精品解析：河南省郑州市中原区郑州中学2026-2027学年高二上学期第一阶段学情反馈数学试题

2026-2027学年上期第一阶段学情反馈 高二 数学学科 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与平面法向量的位置关系确定直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：A 2. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线倾斜角求出直线斜率，再由直线方程列出关于m的方程即可求解. 【详解】若直线的倾斜角的大小为，则直线的斜率为， 则，所以直线即直线， 所以，解得. 故选：D 3. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，为中点， 所以，， 故. 故选：B 4. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线垂直求得的值，根据充分条件，必要条件的定义作出判断. 【详解】当时，两条直线分别为与，两条直线互相垂直，反之，由与直线垂直，，解得或，则不能推出，所以”是“直线与直线垂直的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的和差整理得到与的关系式，由四点共面求得系数的值，然后由向量的数量关系求得，代入即可求得结果. 【详解】由，得， 所以． 由四点共面，知，解得． 又，， ∵， ∴ ． 故选：B． 6. 已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可求出直线过定点，作出图象，求出和，数形结合可得或，即可求解. 【详解】由可得：， 由可得，所以直线：过定点， 作出图象如图所示： ，， 若直线与线段相交，则或， 所以实数的取值范围是或， 故选：B 7. 已知正方体，棱长为6，且，若动点满足，则动点的轨迹被正方体表面所截得的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由动点满足，得到点的轨迹是一个以点为球心，为半径的球，通过建系，确定点的坐标为，通过点到各个面的距离，确定球与各平面的公共部分，进而可求解. 【详解】因为动点满足，所以点的轨迹是一个以点为球心，为半径的球，球面上的点满足， 如图1，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系； 则， 所以，所以点的坐标为， 显然点到平面､平面､平面的距离均为； 所以球与平面､平面､平面有公共部分，且与各平面的公共部分面积相同， 点到平面､平面､平面的距离均为； 所以球与平面､平面､平面没有公共部分. 设球面被平面所截得的圆半径为，则，解得. 所以球面被正方体表面所截得的截面是圆心为，半径为的圆的一部分（如图2中阴影部分）， 所以阴影部分的面积为：， 故所求截面的面积， 故选：B. 8. 已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（ ） A. 8 B. 16 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 二、多选题 9. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线AP与所成角的取值范围是 C. 平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于B，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于CD，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出平面与平面所成角的余弦值和直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断. 【详解】对于A，，平面，平面， 所以平面，因为点在线段上运动， 点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，因为，所以异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点时，与所成的角为， 当点位于的中点时，因为平面，， 所以，此时，与所成的角为， 所以异面直线与所成角的取值范围是，故B正确； 对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，， 则，，设平面的法向量， 设平面的法向量， ， 则，即， 令，则，则得， 面与平面所成夹角为， 所以， 因为，，所以，， 所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C错误； 对于D，则，，，，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： ， 当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值， 最大值为，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B. 点(0，2)关于直线y=x+1的对称点为(1，1) C. 过(x1,y1)，(x2,y2)两点的直线方程为 D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为－ 【答案】BD 【解析】 【分析】对选项A，根据直线与两坐标轴的交点即可判断A错误，对选项B，首先设出对称点，再解方程组即可判断B正确，对选项C，根据直线两点式公式即可判断C错误，对选项D，设直线方程为，根据题意得到，再解方程即可判断D正确. 【详解】对选项A，直线，当时，，当时，， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积，故A错误. 对选项B，设关于直线的对称点为， 则，解得，即对称点为，故B正确. 对选项C，当或时，直线方程无意义，故C错误. 对选项D，由题知：直线方程斜率存在，设直线方程为， 直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后， 回到原来的位置，则， 所以，解得，故D正确. 故选：BD 11. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若空间向量，，且，则实数 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 D. 点关于平面对称的点的坐标是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量的对称特征可判定D，利用空间向量平行的充要条件及坐标表示可判定A、B，利用投影向量的概念可判定C. 【详解】对于A，可知，即A正确； 对于B，显然时，恒成立，此时不唯一或者不存在，故B错误； 对于C，向量在向量上的投影向量，故C正确； 对于D，易知点关于平面对称的点的坐标是，故D错误. 故选：AC 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解. 【详解】因为两条直线和都经过点， 所以，， 所以，分别在直线上， 所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即， 故答案为： 13. 如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且（）．则线段的长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合面面垂直的性质定理与线线垂直的性质定理可得，则可设，，结合向量线性运算可得；结合向量模长与数量积的关系，计算可得. 【详解】因为四边形正方形，故，而平面平面， 平面平面，平面，故平面， 而平面，故． 设，则，其中， 由题设可得： ； ，故， 当且仅当即时等号成立，故 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是_________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用对称关系求出点的对称点为，则最小值为之间的距离. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是4， 故答案为：4 四、解答题 15. 在△ABC中，已知M（1，6）是BC边上一点，边AB，AC所在直线的方程分别为． （1）若，求直线BC的方程； （2）若，求直线BC的横截距． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据垂直关系，利用点斜式求解方程； （2）建立方程求出，得出直线BC的方程即可得解. 【详解】（1）由题边AB，AC所在直线的方程分别为． 的交点就是， 若，， 所以直线BC的方程：即； （2）设， 所以解得， 所以 所以直线的方程为，即， 令得， 直线BC的横截距. 16. 设直线的方程为. （1）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （2）若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】（1）； （2）最小值为2，直线的方程为. 【解析】 【分析】（1）由题意得到不等式组，求解即可； （2）表达出三角形面积，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为：不经过第二象限， 则，解得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 因为直线的方程为， 令，得；令，得； 且，则，， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为2，此时直线的方程为. 17. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离； 【答案】（1） 由题意知、分别、中点，则得， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理即可求证； （2）建立空间直角坐标系，然后求出直线的方向向量及平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）利用点到平面距离的向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则， 故线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，点在上，且，点在上，且. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）在第（2）问条件下，线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）由，即△为等腰直角三角形， 又是直角梯形且，且， 所以，因为， 故为等腰直角三角形， 所以，，， 又，， ∴，， 又，即， ∴四边形为平行四边形，则. 又，故， 由底面，面，则. 又， ∴面， 而面， ∴平面平面. （2） （3）在第（2）问条件下，线段上不存在点，使得平面，理由如下： ，是面的一个法向量. 设，则， 从而. 若平面，则，解得，不合题意， 所以线段上不存在点，使得平面. 【解析】 【分析】（1）证明面，由判定定理可得平面与平面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可； （3）设，利用向量法求解即可判断是否存在. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，面，则. ，且平面，所以平面， 所以直线与平面所成角的平面角为， 则，. 如下图，以为原点，､､所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐 标系. ∴，， ∴， 若是面的一个法向量， 则， 令有， 易知，是面的一个法向量， ∴. 又二面角为锐二面角， ∴当直线与平面所成的角为时，二面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，，），且为该平面的法向量． （1）若平面，，且，求实数的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； （3）记集合中所有点构成的几何体为．求的体积V的值； 【答案】（1） （2） （3）16 【解析】 【分析】（1）根据题意可得两个面的法向量，结合向量垂直运算求解； （2）分析可知几何体为正八面体.法1：根据题中公式直接求内切球半径，即可得表面积；法2：利用等体积法求内切球半径，即可得表面积； （3）根据题意分析几何体的结构特征，利用割补法求体积. 【小问1详解】 根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故． 【小问2详解】 不妨设，在平面内取一点，则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为 对于， 当，，时，表示经过，，的平面在第一象限的部分． 由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体． 法1：设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离， 则．所以内切球的表面积为； 法2：考虑； 即为三个坐标平面与围成的四面体，其四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为，由对称性知，正八面体的体积， 设内切球的半径为，正八面体的表面积为， 所以，解得：．所以内切球的表面积为； 【小问3详解】 由（2）可知所围几何体是关于平面，，对称的， 其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中、、两两垂直， 且． 集合所表示的几何图形也关于平面，，对称， 其在第一卦限内的部分的图形如图1， 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果． 所以所构成的几何体如图3所示． 法一：其中正方体记为集合所构成的区域． 而构成了一个正四棱锥，且到面的距离为1，所以， 所以几何体的体积． 法二：从图2可以看出，几何体在第一卦限的部分为有公共底面的两个三棱锥和． 设其体积为．由正方体的性质可知面．因为，， 所以其体积． 所以几何体的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期第一阶段学情反馈 高二 数学学科 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 或 2. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（   ） A. B. C. D. 4. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 已知正方体，棱长为6，且，若动点满足，则动点的轨迹被正方体表面所截得的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（ ） A. 8 B. 16 C. 2 D. 1 二、多选题 9. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线AP与所成角的取值范围是 C. 平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B. 点(0，2)关于直线y=x+1的对称点为(1，1) C. 过(x1,y1)，(x2,y2)两点的直线方程为 D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为－ 11. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若空间向量，，且，则实数 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 D. 点关于平面对称的点的坐标是 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 13. 如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且（）．则线段的长的最小值为________． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是_________. 四、解答题 15. 在△ABC中，已知M（1，6）是BC边上一点，边AB，AC所在直线的方程分别为． （1）若，求直线BC的方程； （2）若，求直线BC的横截距． 16. 设直线的方程为. （1）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （2）若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 17. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离； 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，点在上，且，点在上，且. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）在第（2）问条件下，线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，，），且为该平面的法向量． （1）若平面，，且，求实数的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； （3）记集合中所有点构成的几何体为．求的体积V的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $