精品解析：山东德州市六校联考2026-2027学年第一学期10月学情自测八年级数学试题

绝密★启用前 2026-2027学年第一学期10月月考试题 八年级数学试卷 总分：150分；考试时间：120分钟； 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C. 有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 3. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，按如下步骤尺规作图：①以点为圆心，的长为半径作弧交边于点；②以点为圆心，的长为半径作弧交于点；③连接与，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，中线，则AB边的取值范围是( ) A. B. C. D. 7. 如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（　　） A. B. C. D. 8. 如图所示，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 无法计算 9. 如图，点A，C，D，E在的边上，，且，且，于点H，于点F，，，，图中阴影部分的面积为（ ） A. 50 B. 60 C. 66 D. 80 10. 如图，在中，，平分，点在射线上，于，交、于点、，于．下列结论：；；；．其中正确的结论个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 空调安装在墙上时，一般都采用右图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有________． 12. 如图，，，，垂足分别为D，E，添加一个条件，使，添加的条件是______（写出一个即可） 13. 如图，AD是△ABC的中线，△ABD的周长比△ADC的周长小2，且，则AC=______． 14. 如图，在中，，，分别是，，的中点，，则________． 15. 如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…和的平分线交于点，则____________________°． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）化简：； （2）若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 17. 如图，在中，平分交于点，平分交于点，于点，若，求与的度数． 18. 如图，已知，． （1）求证：； （2）连接，求证：． 19. 如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求． 20. 如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 21. 如图，AD是的中线，，垂足为E，，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：； （2）若，求证：． 22. （1）定义：我们把被三角形的一条角平分线分成的两个三角形叫做“友好三角形”. （1）如图1，在中，若，，为上一点，且与互为友好三角形，则__________. （2）如图2，已知，，与相交于点，求证：与互为友好三角形. （3）如图3，在中，为上一点，且与互为友好三角形，为延长线上一点，且于点，的延长线于点，. ①求证：. ②若，，求的长. 23. （1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026-2027学年第一学期10月月考试题 八年级数学试卷 总分：150分；考试时间：120分钟； 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 2. 如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C. 有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可． 本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 【详解】解：由题意可知：，，， 满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是与不全等，所以这个实验说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等， 故选：D． 3. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 4. 如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 5. 如图，在中，，按如下步骤尺规作图：①以点为圆心，的长为半径作弧交边于点；②以点为圆心，的长为半径作弧交于点；③连接与，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内角和可得，由作图可得，，推出，，最后根据即可求解． 【详解】解：在中，， ， 由作图可得，， ，， ． 6. 如图，在中，，中线，则AB边的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长至，使，然后利用边角边证明全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵是的中线， ∴， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系定理，遇中线，加倍延构造出全等三角形是解题的关键． 7. 如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键．通过延长 交 于点 ，利用角平分线和垂直的条件证明三角形全等，进而得出线段和面积的关系来求解． 【详解】解：延长 交 于点 平分， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 和 等底等高， ， ， ， ， 故选： 8. 如图所示，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角性质．先由，就可以得出，就可以得出，就可以得出，就可以由三角形的外角与内角的关系求出结论． 【详解】解：， ， ． 在和中， ， ， ． ． ． 故选：B． 9. 如图，点A，C，D，E在的边上，，且，且，于点H，于点F，，，，图中阴影部分的面积为（ ） A. 50 B. 60 C. 66 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】利用可得，因而可得，，同理可得，，再利用即可求解． 【详解】解：∵，， ，， ， 又∵， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可得：， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质及求不规则图形的阴影面积，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 10. 如图，在中，，平分，点在射线上，于，交、于点、，于．下列结论：；；；．其中正确的结论个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直的定义得到，即可判断①；利用三角形的外角性质判断②；推出，再结合三角形的外角性质证得③；由，得到，即可判断④． 【详解】解：平分， ， ， ， ，， ， ，， ， ，， ，故正确， ，，， ，故正确， ，， ， ， ，故正确， ，，， ， ，故错误， 故正确的结论有3个． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 空调安装在墙上时，一般都采用右图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 12. 如图，，，，垂足分别为D，E，添加一个条件，使，添加的条件是______（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据垂直关系，可以判断与有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了． 【详解】解：∵，，垂足分别为D、E， ∴， ∵，， ∴， 根据添加． 在与中 ． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：．添加时注意：不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 13. 如图，AD是△ABC的中线，△ABD的周长比△ADC的周长小2，且，则AC=______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质及周长公式即可求解． 【详解】解：∵AD是△ABC的中线， ∴， ， 即， 又∵， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了三角形的中线的性质及周长公式，熟练掌握三角形的中线的性质是解题的关键． 14. 如图，在中，，，分别是，，的中点，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”解答即可． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，深刻理解三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题关键． 15. 如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…和的平分线交于点，则____________________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质与规律的综合，三角形外角性质根据角平分线的性质可得，，再根据外角的性质可得，找出规律即可求出． 【详解】解：平分，平分， ，， ， 同理可得， …… ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）化简：； （2）若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 【答案】（1）； （2）周长的最大值是17，最小值是13 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边的关系，利用三角形三边的关系判断参数的取值范围是解题的关键． （1）首先利用三角形三边的关系判断绝对值里的代数式的正负，再去掉绝对值，合并同类项化简后得到最简结果； （2）首先根据三角形的三边关系确定第三边的参数取值范围，结合整数的条件求周长的最小值和最大值． 【小问1详解】 解：①∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； 【小问2详解】 ∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵c为整数， ∴当时，的周长为最大，即为； 当时，的周长为最小，即为； 综上所述，周长的最大值是17，最小值是13． 17. 如图，在中，平分交于点，平分交于点，于点，若，求与的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线和高，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义得到，根据得到，进而求出；利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得到． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 18. 如图，已知，． （1）求证：； （2）连接，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先由证明，从而得到； （2）首先证得，得到，然后证明，从而证得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：连接，如图所示： 由（1）的证明，得， ∴，，， ∴， 在和中， ∵， ∴（）， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出三角形全等的条件是解题的关键． 19. 如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求． 【答案】（1） 证明：∵E为中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明得到，据此可证明； （2）证明得到；再由全等三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 【答案】（1） 解：与全等，理由如下： 由题意知，，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，，由，可得，证明即可； （2）由（1）知，则，由题意知，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， 由题意知，， ∴， ∴爸爸是在距离地面的地方接住小明的． 21. 如图，AD是的中线，，垂足为E，，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵AD是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． 22. （1）定义：我们把被三角形的一条角平分线分成的两个三角形叫做“友好三角形”. （1）如图1，在中，若，，为上一点，且与互为友好三角形，则__________. （2）如图2，已知，，与相交于点，求证：与互为友好三角形. （3）如图3，在中，为上一点，且与互为友好三角形，为延长线上一点，且于点，的延长线于点，. ①求证：. ②若，，求的长. 【答案】（1）2； （2）证明：∵， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴与互为友好三角形 （3）①证明：∵与互为友好三角形， ∴平分， 又于点，于点， ∴， . 在和中， ∴ ②15 【解析】 【分析】（1）由与互为友好三角形可知平分，再根据已知条件可知是等腰直角三角形，则CD的长度可求. （2）根据友好三角形的定义只需证明平分即可.由等腰三角形等边对等角及平行线的性质通过等量代换即可证明. （3）①根据与互为友好三角形可知平分，根据角平分线的性质有，再加上通过HL即可证明； ②通过条件可知，再利用全等三角形的性质可求出DF的长度，从而AE的长度可求. 【详解】解：（1）∵与互为友好三角形 ∴平分 为等腰直角三角形 （2）略 （3）①略 ②∵在和中， ∴， ∴，设，则， 解得， 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质及直角三角形的判定及性质，理解题意，掌握角平分线的性质是解题的关键. 23. （1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1） （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又∵， ， ． ． ， （3）或或； 【解析】 【分析】（1）如图1，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得，再结合线段和差关系，即可解题； （2）如图2，与（1）同理可得：； （3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：． 本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题． 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使．连接， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 则， 即， ∵，， ∴， ∴ 即， 故答案为：； （2）略 （3）①． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ， ，． ． ． ， 易证， ， ， ． ②． 证明：在上截取， 同第一种情况方法，证明， 证明， ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点在延长线上，点在延长线，此时线段，，之间并无直接数量关系． 综上，或或； 故答案为：或或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $