精品解析：广西壮族自治区柳州市柳州地区民族高级中学2026-2027学年高二上学期10月限时训练数学试题

柳地高28届10月数学限时训练 本试卷满分150分，训练时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，且与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 经过两直线与的交点，且平行于直线的直线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.这艘轮船能被海监船监测到的时长为（ ） A. 1小时 B. 0.75小时 C. 0.5小时 D. 0.25小时 6. 设a，b表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若a，b是两条平行直线，且，则 B. 若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线 C. 若，则 D. 若a，b是两条异面直线，且，则 7. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字1，2，3，4）连续抛掷两次，观察并记录，得到两次侧面上的三个数字之和分别为，，则的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆：和圆：，若位于第一象限的点在两圆的公共弦上，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 圆：，圆：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆的半径为2 B. C. 直线与两圆都相切 D. 两圆公共弦所在直线的方程为 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 点关于直线的对称点为 C. 两条平行直线与之间的距离为 D. 当实数时，直线和互相垂直 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M为中点，F为侧面正方形内一动点，且满足//平面，则（ ） A. 三棱锥的外接球的表面积为 B. 三棱锥的体积是 C. 动点F的轨迹是一条线段 D. 若过A，M，三点作正方体截面，Q为上一点，则线段长度取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_________. 13. 若圆与圆相内切，则______ . 14. 已知，为圆上的两个动点，，若点为直线上一动点，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； （2）从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 16. 在中，内角，，的对边分别是，，，且 （1）求角； （2）若的面积为，，求边上的高． 17. 已知圆． （1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； （2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 19. 已知圆过，且圆心在轴上． （1）求圆的周长； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于为坐标原点，直线分别与直线相交于，记的面积为，的面积为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳地高28届10月数学限时训练 本试卷满分150分，训练时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，得到， 又，所以， 故选：D. 2. 复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简复数，进而可求虚部. 【详解】， 故的虚部为， 故选：B 3. 已知空间向量，，且与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值. 【详解】因为空间向量，，且与垂直， 则，解得. 故选：A. 4. 经过两直线与的交点，且平行于直线的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求两直线的交点坐标，再设直线方程为，将交点坐标代入方程，即可求出参数的值，即可得解； 【详解】解：由，解得，所以直线与的交点为，设与直线平行的直线为，所以解得，所以直线方程为； 故选：D 5. 如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.这艘轮船能被海监船监测到的时长为（ ） A. 1小时 B. 0.75小时 C. 0.5小时 D. 0.25小时 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘外籍轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系, 则，，圆方程， 直线方程：，即， 设到距离为，则， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 设监测时间为，则（小时）， 外籍轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时. 故选：C. 6. 设a，b表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若a，b是两条平行直线，且，则 B. 若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线 C. 若，则 D. 若a，b是两条异面直线，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理，结合举例，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对A：若a，b是两条平行直线，且，则或，故A错误； 对B：若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线可能相交，如a，b是异面直线，在直线上取一点，在直线上取两点、，连接，，则与相交于点，并非异面直线，故B错误； 对C：若，则与平面的关系不能确定，故C错误； 对D：如图： 过直线作平面，且，因为，所以， 又因为，，所以， 因为，是异面直线，所以直线、不平行，又， 所以，为相交直线，设交点为， 又，所以，故D正确. 故选：D 7. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字1，2，3，4）连续抛掷两次，观察并记录，得到两次侧面上的三个数字之和分别为，，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举法写出基本事件，根据古典概型求解. 【详解】因正四面体抛掷一次，侧面上的三个数字之和分别为6,7,8,9， 所以正四面体骰子连续抛掷两次所得样本点为， ，共个， 其中满足的样本点为， ，共个， 所以. 8. 已知圆：和圆：，若位于第一象限的点在两圆的公共弦上，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断两圆相交，求出两圆公共弦方程，由点在两圆的公共弦上，得，根据均值不等式求出的最小值. 【详解】由题知：圆：，圆心，半径； 圆：，圆心，半径， 易证得，故两圆相交， 则其公共弦的方程为， 即，则在，即有， 则， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 圆：，圆：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆的半径为2 B. C. 直线与两圆都相切 D. 两圆公共弦所在直线的方程为 【答案】AC 【解析】 【详解】圆：，圆心，半径， 圆：，即， 圆心，半径，故选项A正确； ，故选项B错误； 直线与两圆都相切， 直线与圆相切圆心到直线距离等于半径， 点到直线距离：， 对：，相切， 对：，相切， 直线和两圆都相切，故选项C正确； 两圆公共弦所在的直线的方程： ，化简得：， 公共弦方程是，故选项D错误. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 点关于直线的对称点为 C. 两条平行直线与之间的距离为 D. 当实数时，直线和互相垂直 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由直线过定点，按参数整理，令参数的系数为0求解即可；对于B，利用点关于直线的对称的性质求解；对于C，利用平行线之间的距离公式求解；对于D，利用直线垂直的系数关系判定即可. 【详解】对于A，，，故直线过定点，故A错误； 对于B，设点关于直线的对称点为,则 即点关于直线的对称点为，B正确； 对于C， ，，故C正确； 对于D， 时，，故直线和互相垂直，故D正确； 故选：BCD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M为中点，F为侧面正方形内一动点，且满足//平面，则（ ） A. 三棱锥的外接球的表面积为 B. 三棱锥的体积是 C. 动点F的轨迹是一条线段 D. 若过A，M，三点作正方体截面，Q为上一点，则线段长度取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A：因为三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个，所以先确定正方体外接球的直径，再用球的表面积公式求解; 对于选项B：因为三棱锥的体积可通过等体积法转换，所以将其转化为以易求底面积和高的三棱锥，再用三棱锥体积公式计算; 对于选项C：因为平面，所以先构造过且与平面平行的平面，利用面面平行的性质确定F的轨迹; 对于选项D：因为要作过，，的正方体截面，所以先确定截面的形状，再找到到截面的距离，结合到截面顶点的距离，确定的取值范围. 【详解】对于A选项，三棱锥的外接球与正方体外接球是同一个球，,,故A正确； 对于B选项， 故B错误； 对于C选项,取中点，那么,所以，平面， 分别取的中点，则 平面,平面 所以，平面, 由于四边形是矩形，, 所以，四边形是平行四边形， 所以，平面,平面 所以，平面, 又平面, 所以，平面平面 因为为侧面内一动点，且满足//平面， 所以，平面平面 又平面平面, 所以，动点F的轨迹是线段,故C正确； 对于D选项，若过 三点作正方体截面， 分别取中点,则四边形为平行四边形，那么 ,所以，四边形为平行四边形 所以， 所以，截面为四边形. 设点到平面距离为,则 ,即， 由于, 所以，即，故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的底面积和侧面积公式求出圆柱的底面圆半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得解. 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为， 由题意可得，解得， 所以圆柱的体积. 故答案为：. 13. 若圆与圆相内切，则______ . 【答案】-23 【解析】 【分析】求出两圆的圆心，确定在圆外部，所以圆内切于圆，由圆心距得到方程，计算即可. 【详解】由， 显然， 圆相内切， 将点坐标代入圆方程知，即在圆外部， 所以圆内切于圆， 则有， 解之得. 故答案为： 14. 已知，为圆上的两个动点，，若点为直线上一动点，则的最小值为______. 【答案】6 【解析】 【分析】取中点，则，问题转化为求的最小值，再利用点到直线的距离公式求的最小值即可. 【详解】如图：取中点，因为，圆的半径为2，所以，点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，. ， 由点到直线距离公式，得：，所以， 所以. 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； （2）从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 【答案】（1），分位数为分； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为求出，再由第百分位数的求法计算即可； （2）由分层抽样确定每层抽取人数，列出基本事件和符合题意的事件，根据古典概型求解. 【小问1详解】 由题意知，解得， 设第百分位数为， 因为位于之间的频率为，位于之间的频率为， 所以， 令，解得，即第百分位数为. 【小问2详解】 由，得这人中物理成绩在的人数为，分别记为，在的人数为人，分别记为， 在这人中抽取人，共，个基本事件， 这名学生物理成绩在和内各人，共，个基本事件， 故这名学生物理成绩在和内各人的概率为. 16. 在中，内角，，的对边分别是，，，且 （1）求角； （2）若的面积为，，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件及正弦定理可得，再结合角的范围可得； （2）结合（1）中及面积可得，再由余弦定理可得，再由面积可得所求边上的高. 【小问1详解】 由正弦定理及， 得， 因为，所以，，所以. 又，所以． 【小问2详解】 由（1）知，又因为的面积为，， 所以，解得. 由余弦定理，所以. 设边上的高为，则，解得，即边上的高为． 17. 已知圆． （1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； （2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）易判断点A在圆,因此切线方程有两条,分直线的斜率不存在和直线斜率存在讨论即可； （2）利用相关点法求出的轨迹方程，进而可求的轨迹的长度. 【小问1详解】 圆C的标准方程为: , 点在圆外, 故过点A且与圆C相切的直线有2条， ①当直线的斜率不存在时, 圆心到直线的距离 直线与圆C相切. (2)当直线的斜率存在时,可设直线,即 圆心C到直线的距离, 由题意,解得, 此时,即, 终上所述,直线的方程为或. 【小问2详解】 设因为为的中点, 所以, 点E在圆C上 , 即， 即， 所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆, 的轨迹的长度为. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 【答案】（1）证明：在中，． 所以，即； 又因为， 在平面中，面，面，， 所以平面； （2） （3）不存在，理由如下： 设是线段上一点，则存在使得， 因为， 所以， 因为平面， 所以平面当且仅当， 即， 即，解得， 因为，所以线段上不存在使得平面． 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明即可. （2）向量法求解平面与平面夹角的余弦值即可. （3）设是线段上一点，则存在使得，利用线面平行的向量证法证明线面平行即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为平面平面， 平面平面， 平面， 所以平面，所以， 由（1）已证，且已知， 故以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则，，， 所以，， ， 因为为中点， 所以， 由知， ， 设平面的法向量为， 则即，令，则， 于是， 又因为由（1）已证平面， 所以平面的法向量为， 所以， 平面与平面夹角的余弦值； 【小问3详解】 线段上不存在使得平面，理由略. 19. 已知圆过，且圆心在轴上． （1）求圆的周长； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于为坐标原点，直线分别与直线相交于，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心在轴上的圆的标准方程，代入两点坐标，解方程组得到圆心坐标和半径，再根据圆的周长公式计算即可. （2）先根据弦长求出圆心到直线的距离，然后分直线斜率存在与不存在两种情况。斜率不存在时直接验证；斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率，进而得到直线方程. （3）设直线的斜率，求出点坐标，根据垂直直线斜率的关系得到直线的斜率，求出点坐标，再求出点坐标，分别表示出​，进而得到的表达式，最后利用基本不等式求其最大值. 【小问1详解】 由圆心在轴上，设圆的方程为，又圆过， 则，解得，所以圆的方程为，其周长为. 【小问2详解】 根据题意作图. 因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为. ①当直线的斜率不存在时，直线与圆的交点为， 此时，直线被圆截得的弦长为，所以直线满足题意； ②当直线的斜率存在时，设直线，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得，则直线. 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 根据题意作图. 因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合， 所以.设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，可得，解得或， 所以点的坐标为. 又直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，可得，解得或， 所以点的坐标为. 由题意可知，点， 所以，， 故，又，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $