精品解析：山东德州市陵城区第五中学2025-2026学年八年级上学期第二次学情自测数学试题

八年级数学第二次月考试卷 一、选择题（共40分） 1. 下列计算：①；②；③；④其中，错误的个数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是 A. a（x+y）=ax+ay B. x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4 C. 10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D. x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x 3. 已知，则的值是（　　） A. B. C. D. 4. 多项式与的公因式是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 当时，代数式的值等于（ ） A. B. 4 C. D. 2 7. 计算：（ ） A. 0.25 B. 4 C. 1 D. 2020 8. 已知，则的值为（　　） A. 42 B. 16 C. 8 D. 4 9. 今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共20分） 11. 若ab=3，a-2b=5，则a2b-2ab2的值是_________． 12. 已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2=____________． 13. 多项式的乘积不含x的一次项，则a的值为______． 14. 关于的二次三项式是一个完全平方式，则_______． 15. 如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为75，小正方形的面积为3，则矩形的宽为________． 三、解答题（共12分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 因式分解 （1）； （2）； （3）． 18. 化简，再求值： （1），其中，． （2），其中，． 19. 已知矩形的长为a，宽为b，它的周长为24，面积为32，求： （1）a2b＋ab2的值； （2）a2＋b2的值． 20. 已知为正整数，用因式分解的方法证明能被整除． 21. 小马和小睿两人共同计算一道整式乘法题：，由于小马抄错了的符号，得到的结果为；由于小睿漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为 （1）求出，的值； （2）请你计算出这道整式乘法题的正确结果． 22. 阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决： （1）因式分解： （2）因式分解： （3）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 23. 如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的等式是 ；（填写正确的序号） ①；②；③ （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，计算代数式的值． ②计算：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第二次月考试卷 一、选择题（共40分） 1. 下列计算：①；②；③；④其中，错误的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用积的乘方和幂的乘方运算法则逐个计算得结论． 【详解】解：①，故①计算错误； ②，故②计算正确； ③，故③计算错误； ④，故④计算错误． 所以，错误的是①③④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握积的乘方和幂的运算法则是解决本题的关键． 2. 下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是 A. a（x+y）=ax+ay B. x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4 C. 10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D. x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x 【答案】C 【解析】 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 【详解】A、是多项式乘法，故选项错误； B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故选项错误； C、提公因式法，故选项正确； D、右边不是积的形式，故选项错误． 故选：C． 3. 已知，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法及求代数式的值，解题的关键是将已知等式转化为，再根据同底数幂的乘法法则将转化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 4. 多项式与的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用平方差公式、完全平方公式对两个多项式进行因式分解，再根据公因式的定义即可得． 【详解】解：， ， 则多项式与的公因式是， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用公式法进行因式分解、公因式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 5. 已知，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ，， 解得，． 6. 当时，代数式的值等于（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】观察到时，代入计算更简便． 【详解】解：当时，． 7. 计算：（ ） A. 0.25 B. 4 C. 1 D. 2020 【答案】C 【解析】 【分析】利用积的乘方的逆运算求解即可． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了积的乘方的逆运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关运算法则． 8. 已知，则的值为（　　） A. 42 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 9. 今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：∵左边 右边， ∴内应填， 故选：A． 【点睛】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得积相加是解答此题的关键． 10. 如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、平方差公式与几何图形，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 先得到大正方形边长为，小正方形边长为，即可得到，；再由四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积得到，即可判断③；再由和判断④⑤． 【详解】解：∵大正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9， ∴大正方形边长为，小正方形边长为， ∴，， 故①②正确； ∵四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积， ∴， ∴， 故③正确； ∴， 故④正确； ∴， 故⑤正确， ∴不正确的有0个， 故选：A． 二、填空题（共20分） 11. 若ab=3，a-2b=5，则a2b-2ab2的值是_________． 【答案】15 【解析】 【分析】直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可． 【详解】解：∵， 则=3×5=15． 故答案为：15． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键． 12. 已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2=____________． 【答案】12． 【解析】 【详解】a2-b2=（a+b）（a-b）=4×3=12． 故答案为：12. 考点：平方差公式． 13. 多项式的乘积不含x的一次项，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用多项式乘多项式的计算方法进行乘法运算，再根据乘积中不含x的一次项，使含x的一次项的系数之和等于0即可． 【详解】解：） = =， ∵乘积中不含x的一次项， ∴3-2a=0， 解得：a=， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了多项式的乘法，关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 14. 关于的二次三项式是一个完全平方式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 【详解】解：， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，解题的关键是根据平方项确定出这两个数，熟记完全平方公式对解题非常重要． 15. 如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为75，小正方形的面积为3，则矩形的宽为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形的面积，设矩形的长为a，宽为b，得出=75，=3，进而得到a+b=5，a-b=，求出b即可． 【详解】解：设矩形的长为a，宽为b，则有=75，=3， 所以a+b=5，a-b=， 所以b=2， 即矩形的宽AB为2， 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，二次根式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 三、解答题（共12分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先将原式分组变形为平方差公式的形式计算，再用完全平方公式计算； （2）将原式分组变形为完全平方公式的形式计算； （3）将原式变形为完全平方和公式的形式简便计算； （4）提取公因式后简便计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 因式分解 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）提取多项式各项的公因式，完成因式分解； （2）将原式变形为平方差的形式，套用平方差公式分解； （3）先变形提取公因式，再用平方差公式继续分解至不能分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 化简，再求值： （1），其中，． （2），其中，． 【答案】（1）化简结果为，值为； （2）化简结果为，值为． 【解析】 【小问1详解】 解：原式 当，时，原式； 【小问2详解】 解：原式 当，时，原式． 19. 已知矩形的长为a，宽为b，它的周长为24，面积为32，求： （1）a2b＋ab2的值； （2）a2＋b2的值． 【答案】（1）384；（2）80 【解析】 【分析】根据矩形的周长和面积公式求得a+b＝＝12，ab＝32，所以根据a2b+ab2＝ab（a+b），a2+b2＝（a+b）2﹣2ab即可计算出此题结果． 【详解】解：由题意得，a+b＝＝12，ab＝32， ∴（1）a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝32×12 ＝384； （2）a2+b2 ＝a2+2ab+b2﹣2ab ＝（a+b）2﹣2ab ＝122﹣2×32 ＝144﹣64 ＝80． 【点睛】本题考查了因式分解和完全平方公式的运用以及矩形的周长和面积公式，正确将原式变形是解题的关键． 20. 已知为正整数，用因式分解的方法证明能被整除． 【答案】证明： ， 为正整数， 和是两个连续正整数，其中必有一个能被整除，即是的倍数， 可设（为正整数）， ， 是的倍数，为正整数， 能被整除． 【解析】 【分析】先利用平方差公式对原式进行因式分解，再根据为正整数得到和是连续正整数，必有一个是偶数，由此证明分解后的式子含有因数，即可说明原式能被整除． 【详解】略 21. 小马和小睿两人共同计算一道整式乘法题：，由于小马抄错了的符号，得到的结果为；由于小睿漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为 （1）求出，的值； （2）请你计算出这道整式乘法题的正确结果． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则即可求出a与b的值； （2）正确求出a与b的值后，利用多项式乘以多项式法则即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵小马抄错了的符号，得到的结果为， ∴， ∴； ∵小睿漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为， ∴， ∴， 解，得， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴ ． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式法则，本题属于基础题型． 22. 阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决： （1）因式分解： （2）因式分解： （3）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】（1） （2） （3） 证明： ， ∵n为正整数， ∴正整数． ∴， 即代数式的值一定是某个整数的平方． 【解析】 【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可； （2）设，则原式后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （3）先计算，再利用完全平方公式即可． 【小问1详解】 解：令， ， 将“A”还原，可以得到： 原式； 【小问2详解】 解：令， 则 ， 将“B”还原，可以得到： 原式 ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 23. 如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的等式是 ；（填写正确的序号） ①；②；③ （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，计算代数式的值． ②计算：． 【答案】（1）① （2）①4；②5050 【解析】 【分析】（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案； （2）①利用平方差公式将4a2-b2=（2a+b）（2a-b），再代入计算即可； ②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可． 【小问1详解】 图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2-b2， 图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a-b）的长方形，因此面积为（a+b）（a-b）， 所以有a2-b2=（a+b）（a-b）， 故答案为：①； 【小问2详解】 ①， ， 又， ， 即 ； ②， ， ， 原式． 【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $