精品解析：辽宁省大连市第八中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 可表示为排列数（ ） A. B. C. D. 2. 直线，直线，若，则两直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 已知，为圆的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形面积的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 15 7. 如图，已知圆锥的轴截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，过抛物线（）的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分. 9. 已知焦点在轴上的等轴双曲线（对称中心为坐标原点）的实轴长与圆的半径相等，与圆在第一、二、三、四象限分别交于四点，且，则（　　） A. 的渐近线方程为 B. 的焦距为 C. D. 四边形的面积为 10. 将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（ ） A. 若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案 B. 若每人分得2本，则有90种方案 C. 若三人分得书本数互不相同，则有360种方案 D. 共有450种分配方案 11. 在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数、使得 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分. 12. 已知点到抛物线的准线的距离为，则_____. 13. 如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为__________米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）. 14. 已知双曲线的左右顶点分别为、，点是圆上不同于、两点的一动点，直线与双曲线交于点，若直线斜率的取值范围是，则的斜率的取值范围是_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． （1）甲必须在排头； （2）甲不在排头也不在排尾； （3）甲不在排头，乙不在排尾． 16. 已知双曲线：（）的左顶点为，离心率为3，，是上的两点. （1）求的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程. 17. 已知点，动点在直线上，过且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）已知经过点的直线与交于，两点. ①求，纵坐标的乘积； ②若的面积为，求的斜率. 18. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，. （1）若点为线段的中点， （i）证明：面； （ii）求点与平面间的距离； （2）若点为线段上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 19. 已知椭圆的标准方程为 ，定点，直线l与椭圆交于两点且不过原点． （1）求椭圆的焦点坐标，并且指出椭圆上的任意一点到椭圆右焦点的距离的取值范围（直接写出结果，可以不用证明）； （2）若，求证：直线l经过定点，并求出定点的坐标； （3）若直线的斜率分别为，且 求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 可表示为排列数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据排列数公式计算求解. 【详解】. 故选：A. 2. 直线，直线，若，则两直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式列式计算得解. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以直线与的距离. 故选：C 3. 已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三边长与椭圆相等，先求，再利用勾股定理求出，即可得离心率. 【详解】 由，可得，所以， 又由椭圆定义可知：， 所以， 则，所以， 故离心率为, 故选：C. 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的定义及余弦定理进行求解． 【详解】在椭圆C中，，，所以. 由椭圆的定义，得. 在中，由余弦定理，得. 因为，所以， 即，所以. 所以的面积. 故选：D. 5. 双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线，设双曲线方程为，分和，根据虚轴长求的值. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为即， 故可设双曲线的标准方程为：，. 若，则，由虚轴长，所以双曲线方程为：； 若，则，由虚轴长，所以双曲线方程为：. 故选：D 6. 已知，为圆的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形面积的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理求出弦长，利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】设的中点为，的中点为，连接， 则，且， 而四边形的面积为 ，当且仅当时等号成立， 故四边形的面积的最大值为5, 故选：B. 7. 如图，已知圆锥的轴截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过角度关系求出特定角的大小，然后建立空间直角坐标系，确定各点坐标，进而得到异面直线对应向量的坐标，最后利用向量的夹角公式求出异面直线所成角的余弦值. 【详解】，且，所以， 连接，则平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设圆的半径为，则、、、， ，， 设异面直线与所成的角为， 则：， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A． 8. 已知为坐标原点，过抛物线（）的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，设出直线方程并与抛物线方程联立求出，再利用抛物线定义，结合基本不等式求出最小值. 【详解】抛物线的焦点，设直线的方程为，， 由消去得，则，， 由，得，解得， 抛物线的准线方程为，，， 于是， ，因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分. 9. 已知焦点在轴上的等轴双曲线（对称中心为坐标原点）的实轴长与圆的半径相等，与圆在第一、二、三、四象限分别交于四点，且，则（　　） A. 的渐近线方程为 B. 的焦距为 C. D. 四边形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等轴双曲线可判断A，利用方程组结合已知的线段长可求参数，从而可判断B，再通过计算交点坐标和长度可判断CD． 【详解】 由等轴双曲线，可知渐近线方程为，故A正确； 由等轴双曲线方程可化为：， 以实轴长为半径的圆方程：， 两方程消去可得：， 因为，所以，即， 则的焦距为,故B错误； 由等轴双曲线方程可化为：， 以实轴长为半径的圆方程：， 两方程消去可得：， 因为，所以，即，故C正确； 根据双曲线和圆的中心对称性和轴对称性，可知四边形是矩形， 即其面积为，故D正确； 故选:ACD 10. 将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（ ） A. 若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案 B. 若每人分得2本，则有90种方案 C. 若三人分得书本数互不相同，则有360种方案 D. 共有450种分配方案 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用分组分配问题的解法即可得解. 【详解】对于A，甲1本､乙2本､丙3本，方案数为，故A正确； 对于B，每人2本，方案数为，故B正确； 对于C，书本数互不相同（即1，2，3），所以方案数为，故C正确； 对于D，分三类：第一类，每人2本，方案数为90种；第二类，一人1本，一人2本，一人3本，方案数为360种； 第三类，一人4本，另外两人各1本，方案数为， 故总的分配方案数为种，故D错误. 故选：ABC. 11. 在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数、使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，计算的值即可判断；对于B，计算的值即可判断；对于C，等体积法即可计算求解；对于D，由计算求出即可得解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则 对于A：因为,故与不垂直，故A错误； 对于B：， ， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：, 若存在实数使得，则， 即，解得，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分. 12. 已知点到抛物线的准线的距离为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题知的准线为直线，再根据距离公式求解即可. 【详解】由题意得的准线为直线， 所以点到抛物线的准线的距离为：，解得. 所以. 故答案为： 13. 如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为__________米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）. 【答案】或2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律，结合异面直线夹角的意义求解. 【详解】依题意，，而，， 由AB，CD所在直线所成角为60°，得或， 所以 ， 当时，；当时，. 故答案为：或2 14. 已知双曲线的左右顶点分别为、，点是圆上不同于、两点的一动点，直线与双曲线交于点，若直线斜率的取值范围是，则的斜率的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，由已知求得，再由圆的性质得，所以．由此可求得答案. 【详解】由题可知，，设，则，， 所以．因为，所以，即① 因为点在圆上，所以，所以．②又， 结合①②可知，．因为， 所以． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． （1）甲必须在排头； （2）甲不在排头也不在排尾； （3）甲不在排头，乙不在排尾． 【答案】（1）120 （2）480 （3）504 【解析】 【分析】（1）甲必须在排头，其他人全排即可； （2）方法一：甲不在排头也不在排尾，甲有种排法，其他全排即可；方法二：先排排头和排尾，其他全排即可； （3）分甲在排尾和甲不在排尾进行讨论排列即可. 【小问1详解】 先排甲，有1种排法，再排其他5人，有种排法，所以共有（种）排法． 【小问2详解】 方法一：特殊元素法：先排甲，有种排法，再排其他5人，有种排法， 所以共有（种）排法． 方法二：特殊位置法：先排排头和排尾，有种排法，再排其他4个位置，有种排法， 所以共有（种）排法． 【小问3详解】 对甲进行分类，第一类，甲在排尾，有（种）排法； 第二类，甲不在排尾，有（种）排法， 所以共有（种）排法． 16. 已知双曲线：（）的左顶点为，离心率为3，，是上的两点. （1）求的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案. 【小问1详解】 因为，，得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设，，由题， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，消去，得， ，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. 17. 已知点，动点在直线上，过且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）已知经过点的直线与交于，两点. ①求，纵坐标的乘积； ②若的面积为，求的斜率. 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义求抛物线方程即可； （2）①设，，，联立抛物线并应用韦达定理求，纵坐标的乘积；②利用三角形面积公式列方程求参数，即可得斜率. 【小问1详解】 由题意，得到的距离等于到直线的距离， 所以是以为焦点，直线为准线的抛物线，故的方程为； 【小问2详解】 ①易得的斜率不为0，设，，， 由，得，得，故，纵坐标的乘积为. ②由， 所以，则，故的斜率为. 18. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，. （1）若点为线段的中点， （i）证明：面； （ii）求点与平面间的距离； （2）若点为线段上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）取的中点，通过证明四边形是平行四边形可得，由此证明线面平行；（ii）建立合适空间直角坐标系，利用向量法求解出点与平面间的距离； （2）设，利用向量法求解出的最大值即可求解出的值，从而可求得三棱锥的高和底面积，则三棱锥的体积可求. 【小问1详解】 （i）证明：如图，取的中点，连接， 因为为的中点，所以，且， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以，且平面，平面， 所以平面； （ii）取中点，连接， 因为，所以， 因为， 所以四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 在平面内作直线的垂线， 则平面，有，， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以平面，因为平面，所以， 由，，知， 由，可得， 从而，所以， 设平面的一个法向量为， 由，取，则，，所以， 因为面，所以到平面的距离即为直线与平面间的距离， 又，所以到平面的距离， 所以直线与平面间的距离为. 【小问2详解】 由条件知，设， 所以， 取平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 所以， 当时，； 当时，， 当时，有最大值，此时， 所以到平面的距离为，且， 所以三棱锥的体积为. 19. 已知椭圆的标准方程为 ，定点，直线l与椭圆交于两点且不过原点． （1）求椭圆的焦点坐标，并且指出椭圆上的任意一点到椭圆右焦点的距离的取值范围（直接写出结果，可以不用证明）； （2）若，求证：直线l经过定点，并求出定点的坐标； （3）若直线的斜率分别为，且 求面积的取值范围． 【答案】（1），；范围为； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的标准方程求出，从而得出焦点坐标，利用椭圆的几何性质得出椭圆上的任意一点到椭圆右焦点的距离的取值范围； （2）根据题意设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合垂直关系构造方程，从而求出定点坐标； （3）根据题意设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合斜率关系构造方程，求出斜率及相关参数取值范围，利用面积公式构造函数，从而求出面积取值范围． 【小问1详解】 椭圆方程为， ， ，则， 焦点坐标为， 椭圆的长半轴为， 椭圆上的任意一点到椭圆右焦点的距离． 【小问2详解】 直线l与椭圆交于两点且不过原点，设直线的方程为， 联立椭圆方程得， 设点， ， ，， ， 即，整理得， 即， 若，则直线方程为，过点，与与不重合矛盾，舍去； 若，则直线方程为，过定点． 【小问3详解】 直线l与椭圆交于两点且不过原点，设直线的方程为， 联立椭圆方程得， ， 设点， ， ，是上的点， ，， ， ， ， ， ， ，化简得，解得， ， ， ， ， ， 直线不过原点， ， ， 令，则， 当，即时在坐标轴上，不合题设， 当时，，当或2时，， 面积的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $