精品解析：广西壮族自治区梧州市岑溪市第二中学2026-2027学年高二上学期10月检测数学试题

高二10月份检测数学试卷 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2．考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项.） 1. 已知直线的方程为，则其倾斜角为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程可得直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，直线斜率为，且， 由题意得斜率，由斜率的几何意义得， 解得，选项C正确. 故选：C 2. 以点(2，－1)为圆心，以为半径的圆的标准方程是（ ） A. (x＋2)2＋(y－1)2＝ B. (x＋2)2＋(y－1)2＝2 C. (x－2)2＋(y＋1)2＝2 D. (x－2)2＋(y＋1)2＝ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据圆的标准方程得出方法． 【详解】由题意圆标准方程是． 故选：C． 【点睛】本题考查圆的标准方程，已知圆心坐标为，半径为，则圆标准方程是． 3. 与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出椭圆方程，由短轴长求出，求出双曲线的焦点坐标，进而求出，得到椭圆方程. 【详解】设椭圆方程为， 双曲线的焦点坐标为， 又短轴长为2，故，解得：， 则，故椭圆方程为. 故选：C 4. 直线与间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得， 所以直线与间的距离是． 5. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 6. 已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据圆的一般方程得出圆心和半径，再判断圆与圆的位置关系得出两圆内切即可得出切线个数. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的标准方程为，圆心，半径， 所以，圆内切，所以与圆都相切的直线只有1条． 故选：A． 7. 已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】点到圆心的距离为，且圆的半径为1， 所以，故的最大值为6. 8. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知双曲线：，则（ ） A. 的顶点坐标为、 B. 的实半轴长为 C. 的离心率 D. 的渐近线的方程是 【答案】BCD 【解析】 【分析】先将双曲线方程化为标准形式，确定焦点在轴上，求出的取值，再结合双曲线的几何性质逐一判断各选项. 【详解】将双曲线化为标准形式：， 可得，即，，即. 选项A：该双曲线焦点在轴上，顶点坐标为，故A错误； 选项B：由可知实半轴长为，故B正确； 选项C：离心率，故C正确； 选项D：焦点在轴上的双曲线渐近线方程为，整理得，故D正确. 10. 已知椭圆C：的两个焦点分别为，，点P为C上的动点，以下正确的是（ ） A. 椭圆C长轴长为2 B. 的周长为6 C. 的最小值为 D. 面积的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，结合椭圆长轴长、椭圆的性质逐一判断即可. 【详解】由椭圆的标准方程可知：，因此. A：椭圆C长轴长为，因此本选项说法不正确； B：的周长为，因此本选项说法正确； C：由椭圆的性质可知：的最小值为，因此本选项说法不正确； D：设点，因此有. 因为， 所以面积的最大值为，因此本选项说法正确. 11. 已知直线，圆，则（ ） A. 直线过定点 B. 圆的半径是1 C. 存在一个实数，使得直线经过圆的圆心 D. 无论取何值，直线与圆相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，将变形得到，求出直线所过定点； B选项，将圆化为标准方程，得到圆心与半径，B正确； C选项，求出当时，直线经过圆心； D选项，得到点在圆内，所以无论取何值，直线与圆都相交. 【详解】变形为， 令，解得：， 可得直线过定点，正确； 变形为， 圆的圆心为，半径为3，则B错误； 将代入直线中， ，解得：， 当时，直线经过圆心，则正确； 将代入中，， 故点在圆内，所以无论取何值，直线与圆都相交，则D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 经过，两点的直线的斜率为______. 【答案】 1 【解析】 【分析】利用过两点的直线斜率公式，代入两点的坐标直接计算即可.  【详解】设，，由于， 所以过两点的直线斜率为. 13. 直线：截圆：的弦长为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题知圆:的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，. 弦长为. 14. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） （1）若直线的斜率为，求直线l的方程； （2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)利用点斜式写出直线方程，再化为直线的一般方程； (2)分类讨论截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. 【小问1详解】 因为直线的斜率为，经过点， 所以直线方程为，即. 【小问2详解】 当在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为 因为直线过点，所以，即， 此时方程为，即； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为， 则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 16. 已知直线：，直线：. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. 【小问2详解】 因为，所以 解得或. 17. 已知在中，，，． （1）求的外接圆的标准方程； （2）过点作的外接圆的切线，求该切线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将三顶点代入圆的标准方程，解出即可； （2）由两直线垂直得到斜率关系，再由点斜式得到直线方程即可； 【小问1详解】 设的外接圆的标准方程为， 则 解得 故的外接圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）得外接圆的圆心为，半径为5． 因为，所以切线的斜率为， 故所求切线方程为，即． 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆的一个顶点，离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l：与椭圆C交于A，B两点；若直线l过椭圆右焦点，且的面积为，求实数k的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合点的坐标特点进行求解即可； （2）根据椭圆弦长公式，结合点到直线距离公式、三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以椭圆的焦点在横轴上， 又因为点在椭圆上且又在横轴上，所以. 又因为椭圆的离心率为，所以， 所以椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 直线过椭圆右焦点可得：，即， 所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得： ， 因为焦点在椭圆内部，所以过的直线一定与该椭圆相交， 设两交点，则有， 所以， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 所以， 解得：或（舍去），即. 19. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，渐近线方程为，，直线与的左、右支分别交于点，（异于点，）. （1）求的方程； （2）若直线与直线的斜率之积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得到，解此方程组即可求出结果； （2）联立直线和双曲线的方程，消去得到，根据题意知，利用韦达定理写出，，根据直线方程求出，，写出直线，的斜率分别为，，并计算的值，化简即可求解. 【小问1详解】 因为，渐近线方程为， 所以，解得，， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 设点,，,，根据题意知， 由，得， 则， ，， 而； 由于， ； ，， ， 化简可得，解得，或， 当时，，不符合题意，舍去， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二10月份检测数学试卷 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2．考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项.） 1. 已知直线的方程为，则其倾斜角为（   ） A. B. C. D. 2. 以点(2，－1)为圆心，以为半径的圆的标准方程是（ ） A. (x＋2)2＋(y－1)2＝ B. (x＋2)2＋(y－1)2＝2 C. (x－2)2＋(y＋1)2＝2 D. (x－2)2＋(y＋1)2＝ 3. 与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 4. 直线与间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知双曲线：，则（ ） A. 的顶点坐标为、 B. 的实半轴长为 C. 的离心率 D. 的渐近线的方程是 10. 已知椭圆C：的两个焦点分别为，，点P为C上的动点，以下正确的是（ ） A. 椭圆C长轴长为2 B. 的周长为6 C. 的最小值为 D. 面积的最大值为 11. 已知直线，圆，则（ ） A. 直线过定点 B. 圆的半径是1 C. 存在一个实数，使得直线经过圆的圆心 D. 无论取何值，直线与圆相交 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 经过，两点的直线的斜率为______. 13. 直线：截圆：的弦长为__________． 14. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） （1）若直线的斜率为，求直线l的方程； （2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 16. 已知直线：，直线：. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 17. 已知在中，，，． （1）求的外接圆的标准方程； （2）过点作的外接圆的切线，求该切线方程． 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆的一个顶点，离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l：与椭圆C交于A，B两点；若直线l过椭圆右焦点，且的面积为，求实数k的值； 19. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，渐近线方程为，，直线与的左、右支分别交于点，（异于点，）. （1）求的方程； （2）若直线与直线的斜率之积为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $