为，则树折断之前高为________m． 47．如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则的长为_____． 48．如图，在中， 平分，交边上的高于点．已知，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 题型十七：斜边的中线等于斜边的一半 49．如图，一根钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，若点是钢缆的中点，、两点间的距离为，则钢缆的长为________．（接头处忽略不计） 50．如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为__________． 51．如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边的长为2，则的长为________ ． 题型十八：直角三角形的两个锐角互余 52．在中，，，垂足为，，那么的大小是___________． 53．如图，已知，点是射线上一动点．的平分线与交于点，当为直角三角形时，______． 54．在中，于点D，点E为上一点，连接，，，，则的度数为______． 55．如图，在中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则的面积为（　　） A．4 B． C．2 D． 题型十九：锐角互余的三角形是直角三角形 56．下列说法正确的是（   ） A．有一个角是的三角形是直角三角形 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．以上说法都正确 57．如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为______． 58．设的三边分别为，满足下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 解答题 59．如图，在四边形中，，为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)已知，，求四边形的面积． 60．如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． (1)求证：； (2)连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 61．如图，与都是等腰直角三角形，，，，交的延长线于． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 62．如图，点在线段上，，，，是的中点． (1)求证： (2)直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 63．如图 ，平分，P 是上一点， 交 于点 D, (1)求证： 是等腰三角形． (2)若，，求的长和的度数． 64．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)______（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发______秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 65．已知，是等边边上的点． (1)如图1，过点作，且交于点，求证：； (2)如图2，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过作于点． ①求证：； ②猜想写出，，之间的数量关系式，并加以证明； (3)如图3，（2）中其它条件不变，若点在延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）． 66．已知：如图，，是的中点． (1)求证：； (2)若为中点，求证：； (3)探究与的关系，并说明理由；当，时，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03线段垂直平分线与角平分线及等腰三角形期中复习讲义 1.理解线段垂直平分线定义，掌握性质与逆定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上。会尺规作线段垂直平分线，能利用性质进行线段转化、几何证明与长度计算，了解三角形三边垂直平分线交于外心。 2.理解角平分线定义，掌握角平分线性质与逆定理：角平分线上的点到角两边垂线段距离相等；角内部到角两边距离相等的点在角平分线上。会尺规作角平分线，利用性质求解线段、角度；了解三角形三条角平分线交于内心，注意性质使用前提是垂线段。 3.掌握等腰三角形性质：等边对等角、三线合一，知道等腰三角形是轴对称图形。能运用性质求角度、线段长，规范书写几何推理步骤。 4.掌握等腰三角形判定定理 “等角对等边”，区分性质（等边推等角）和判定（等角推等边），会判定等腰三角形。 5.掌握等边三角形的性质（三边相等，三角均为 60°）与判定方法，能完成等边三角形相关角度、线段计算。 6.能够综合线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质判定，结合全等三角形，解决几何证明、线段与角度推导等中档几何题；识别角平分线 + 平行线出等腰、垂直平分线线段转化等常见几何模型。 7.梳理本节易错点：等腰三角形边角不确定时要分类讨论；三线合一只适用于等腰三角形顶角、底边相关线段；角平分线性质必须有垂直条件；区分线段垂直平分线和角平分线的性质，避免定理混用。 题型 考察方向 难度 题型一 线段垂直平分线的性质 ★ 题型二 线段垂直平分线的判定 ★★ 题型三 角平分线的性质定理 ★ 题型四 角平分线的判定定理 ★★ 题型五 角平分线性质的实际应用 ★★ 题型六 等腰三角形的定义 ★ 题型七 等边对等角 ★★ 题型八 三线合一 ★★ 题型九 格点图中画等腰三角形 ★★ 题型十 找出图中的等腰三角形 ★★ 题型十一 根据等角对等边证明等腰三角形 ★★ 题型十二 根据等角对等边证明边相等 ★★ 题型十三 根据等角对等边求边长 ★★ 题型十四 等腰三角形的性质和判定 ★★★ 题型十五 等边三角形的判定和性质 ★★★ 题型十六 含 30 度角的直角三角形 ★★ 题型十七 斜边的中线等于斜边的一半 ★★ 题型十八 直角三角形的两个锐角互余 ★ 题型十九 锐角互余的三角形是直角三角形 ★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点02：尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。 知识点03:角平分线 1. 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 知识点04：尺规作图：作已知角的平分线 已知∠BAC（如图所示），用直尺和圆规作∠BAC 的平分线AD 注意：要以大于EF的长为半径作圆弧。 若半径小于EF，两圆弧没有交点，无法确定角平分线上的点； 若半径等于EF，两圆弧仅有一个交点，作图精度差、不易操作。 知识点05:两者对比（超好用总结） 内容 线段垂直平分线 角平分线 线上点的性质 到线段两端点距离相等 到角两边距离相等 判定 到两端点等距 ⇒ 在垂直平分线上 到两边等距 ⇒ 在角平分线上 三角形交点 外心（到三顶点等距） 内心（到三边等距） 适用图形 线段 角 知识点06:等腰三角形基本概念 1.等腰三角形定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 名称区分：相等的两边叫腰，第三条边叫底边；两腰的夹角是顶角，腰与底边的夹角是底角。 对称性：轴对称图形，1 条对称轴，为顶角平分线所在直线。 2.等边三角形定义 三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形；有3 条对称轴。 知识点07:等腰三角形的性质 性质 内容 几何语言 图形 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点08:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 知识点09:直角三角形 1.定义 直角三角形：有一个角是 ** 直角（90°）** 的三角形叫做直角三角形。 夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 2.性质 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 3.核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 题型一：线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，，，垂直平分，交边于点D，交边于点E，在线段上有一动点P，连接，，则的周长最小值为_________． 【答案】14 【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，然后等量代换求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长 ∴当点B，P，C三点共线时，的周长取得最小值，最小值为14． 2．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为，，则的周长为________． 【答案】22 【分析】根据垂直平分，得，，然后，根据三角形周长的定义求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，． ∵的周长为12，， ∴． ∴的周长为． 3．如图，的边的垂直平分线交于点，若，则的长为______． 【答案】9 【分析】先根据垂直平分线的性质得，，再结合，即可求解． 【详解】解：∵ 的边的垂直平分线交于点， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 题型二：线段垂直平分线的判定 4．如图，一形状为四边形的风筝四边形中，已知，，则此风筝的骨架与即四边形的两对角线有怎样的关系？答：_____________． 【答案】垂直平分 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据，，得出垂直平分． 【详解】解：垂直平分，理由如下： ， 垂直平分， 故答案为：垂直平分． 5．如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为与交于点，则的长是___________． 【答案】 【分析】本题考查了本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定与性质，首先利用证明，根据全等三角形的性质可证，利用勾股定理求出，设，则，在中利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出，则，则有． 【详解】解：如下图所示，连接， ， 是等腰三角形， 又， 根据等腰三角形的三线合一定理，可得：， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 在中， 又，， ， ， 设，则， ，， ， 在中，， ， 解得：， ， ． 故答案为： ． 6．如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以为圆心，为半径画弧①； 步骤2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点； 步骤3：连结，交的延长线于点．下列叙述正确的是（    ） A．垂直平分线段 B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】根据已知作法可知、，则点、在的垂直平分线上． 【详解】解：如图：连接， 以为圆心，为半径画弧 以为圆心，为半径画弧② 点、在的垂直平分线上．即垂直平分线段，故A正确 ∴ ∴，故C错误 不能得出平分，故B，D错误 题型三：角平分线的性质定理 7．在平面内，到三边距离相等的点有_____________个． 【答案】4 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：如图，外角平分线的交点共有3个，内角平分线的交点有1个， 所以到三边距离相等的点共有个． 8．在中，平分交于点，若，则的面积等于__________． 【答案】 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，，平分， ， ， ． 9．如图，已知在四边形中，，平分，，，，则的面积是________． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，利用角平分线的性质得出相等的线段，然后利用三角形面积公式进行求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 又∵，平分， ∴， ∴． 题型四：角平分线的判定定理 10．如图，，，当________时，点在的平分线上． 【答案】5 【分析】到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上，据此结合题意可得答案． 【详解】解：∵，即， ∴当时，点在的平分线上． 11．如图，，，若，，，则的度数为______． 【答案】/29度 【分析】根据角平分线的判定定理（到角的两边的距离相等的点在该角的角平分线上）得到平分，再由角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴平分， ∴． 12．如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（     ） A．10 B．13 C．16 D．19 【答案】B 【分析】先根据角平分线的判定得出，根据证明，得出，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵点D 到边，的距离相等， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴的周长等于． 题型五：角平分线性质的实际应用 13．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在的___________的交点处． 【答案】 三条角平分线 【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知满足条件的点应在三角形的角平分线上． 【详解】解：由角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等， 若要使凉亭到、的距离相等，则凉亭应在的平分线上， 若要使凉亭到、的距离相等，则凉亭应在的平分线上， 若要使凉亭到、的距离相等，则凉亭应在的平分线上， 凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 14．计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 15．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 题型六：等腰三角形的定义 16．某等腰三角形的腰长为4，底边长为3，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】 11 【分析】已知等腰三角形的腰长和底边长，根据等腰三角形两腰相等得到三边长，相加即可得到周长. 【详解】解：∵等腰三角形腰长为4，底边长为3， ∴等腰三角形的三边长分别为4，4，3， ∴该等腰三角形的周长为. 17．如果实数a、b满足，且a，b恰好是等腰的两边长，则的周长是______． 【答案】17 【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，再分两种情况：腰长为a和腰长为b，根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵a，b恰好是等腰的两边长， ∴该等腰三角形的腰长为3或腰长为7， 当腰长为3时，则该三角形的三边长为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该三角形的三边长为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴的周长是； 综上所述，的周长是17． 18．如图，已知，分别以，为边作等腰和等腰，，连接，点H为的中点，连接并延长交于点G，若，，则的面积为（    ）． A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中线平分面积，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，延长至点，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，，证明，求出的面积，根据等积转化结合三角形的中线，进行求解即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则， ∵为的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，即， ，即； ∵等腰和等腰，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 题型七：等边对等角 19．如图，在中，点是斜边的中点，，则________． 【答案】 【分析】根据直角三角形的斜边中线定理可得，，推出，即可求解． 【详解】解：在中，点是斜边的中点， ，， ， ． 20．如图，P为三边垂直平分线的交点，已知，，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：P为三边垂直平分线的交点， ， ∴， ， ． 21．如图，在中，，，，垂足为点．若，分别是线段，上的动点，且，当最小时，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路线问题，全等三角形的性质，等边对等角．在右侧作，使，连接，当A、N、三点在同一直线上时，最小值为，推出，所以，据此求解即可． 【详解】解：在右侧作，使，连接． 则，． ∴， 当A、N、三点在同一直线上时，最小值为． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型八：三线合一 22．如图，在中，，是的中线，，，则的面积为________． 【答案】7.5 【分析】由“三线合一”可得，再根据三角形的面积公式计算即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∴． 23．如图，中，，，是边上的中线，，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】在上取点，使，过点作，交于，通过证明推出，将的最小值转化为，最后通过等面积法求出即可． 【详解】解：如图，在上取点，使，过点作，交于， ，是边上的中线， ， 和中， ， ， ，当点，，共线时，取得最小值， 为点到的最短距离， 当点运动到点，点运动到点，即与重合，取得最小值， ，，， ， 解得， 故的最小值为． 24．如图，在中，，，其面积为12，的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，则当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，据此可得答案． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， ∴的周长的最小值为． 题型九：格点图中画等腰三角形 25．如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 【答案】8 【详解】解：如图，点，，，，，，，即为所求． ∴满足条件的点C的位置有8处． 26．在如图的网格中，在网格上找到点C；点C在格点上，使为等腰三角形，这样的点有_______个． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理．首先由勾股定理可求得的长，然后分别从去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴①若，则符合要求的有：共2个点； ②若，则符合要求的有：共2个点； ③若，则符合要求的有：共6个点． ∴这样的C点有10个． 故答案为：10． 27．如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（   ）个． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题时需要通过尺规作图找出第三个顶点的位置，熟练掌握等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，长为半径作弧，作线段的垂直平分线，即可得到第三个顶点的位置． 【详解】解：如图所示，分别以A、B为圆心，长为半径作弧，则圆弧经过的格点、、、、、、即为第三个顶点的位置， 作线段的垂直平分线，垂直平分线未经过网格中的格点， 故以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个， 故选：A． 题型十：找出图中的等腰三角形 28．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 29．如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有_____个．   【答案】3 【分析】根据已知条件，，可得是底角为的等腰三角形，再根据尺规作图可得平分，从而判断等腰三角形的个数． 【详解】∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 由题图可知，平分， ∴， ∴，， ∴,， ∴是等腰三角形，， ∴是等腰三角形． 综上可知，题图中的等腰三角形有，，，共3个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、尺规作图——角平分线，掌握“等角对等边”是解决此题的关键． 30．在如图所示的方格中，点，，，均在小方格的顶点上．以其中三个点为顶点的等腰三角形个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：以其中三个点为顶点的等腰三角形有、、、共4个． 题型十一：根据等角对等边证明等腰三角形 31．如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（   ）    A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，可画出种不同的拼法，即可求解，根据等腰三角形的判定画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，共有中拼法：      故选：C． 32．如图，在中，点D，E分别是边的中点．若，，则的长为________． 【答案】4 【分析】根据三角形中位线，等腰三角形的判定和性质求解即可； 【详解】解：∵点D，E分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 33．将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查30度角所对的直角边等于斜边一半，等角对等边，根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的判定求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 故选：C． 题型十二：根据等角对等边证明边相等 34．如图，在中，交于点，则的长是______． 【答案】3 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 根据得到，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得，再由等腰三角形的判定可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：3 35．如图，已知平分，平分，且，设，则的周长是 _______． 【答案】30 【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边推出，再根据三角形的周长公式和等量代换进行求解即可. 【详解】解：∵平分，平分，且， ∴， ∴， ∴， ∴的周长. 36．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，已知，，则的周长为（     ） A． B．5 C．10 D．13 【答案】C 【分析】由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：在长方形中，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 题型十三：根据等角对等边求边长 37．如图，中，平分交于点 D，，，则的长为_______________________． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定． 根据角平分线得到，再由平行线的性质得到，然后等量代换，再由等角对等边即可求解． 【详解】解：∵平分交于点 D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 38．在中，平分，，交于点E．若，，则的长为______． 【答案】4 【分析】根据平行线的性质、三角形的角平分线和等腰三角形的判定，求出，即可求出答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 39．将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点A，B表示的刻度分别为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质求出，得到，然后利用含30度角直角三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十四：等腰三角形的性质和判定 40．如图，在与中，与相交于点D．给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有________． 【答案】①③④ 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识．证明，进一步即可作出正确的判断． 【详解】解：在和中， ∴，故①正确， ∴， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴，则④结论正确， 与的关系不能确定，故②不正确， 故答案为：①③④． 41．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为_______________ 【答案】 8 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质得出，利用三角形面积公式求出的长，再根据线段垂直平分线的性质得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当，，三点共线时周长最小，最小值为，由此求解． 【详解】解：连接，，如图， 是等腰三角形，点是底边的中点， ， ，且， ，解得， 是线段的垂直平分线，点在上， ， 的周长， 为定值， 要使的周长最小，只需最小， 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 的周长的最小值 42．如图，在中，平分，，，若，，则的长为（    ） A．16 B．18 C．14 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定．延长交于点E，如图，证明，得到，，可得，由可得，进而可得答案． 【详解】解：延长交于点E，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：B． 题型十五：等边三角形的判定和性质 43．如图，、是的边上的两点，并且，则________． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是求解出三角形的角度． 根据已知条件判断出等边三角形和等腰三角形，再利用它们的性质求出相应的角度． 【详解】解：， 为等边三角形， ， ， ， ． ． 故答案为：． 44．如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为，则当________时，是等边三角形． 【答案】3 【详解】解：如图：当，时， ∴为等边三角形， ∴． 45．如图，在和中，，，，点在的延长线上，的延长线交于点，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先说明是等边三角形，可得，再根据“边角边”证明，根据全等三角形的性质得到，，再说明是等边三角形，可得，然后求出说明C即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴，则A正确，不符合题意， ∴，，则B正确，不符合题意，D错误，符合题意； ∵， ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，则C正确，不符合题意． 题型十六：含 30 度角的直角三角形 46．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面1.8m处折断，且断枝与地面夹角为，则树折断之前高为________m． 【答案】5.4 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，根据在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半列出，并求的值即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∴树折断之前高为， 故答案为：． 47．如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则的长为_____． 【答案】4 【分析】过点P作于点D，求出，则可求出的长，由三线合一定理求出的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴． 48．如图，在中， 平分，交边上的高于点．已知，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先证，再证，推出，在中，利用含30度的直角三角形的性质，得，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， 中，， ， ， ． 题型十七：斜边的中线等于斜边的一半 49．如图，一根钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，若点是钢缆的中点，、两点间的距离为，则钢缆的长为________．（接头处忽略不计） 【答案】 【分析】由垂直定义可得为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半建立与的数量关系即可求解． 【详解】解： ∵电线杆与地面垂直， ∴， ∵点是钢缆的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， 即钢缆的长为． 50．如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】由作图可知垂直平分，则，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，再求出，最后通过等边对等角和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 51．如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边的长为2，则的长为________ ． 【答案】 【分析】根据已知分别求出，，，找到规律即可解答． 【详解】解：在中，点为中点，， ∴， 在中，点为中点，， ∴， 同理 …， ∴ 当时，则． 题型十八：直角三角形的两个锐角互余 52．在中，，，垂足为，，那么的大小是___________． 【答案】/42度 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再由垂线的定义得到，则同理可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， 故答案为：． 53．如图，已知，点是射线上一动点．的平分线与交于点，当为直角三角形时，______． 【答案】或 【分析】本题考查了角的和差，直角三角形两锐角互余；当时，当时，即可求解． 【详解】解：如图，当时， ， 的平分线与交于点， ， ； 如图，当时， ； 综上所述：或， 故答案为：或． 54．在中，于点D，点E为上一点，连接，，，，则的度数为______． 【答案】/68度 【分析】根据证明，推出，进而即可求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ． 55．如图，在中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则的面积为（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线定义，关键是由等腰三角形的性质推出，得到的面积，由三角形的面积公式求出的长． 延长交于，过作于，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由此，由等腰三角形的性质推出，得到的面积，由勾股定理求出，得到，求出，由三角形面积公式得到，求出，求出的面积，于是得到的面积． 【详解】解：延长交于，过作于， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， ，，， ， ， ， 的面积， ， ， 的面积， 的面积． 故选：B． 题型十九：锐角互余的三角形是直角三角形 56．下列说法正确的是（   ） A．有一个角是的三角形是直角三角形 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．以上说法都正确 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定． 根据直角三角形的判定，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．有一个角是，则其余两角和为，符合直角三角形定义，正确； B．有两个角互余，即这两角的和为，则第三个角为，故为直角三角形，正确； C．两个锐角互余，即两锐角的和为，则第三个角为，故为直角三角形，正确； ∴ 、、均正确， ∴选项符合题意． 故选：． 57．如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形证判定及性质，直角三角形的判定，三角形面积公式等，熟练掌握全等三角形证判定及性质是解题的关键．以为边，点为顶点作，延长与交于点，先通过角度等量代换证明，再依据全等三角形证明，进而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，以为边，点为顶点作，延长与交于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴ ∵，， ∴（）， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 58．设的三边分别为，满足下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理及直角三角形的判定方法，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据题意运用直角三角形的判定方法，在三角形中，当一个角是直角或两边的平方和等于第三边的平方，可判定该三角形是直角三角形，据此逐个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 由，可得， 是直角三角形，故本选项不符合题意； B. ， ，，，不是直角三角形，故本选项符合题意； C. 由，可得， 是直角三角形，故本选项不符合题意； D. ， 设， ， 是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 解答题 59．如图，在四边形中，，为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)已知，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：如图，过点作于点． ，平分， ． 为的中点， ， ， ∵，， 平分． (2)证明：在和中， ， ． 同理可得， ， ． (3) 【分析】（1）过点作于点．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而求出，然后根据在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明平分； （2）利用证明，根据全等三角形对应角相等可得，同理求出，然后求出，再根据垂直的定义即可证明； （3）根据全等三角形对应边相等可得，由得到，再求面积即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）知， 同理可得． ， ， ． 60．如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． (1)求证：； (2)连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． (2) 证明：∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证，即可证明，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 61．如图，与都是等腰直角三角形，，，，交的延长线于． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ∴． 在和中， ； (2) (3)证明：延长到，使得，连接，如图所示． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ， ∴． ∴， ∴． 【分析】（1）根据，推出，根据即可证明； （2）先证明，再求出，，即可解答； （3）延长到，使得，连接，先证明，则．推导出，则，继而证明，得到，则，即可解答． 【详解】（1）略； （2）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略． 62．如图，点在线段上，，，，是的中点． (1)求证： (2)直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)解：，理由如下， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴． 【分析】（1）根据平行线的性质得到内错角相等，再根据即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得到． 【详解】（1）证明：略 （2）解：，理由略 63．如图 ，平分，P 是上一点， 交 于点 D, (1)求证： 是等腰三角形． (2)若，，求的长和的度数． 【答案】(1)证明：如图， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (2)的长为6，的度数． 【分析】（1）根据条件，结合平行线性质得，再根据角平分线的性质得，进而得，再根据等角对等边即可得． （2）根据 平分，结合条件，即可求出，再根据平行线性质得，进而求出，再根据等腰三角形性质即可得． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，且， ∴． 64．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)______（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发______秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)11秒或12秒 【分析】（1）根据题意可得，再利用即可求解； （2）当点在边上运动时，，其中，根据等腰三角形的定义可得，列出关于的方程，即可求解； （3）分2种情况讨论：①是以为底的等腰三角形；②是以为底的等腰三角形，画出示意图，利用等腰三角形的性质求出点运动的路程，进而得到点运动的时间，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：当点在边上运动时，，其中， ∵是等腰三角形，， ∴，即， 解得， ∴出发秒后，是等腰三角形； （3）解：①当是以为底的等腰三角形，则， ∴， ∵，   ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点运动的路程为， ∴点运动的时间为（秒）； ②当是以为底的等腰三角形，则， ∴， ∴点运动的路程为， ∴点运动的时间为（秒）； ∴综上所述，出发11秒或12秒后，是以或为底的等腰三角形． 65．已知，是等边边上的点． (1)如图1，过点作，且交于点，求证：； (2)如图2，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过作于点． ①求证：； ②猜想写出，，之间的数量关系式，并加以证明； (3)如图3，（2）中其它条件不变，若点在延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ， ∴，， ∴是等边三角形， ； (2)①证明：如图2所示，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即； ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②，证明如下： 如图2所示，过点作于， ， ， 为等边三角形， ∴， ； ∵， ； ∵， ∴， 又∵， ， ， ， ∴； (3)结论①成立；结论②不成立，新的数量关系为 【分析】（1）证明是等边三角形，即可证明； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，得到，则可证明；再证明，即可证明；②过点作于，先证明；再证明，得到，据此可得结论； （3）过点作交延长线于点，证明是等边三角形，得到，证明，得到，求出，证明，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3所示，过点作交延长线于点， ∵是等边三角形， ∴，； ， ， 是等边三角形， ， ， ，即； 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ∴，即． 66．已知：如图，，是的中点． (1)求证：； (2)若为中点，求证：； (3)探究与的关系，并说明理由；当，时，求的长． 【答案】(1)证明：∵，是的中点， ∴分别是斜边上的中线， ∴， ∴； (2)证明：由（1）得， 又∵为中点， ∴； (3)， 理由：∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴ ： 的长为． 【分析】（1）利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可证明； （2）利用等腰三角形“三线合一”证明； （3）利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等，然后利用“等边对等角”得到，再利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”得到，，进而完成证明；第二个问题利用前面的结论可以得到的长，再利用可证得是等边三角形，于是得到答案． 【详解】（1）略． （2）略． （3）， 理由：略； ∵， ∴由（1）知， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 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