精品解析：黑龙江哈尔滨市第一五六中学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

命学科网命组卷网 哈156中学校2026-2027学年度（上）九年级学情调研 数学学科 温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷会记录你的自信、沉着、智慧和收获！请认真审题，看 清要求，仔细答卷，规范书写.祝进步！ 一、单选题（共30分） 2026 的相反数是() 1 1 A.-2026 B.2026 C.2026 D.2026 【答案】A 【解析】 【详解】解：2026的相反数是-2026 2.人工智能在个性化学习、高效答疑、拓展学习资源等领域发挥着重要作用.下列4个不同的A!图标中， 属于轴对称图形的是( B.千问 DeepSeek C.豆包 D.夸克 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意： C、不是轴对称图形，不符合题意： D、是轴对称图形，符合题意. 第1页/共33页 命学科网命组卷网 3.月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里，384000用科学记数法表示为() A.38.4x104 B.3.84x10 c0.384×106 D.3.84×106 【答案】B 【解析】 【分析】科学记激法表示较大的数的：形式为ax10,其中1水10，”为整数，确定“与”的值即 ,其中 可解题 1sa<10 【详解】：科学记数法要求“满足 ,需要将384000转化为符合要求的形式， ·.把384000的小数点向左移动5位，得到4=3.84，可 4,可得384000=3.84×10 故选：B, 4.下列计算正确的是() A.-a3+4a3=3a3 B.(3a3-9a C.a6÷a2=a D.(a)3=a5 【答案】A 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方运算法则计算各选项，即可判断结果. 【详解】解，选项A:-+4d=(1+4)d=30,A计算正确： 选项B.(3@=3.d=27u≠90，B计算错误， 选顶C,。a=a2=0≠d,C计算错误 选项D.(a=a=a2≠ ,D计算错误. 5己知一元二次方程t-5x-8= 的两个实数根分别为心，，则m+n 的值为() A.5 B.5 C.8 【答案】A 第2页/共33页 6学科网6组卷网 【解析】 【分析】无需解方程，利用根与系数的关系直接计算两根之和. 【详解】解：一元二次方程-5x-8=0中.a=1,b=-5】 m+n=-b、-5 =5 由根与系数的关系得， a 1 6。把抛物线y=3(x-向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（) A.y=3(x-4)2+2 B.y=3(x-4)2-2 c.y=3(x+2)}2+2 D.y=3(x+2)}2-2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律求解即可. 【详解1解：将y=3(x-向左平移3个单位，得y=3(x-1+3=3(x+2}. 再向下平移2个单位，得y=3(x+2)}2-2 7.如图，△ABC中，AB=BE,AD=DE,若∠A=70°，∠C=50°，则∠CDE的度数为() 10° 815o c200 D250 【答案】C 【解析】 【分析】利用SSS证明△ABD≌△EBD,得出∠BED=∠A,再利用三角形外角性质求解. 【详解】解：在△ABD和△EBD中， 第3页/共33页 6学科网命组卷网 AB=BE AD=DE BD=BD ∴.△ABD≌△EBD(SSS) ∴.∠BED=∠A=70° ·∠BED。△CDE 是 的外角， ∴.∠BED=∠C+∠CDE :.∠CDE=∠BED-∠C=70°-50°=20° 8.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新 建了432个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x,根据题意，列出方程为() A.300(1+2x)=432 B.3001+x2)=432 C.3000+x)2=432 D.3001-x)2=432 【答案】C 【解析】 【分析】确定第一个月到第三个月的增长次数为2，结合月平均增长率列方程。 【详解】解：，第一个月新建300个充电桩，月平均增长率为x, ∴第二个月新建充电桩个数为 00(1+x) ·第三个月新建充电桩个数为300(1+x)2, :第三个月新建432个充电桩， 可列方程为300(1+x)}2=432 第4页/共33页 学科网命组卷网 9.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,以点A为圆心，适当长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等）， 交AB于点M,交AC于点N,分别以点M,N为圆心，大于2MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的 内部相交于点D,作射线MD交BC于点B,F为边1C上一点，连接EF,若M=CF,ME=BC=4 则EF的长为() M yo B A.3 B.5 C.2 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的尺规作图、直角三角形的性质与中位线定理，解题关键 是先利用等腰三角形“三线合一”推出AE⊥BC,再结合直角三角形斜边中线定理求解EF的长度. 【详解】又：△ABC是等腰三角形，AB=AC, ..AE ∠BAC 既是 的角平分线， 1 BE=EC=二BC .AE⊥BC.且 2 .·BC=4 :.EC-1x4-2 2 又：AE=4,且AE⊥BC, 第5页/共33页 6学科网 命组卷网 ..AAEC ∠AEC=90° 是直角三角形， 1 EF=二AC 2 在Rt△AEC中，由勾股定理： AC=VAE2+EC2=V42+22=16+4=V20=2V5 4c-25-5 故选：B」 10.如图，平面直角坐标系中等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，且AO=AB=2.将直线x=1从y轴 出发向右平移，△AOB在该直线左侧的阴影部分的面积记为S,则S与t之间的函数关系的图象为下列选 项中的() x=l B S S 2 √2 0 227 O√22√21 S S 2 2 √2 D W2227 227 第6页/共33页 6学科网 命组卷网 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的应用.过点A作AD上x轴于点D,设直线x=1交x轴于点E,则 OE=1,分两种情况，当直线x=1在点A的左侧时，当直线x=1在点A的右侧时，结合等腰直角三角形 的性质列出函数关系式，即可求解， 【详解】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D,设直线x=t交x轴于点E,则OE=1, :△AOB是等腰直角三角形，AO=AB=2, OB=22 AD-50B2 ZAOD=ZABD=459 2 当直线术=1 在点1的左侧时，如图，设直线=（交OA于 0“于点G,则1 △OEG 是等腰直角三角形，此时 0<t≤V2 E D B .EG=OE=t, 2； 当直线x=1在点A的右侧时，如图，设直线x=1交OB于点F,则△BEF是等腰直角三角形，此时 V2<t≤22 第7页/共33页 命学科网命组卷网 B衣 :EF=BE=22-1 片5=8aue5am-0MxB-0ExBG=分x2x2-5--+2i-2 1 2 综上所述，当0<1≤V2时，图象应为开口向上的二次函数图象：当V2<1≤2N2时，图象应为开口向下 的二次函数图象. 故选：B 二、填空题（共30分） y= 11.已知函数x-2,则x的取值范围是 【答案】x≠2 【解析】 【分析】根据分母不为0，可得x+10,然后进行计算即可解答. 【详解】解：由题意得：x-20, 解得：x2, 故答案为：x≠2 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键 12.因式分解： x-2x2y+xy2= 【答案】x(x-y)2 【解析】 【分析】先提取公因式x,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解. 第8页/共33页 6学科网命组卷网 【详解】解：原式=(？-2y+y)=x(x-y2 故答案为： x(x-y)2 【点睛】本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键 13.若(m-2)x四+2x-3=0 是关于x的一元二次方程，则的值为一· 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解. 【详解】解：方程(m-2)“+2x-3=0是关于x的一元二次方程， [lml=2 需满足m-2≠0· 由m-2 解得m=2或m=-2又由m-2≠0得m≠2， .m=-2 「-3x≤6 14.不等式组2x-1<x的解集是 【答案】-2≤x<1 【解析】 【分析】先解每一个不等式，再求解集的公共部分即可得到不等式组的解集。 -3x≤6① 【详解】解： 2x-1<x② 解不等式①得，x≥-2： 解不等式②得，x<1: 所以，不等式组的解集为：-2≤x<1, 第9页/共33页 6学科网 命组卷网 故答案为：-2≤x<1, 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找：大大小小找 不到”的口诀有助于快速确定不等式组的解集。 15.用火柴按照下图的方法摆正方形（每条边摆1根火柴），照这样，摆15个正方形共需要 根火 柴。 【答案】46 【解析】 【分析】根据摆正方形的个数与需要的火柴根数，推导一般性规律，进而可得结果. 【详解】解：摆1个正方形，需要1×3+1=4根火柴； 摆2个正方形，需要2×3+1=7根火柴： 摆3个正方形，需要3×3+1=10根火柴； 摆4个正方形，需要4×3+1=13根火柴； 摆5个正方形，需要5×3+1=16根火柴： ∴.推导出一般性规律：摆n个正方形，需要3n+l根火柴； ∴摆15个正方形，需要3×15+1=46根火柴 故答案为：46. 【点睛】本题考查了图形规律探究.解题的关键在于推导出一般性规律】 16.一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有 支队参加比赛， 【答案】10 【解析】 第10页/共33页 命学科网命组卷网 【分析】设共有x支队参加比赛，根据双循环赛制的场次关系列出一元二次方程，舍去不符合实际的负根 即可得到结果， 【详解】解：设共有x支队参加比赛， ·双循环赛制每两队之间赛两场，总比赛场次为(x一)】 根据题意列出方程， x(x-1)=90 整理得”-x-90=0 解方程得x=10或x=-9, ,参赛队伍的数量为正整数， ∴舍去不符合题意的x=一9， ∴.共有10支队参加比赛. 17.已知一个直角三角形两直角边长之和为40cm,则这个直角三角形的最大面积为 【答案】 200cm2 【解析】 【分析】设这个直角三角形的一条直角边长为cm,其面积为Scm2,则另一条直角边长为(40-)cm 利用三角形面积公式得到面积的二次函数表达式，利用二次函数的性质求最大值即可. 【详解】解：设这个直角三角形的一条直角边长为xcm Scm ,其面积为 ,则另一条直角边长为 (40-x)cm x>0 由题意得： 40-x>0, .0<x<40, 第11页/共33页 可学科网丽组卷网 又这个直角角狗5-(0-小2+20r=✉-2刘+20m ∴在0<x<40内，当0<x≤20时，S随x的增大而增大；当20<x<40时，S随x的增大而减小， 当x=20时，S取得最大值，最大值为200， 即这个直角三角形的最大面积为200cm 18已知点A(4,),B(-2,乃)都在二次函数y=(x-2-1的图象上，则H,的大小关系是 【答案】片<#为>片 【解析】 【分析】将点A(4,少），B(-2,乃)两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应的函数值，即可比 较大小 【详解】解：点A(4,),B(-2,乃)都在二次函数y=(x-2-1的图象上， 片=(4-22-1=4-1=3.2=(-2-2)2-1=16-1=15 .3<15 片<五 19等腰三角形一边长是3，另两边长是关于×的方程-4x+k=0的 的两个根，则k的值为 【答案】3或4. 【解析】 【分析】分等腰三角形的腰长为3和底边为3两种情形求解即可， 【详解】当等腰三角形的腰长为3时，则另一边长为3， :另两边长是关于x的方程t-4x+k=0 的两个根， 第12页/供33页 学科网命组卷网 x3是方程r-4x+k=0 的根， 32-4×3+k=0 .k=3, :-4x+3=0 .x=3或X=1, .等腰三角形的三边为3,3,1，存在， 当等腰三角形的底边为3时，则两腰为方程的根， :另两边长是关于x的方程-4红+k=0。 的两个根， .（-4)2-4k=0 ∴k=4, :2-4x+4=0 为=2 ∴等腰三角形的三边为2,2,3，存在， 综上所述，k=3或k=4, 故答案为：3或4. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与等腰三角形的边长之间的关系，灵活运用分类思想，根的定义， 根的判别式是解题的关键. 20.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=7,点G在边CD上，P为BC边上动点，线段EF垂直平 分BG交AD于E,且∠EGF=45°.现给出以下四个结论：①EG=5:②AB+AE=BC:③ ∠CBG+∠CEG=45°，④PE+P 的最小值为4 ”;其中正确有 (写出所有正确结论的序 号). 第13页/供33页 6学科网组卷网 G B 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等、勾股定理的应用. 连接BE,可得△BEG是等腰直角三角形，进而证明 ABE≌△DEG(AAS) 即可判定①②正确；根据将 PE+PG 军饮马模型构造对称由勾股定理可得 的最小值为④ 【详解】解：连接BE, 1 B ,线段EF垂直平分BG, .BE=EG. .∠EBF=∠EGF=45°， .∠BEG=90°， .∠AEB+∠GED=90°， ,在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°， .∠ABE+∠AEB=90°， .∠ABE=∠GED, 第14页/供33页 学科网丽组卷网 在△ABE和△DEG中， ∠A=∠D ∠ABE=∠GED BE=EG 、△ABE≌△DEG(AAS) .ED=AB=4. .AD=AE+ED=AE+BE,故②正确： :在矩形ABCD中，AB=CD=4,AD=BC=7 .AE=AD-ED=7-4=3, :BE=VAB2+AE2=V42+32=5 .EG=BE=5,故①正确： ED=AB=CD=4, .∠ECD=45°， .∠BCD=90°. .∠ECB=45°. 又：∠CEG+∠EGF=∠CBG+∠BCE,即：∠CEG+45°=∠CBG+45°， .∠CEG=∠CBG. .∠BCG=90°，BF=FG. .BF=FC, .∠BCF=∠CBG, 第15页/供33页 6学科网命组卷网 .∠CBG+∠CEG=2∠CBG=∠CBG+∠BCF=∠CFG, :EG与CF不平行， ·.∠CFG≠∠EGF=45°，故③错误： 取点G关于BC的对称点G,连接EG交BC于P',则点P是所求最小值的点，PE+PG的最小值为 EG' D B G' DG=AE=3.CD=AB=4. ..CG=CG'=1. :.EG=VED2+GD2=V42+5=√41 PE+PG 的最小值为 V41 41,故④正确 综上所述：正确结论有①②④. 故答案为①②④. 三、解答题（共7题，共60分） 21.用适当方法解下列方程 (1)x2-7x-1=0 （2)5x2-2x-0.25=x2-2x+0.75 第16页/共33页 6学科网命组卷网 7+V53 .7-53 【答案】(1)= 2， 2= 2 1 1 (2=2.=2 【解析】 【小问1详解】 解：对于方程2-7x-1=0 a=1b=-7c=-1 △=b2-4ac=(-7)2-4×1×(-1)=53>0 x=7±V53 2, 解得：57+V53 57- 2， 2: 【小问2详解】 解：原方程5r-2x-0.25=x2-2x+0.75 移项得5r-2x-0.25-X2+2x-0.75=0 合并同类项得4r2-1=0 整理得4， 开方得x= Γ2 1 1 得2，= 2 22.如图所示，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点A、B均在小 第17页/共33页 6学科网命组卷网 正方形的顶点上. (I)在图中画出以AB为一腰的等腰△ABC,点C在小正方形顶点上，△ABC为钝角三角形，且 15 △ABC的面积为2； (2)在图中画出以AB为斜边的直角三角形ABD,点D在小正方形的顶点上，且AD>BD: (3)连接CD,请你直接写出线段CD的长 【答案】(1)如图所示见解析；(2)如图所示见解析；(3)CD=V26 【解析】 【分析】(I)根据AB的长和三角形的面积即可求出点C所在的直线，然后根据AB=BC即可找出点C: (2)以AB为直径作圆，从圆与小正方形的顶点的交点中找出满足AD>BD的点D即可： (3)根据勾股定理计算即可. 【详解】解：(1)由图可知：AB=5, 15 ,△ABC的面积为2 15 ∴.C到AB的距离为2×2÷5=3 ∴.点C在与AB平行且相距3的直线上，以点B为圆心，AB的长为半径作弧，交该直线与点C,连接 AC、BC,如图所示△ABC即为所求； 第18页/共33页 学科网 命组卷网 (2)以AB为直径作圆，从圆与小正方形的顶点的交点中找出满足AD>BD的点D即可，如图所示， △ABD即为所求： (3)根据勾股定理CD=VP+5=√26 【点睛】此题考查的是在网格中作等腰三角形、作直角三角形和勾股定理，掌握等腰三角形的定义、直径 所对的圆周角是直角和勾股定理是解决此题的关键 23.哈市某中学为了丰富校园文化生活，校学生会决定举办演讲、歌唱、绘画、舞蹈四项比赛，要求每位 学生都参加.且只能参加一项比赛.围绕“你参赛的项目是什么.（只写一项）'的问题，校学生会在全校范 围内随机抽取部分学生进行问卷调查.将调查问卷适当整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图.其 中参加舞蹈比赛的人数与参加歌唱比赛的人数之比为1：3.请你根据以上信息回答下列问题： (1)通过计算补全条形统计图； (2)在这次调查中，一共抽取了多少名学生： (3)如果全校有680名学生，请你估计这680名学生中参加演讲比赛的学生有多少名. 人数 20 16 12 2 演 歌 绘 舞 比赛项目 讲 唱 蹈 学生参加比赛的人数分布情况 【答案】(1)答案见解析：(2)40名；(3)102名 【解析】 【分析】(1)本题需先求出参加舞蹈比赛的人数即可补全条形统计图. (2)本题需把参加演讲、歌唱、绘画、舞蹈比赛的人数分别相加即可得出一共抽取了多少学生 (3)本题需先求出680名学生中参加演讲比赛的学生所占的比例，再乘以总人数即可得出结果. 1 【详解】解：(1)12×3=4（名）： 第19页/共33页 命学科网 命组卷网 人数4 20 16 12 12 8 6 0 演 歌 舞 比赛项目 讲 唱 画 学生参加比赛的人数分布情况 (2)6+12+18+4-40(名)， .在这次调查中，一共抽取了40名学生： 6 (3)680×40=102(名)， ∴.估计这680名学生中参加演讲比赛的学生有多102名. 1 24.在菱形ABCD中，点O是对角线的交点，E点是边CD的中点，点F在BC延长线上，且CF=2BC A E B (1)求证：四边形OCFE是平行四边形： (2)连接DF,如果DF⊥CF,请你写出图中所有的等边三角形. 【答案】(1) 证明：四边形ABCD是菱形， ∴.BO=DO :B点是边 CD 的中点， 第20页/共33页 6学科网命组卷网 .OE△BDC 是 的中位线， OE=BC ∴.OE∥BC且 2 1 .CF=BC ∴.OE=CF .OE∥CF 四边形 CFE 是平行四边形： (2)△OCE,△ECF,△ABC.△4DC 【解析】 【分析】(1)利用菱形的性质得BO=DO,易得OE是△BDC的中位线，利用中位线的性质得 OE1∥BCOE=12BC ,利用平行四边形的判定得出结论： (2)由直角三角形的性质，斜边中线等于斜边的一半得EF=12CD,易得△ECF为等边三角形，利用 (1)的结论，易得△OCE为等边三角形，利用等边三角形的性质，得∠ABC=60°，利用判定定理得 △ABC,△ADC 为等边三角形. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：：DF⊥CF,E点是边CD的中点， :.EF=1CD 第21页/供33页 6学科网 命组卷网 wc-jco CFC-D ∴.△ECF为等边三角形： OCFE 四边形 是平行四边形， ...OC=EF=CE=CF=OE, ∴.△OCE为等边三角形： .△ECF 为等边三角形， ∴.∠ECF=60° .∠ABC=60° 四边形 ABCD 是菱形， ∴.△4BC为等边三角形： 同理得△ADC为等边三角形： 六图中的等边三角形有： △OCE△ECF·△ABC△ADC 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，等边三角形的判定及性 质，综合运用各定理是解答此题的关键. 25.晨光文具店新进一批足球和篮球，足球的单价比篮球的单价便宜60元，赵老师用600元购买足球的数 量与用900元购买篮球的数量相同. (1)请问足球、篮球的单价各是多少元？ (2)赵老师打算再次购买足球、篮球共30个，且购买足球的数量不能超过篮球数量的2倍，设购买a个 足球，总花费为W元，求购买多少个足球时，总费用最小，最小费用是多少？ 【答案】(1)足球单价为120元，篮球单价为180元. (2)购买20个足球时总费用最小，最小费用为4200元. 【解析】 【分析】(1)根据购买足球与篮球的数量相等列分式方程求解两种球的单价. (2)建立总费用关于足球数量的函数关系式，结合数量限制确定自变量范围，根据函数增减性求最小值， 第22页/共33页 6学科网命组卷网 【小问1详解】 解：设足球的单价为元，则篮球的单价为 x+60) 元 ,用600元购买足球的数量与用900元购买篮球的数量相同， 600900 .xx+60 解得x=120 故x=120 检验：当=120时，x+60)≠0. 原方程的解。 120+60=180 (元). 答：足球单价为120元，篮球单价为180元. 【小问2详解】 ·购买a个足球，共购买30个球， ∴购买篮球(30-)个. W=120a+180(30-a) 化简得W=-60a+5400 ·足球数量不超过篮球数量的2倍， a≤230-a) 解得a≤20 由实际意义得a≥1且30-a≥1，其中a为整数， :1sa≤20，a 为整数). -60<0 w a .”随“的增大而减小， 第23页/供33页 命学科网命组卷网 .当a=20时，W取得最小值，最小值为4200元. 答：购买20个足球时总费用最小，最小费用为4200元. 26.在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，连接AE,将△AED沿AE翻折得到△AEF,连接BF并 延长交CD于点G. D D E G F 图1 图2 图3 (1)如图1，若AF=BF,求证：FG=EG: EF (2)如图2，若F为BG的中点，求AE的值： CFCF⊥BGAB=6 (3)如图3，连接，若 ,直接写 DE的长 【答案】(1)证明：如图1， D B 图1 :四边形ABCD是正方形， .AD=AB=DC=BC,∠D=∠BAD=90°， 根据折叠性质得：AD=AF,∠DAE=∠EAF,∠DEA=∠AEF,∠D=∠AFE=90°， .AF BF, 第24页/供33页 6学科网列组卷网 .AF BF AB, :.△ABF是等边三角形， .∠AFB=∠BAF=60°， .∠FAD=∠BAD-∠BAF=30°，∠GFE=180°-∠AFE-∠BAF=30°， ∠DEF=360°-∠AFE-∠DAF-∠D=150°， .∠GEF=180°-∠DEF=30°， .∠GFE=∠GEF、 .FG=EG (2)2 (3)2 【解析】 【分析】(I)根据四边形ABCD是正方形，结合折叠性质证明△ABF是等边三角形，根据等边三角形 性质求出∠FAD=30°，∠GFE=30°，∠DEF=150°，进一步求出∠GEF等于30度，即可得 ∠GFE=∠GEF,再根据等角对等边即可证明FG=EG, (2)根据四边形ABCD是正方形，即可得CD=AB,∠ABC=∠DCB=90°，结合直角三角形斜边中 线的性质得 亚=FG=BG,可证明ABr%DCF(SAS),即可得E=DF,再很 2 质即可证明△ADF是等边三角形，根据等边三角形性质求出∠DAE=∠EAF=30°，再根据30度角的直 EF 角三角形性质即可得AE的值. (3)延长EF交BC于M,连接AM交BF于N,根据折叠性质、结合四边形ABCD是正方形，即可 第25页/供33页 6学科网6组卷网 证明 RIAABM≌RtAAFM(HL),根据全等性质得∠CBF=∠MFB,再根据CF⊥BG,结合余角性质 得∠BCF=∠CFM,根据等角对等边得MF=MC,结合已知条件 Mr=MC=BM=BC=3,设 DE=x 用的代数式表示出 EF EM EC C,在直角三角形MCE中，根据匀股定理列方程，解出 即可得DE的长 【小问1详解】 略。 【小问2详解】 解：如图2， B 图2 连接CF,DF, F BG △BCG 为 的中点， 是直角三角形， CF-BF-FG-1BG .∠FBC=∠FCB」 ,四边形ABCD是正方形， :.CD=AB,∠ABC=∠DCB=90° .∠ABC-∠FBC=∠DCB-∠FCB, 第26页/共33页 6学科网 组卷网 .∠ABF=∠DCF, :.△ABF≌aDCF(SMS) .AF=DF, 根据折叠性质得：AD=AF,∠DAE=∠EAF,∠D=∠AFE=90°， .:AD=AF DF, △ADF是等边三角形， .∠DAF=60°， .∠DAE=∠EAF=30°， EF-2AB EF 1 .AE 2. EF .AE的值为2. 【小问3详解】 解：如图3， D G B M 图3 延长EF交BC于M,连接AM交BF于N,则：∠AFM=90°， 根据折叠性质得：AD=AF,∠DAE=∠EAF,∠D=∠AFE=∠ABM=90° DE=EF, :四边形ABCD是正方形，AB=6, 第27页/供33页 学科网命组卷网 .AD=AB=DC=BC=6,∠ABC=∠DCB=90° AB=AF,AM=AM, :.RIAABM≌RIAFM(HL) ∴.BM=MF, .∠CBF=∠MFB. ·CF1BG .∠CFB=90° .∠BCF+∠CBF=90°，∠CFM+∠MFB=90°. .∠BCF=∠CFM, .MF=MC, .MF=MC=BM. ∴.M是BC的中点， .MF-MC-BM=1BC-3 2 设DE=x,则DE=BF=x.BM=MF+EF=3+xBC=DC-DE=6-x ,则 MCE 在直角三角形 中，根据勾股定理得，MC+EC2=EM2 32+(6-x=(3+°，解得：x=2, .DE=2. .DE的长为2. 【点睛】本题考查正方形性质、折叠性质、勾股定理、30度直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、 等边三角形的判定与性质等知识点，充分理解题意，作出正确的辅助线、灵活运用几何知识是解题的关键. 27.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=a(x-h+k与x轴从左到右依次交于点A,B,与 第28页/供33页 6学科网命组卷网 y轴交于点C,顶点坐标是3,4)，其中B点的坐标为5,0) B 图1 图2 图3 (1)如图1，求抛物线的解析式. (2)如图2，点D在x轴下方的抛物线上，CD交x轴于点E,连接BC、BD,设点D的横坐标为t, △BCD 的面积为S,求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）· (3)如图3，在(2)的条件下，过点B作BF⊥BD,交CD于点F,CF的垂直平分线交y轴于点G, 当S=10时，求GF的长， 【答案】(1)y=(x-3)}2-4 2)S=-5r-25 2(1<1<5) 5 (32 【解析】 【分析】4)根据顶点坐标将抛物线化为y=a(x-3-4,将(5,0)代入求解即可： (2)先求出C0,5),令y=(x-3°-4=0，求出4,0)，根据题意得到D(,-1+51<t<5) 第29页/供33页 6学科网命组卷网 求出直线CD解析式，得到 （60 根据割补法列代数式即可； (3)根据(2)的函数关系式求出t的值，进而求出 4-刃，直线CD解析式为'=-2x+5 设 F(,-2f+5),根据勾服定理得到BP2+BD2=DF2,求出P(2,,设G(0,8),根据垂直平分线的 G02) 性质得到GC2=GF2,根据勾股定理求出 进而计算即可. 【小问1详解】 解：“顶点坐标是(3,4) :抛物线y=a(-h+k可化为抛物线y=a(x-3-4, 将(5,0)代入y=a(x-3)-4得：0=a(5-3-4 解得：a=1, y=(x-3-4: 【小问2详解】 解：令x=0,得y=(0-3-4=5 :C0,) 令y=(x-3}-4=0 解得：=1，龙2=5 A0,0) ,点D在x轴下方的抛物线上，点D的横坐标为t, .D4,-61+5)0<1<5) 第30页/共33页 6学科网列组卷网 C(0,5) ·设直线CD。 解析式为 y=cx+5 将D飞，-61+5）代入得-6+5=e+5, 解得：c=t-6, :y=(t-6)x+5 即直线CD解析式为y=(-6)x+5 令y=(t-6)x+5=0 ts、5 解得： t-6, (6 s=5(265+,6 t-6,t-6 S=SARCE+SRDE =2BE-0-%) 号7若[5--明 15t-25 2t-6 r+ =-15-25u-6)1 2t-6 =-251 第31页/供33页 6学科网列组卷网 =365r2-25d) =-502-251 2, 5-5250<1 2 【小问3详解】 解：当S= 5-25=10时 2 解得：4=46=1 (对应点A,不符合题意舍去)， D4-3) CD 直线 解析式为少-2x+5 设F(/,-2f+5) ,BF⊥BD, .BF2+BD2=DF2, 即(f-5}°+(-2f+5-0+5-4}+[0-(-3]=(f-4}2+[-2+5-(-3], 解得： f=2.则2f+5=1 即F(2,) 设G(0,g). ,CF的垂直平分线交y轴于点G, GC=GFGC2-G2 :(g-5y=(0-22+(g-1 第32页/供33页 命学科网命组卷网 5 解得：8= aa) :r-0-2+旷- 第33页/共33页 哈156中学校2026-2027学年度（上）九年级学情调研 数学学科 温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷会记录你的自信、沉着、智慧和收获！请认真审题，看清要求，仔细答卷，规范书写．祝进步！ 一、单选题（共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 人工智能在个性化学习、高效答疑、拓展学习资源等领域发挥着重要作用．下列4个不同的图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. 千问 C. 豆包 D. 夸克 3. 月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里，384000用科学记数法表示为（       ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（ ） A. 5 B. C. 8 D. 6. 把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰中，，以点为圆心，适当长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），交于点，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点为边上一点，连接，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 10. 如图，平面直角坐标系中等腰的斜边在x轴上，且．将直线从y轴出发向右平移，在该直线左侧的阴影部分的面积记为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共30分） 11. 已知函数 ，则x的取值范围是________ 12. 因式分解：__________． 13. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 14. 不等式组的解集是________． 15. 用火柴按照下图的方法摆正方形（每条边摆1根火柴），照这样，摆15个正方形共需要________根火柴． 16. 一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有___________支队参加比赛． 17. 已知一个直角三角形两直角边长之和为，则这个直角三角形的最大面积为____________． 18. 已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 19. 等腰三角形一边长是3，另两边长是关于x的方程的两个根，则k的值为_______． 20. 如图，在矩形中，，，点G在边上，P为边上动点，线段垂直平分交于E，且．现给出以下四个结论：①；②；③；④的最小值为；其中正确有__________（写出所有正确结论的序号）． 三、解答题（共7题，共60分） 21. 用适当方法解下列方程 （1） （2） 22. 如图所示，在 10×6 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 的端点 A、B 均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以 AB 为一腰的等腰△ABC，点 C 在小正方形顶点上，△ABC 为钝角三角形，且△ABC 的面积为； （2）在图中画出以 AB 为斜边的直角三角形 ABD， 点 D在小正方形的顶点上，且 AD>BD； （3）连接 CD，请你直接写出线段 CD 的长． 23. 哈市某中学为了丰富校园文化生活．校学生会决定举办演讲、歌唱、绘画、舞蹈四项比赛，要求每位学生都参加．且只能参加一项比赛．围绕“你参赛的项目是什么．(只写一项)”的问题，校学生会在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．将调查问卷适当整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图．其中参加舞蹈比赛的人数与参加歌唱比赛的人数之比为1：3．请你根据以上信息回答下列问题： (1)通过计算补全条形统计图； (2)在这次调查中，一共抽取了多少名学生； (3)如果全校有680名学生，请你估计这680名学生中参加演讲比赛的学生有多少名． 24. 在菱形ABCD中，点O是对角线的交点，E点是边CD的中点，点F在BC延长线上，且CF=BC． （1）求证：四边形OCFE是平行四边形； （2）连接DF，如果DF⊥CF，请你写出图中所有的等边三角形． 25. 晨光文具店新进一批足球和篮球，足球的单价比篮球的单价便宜60元，赵老师用600元购买足球的数量与用900元购买篮球的数量相同． （1）请问足球、篮球的单价各是多少元？ （2）赵老师打算再次购买足球、篮球共30个，且购买足球的数量不能超过篮球数量的2倍，设购买a个足球，总花费为W元，求购买多少个足球时，总费用最小，最小费用是多少？ 26. 在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接BF并延长交于点． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若为的中点，求的值； （3）如图3，连接，若，，直接写出的长． 27. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴从左到右依次交于点A、B，与y轴交于点C，顶点坐标是，其中B点的坐标为． （1）如图1，求抛物线的解析式． （2）如图2，点D在x轴下方的抛物线上，交x轴于点E，连接、，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）． （3）如图3，在（2）的条件下，过点B作，交于点F，的垂直平分线交y轴于点G，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $