精品解析：湖南衡阳市成章实验中学2026-2027学年九年级上学期10月考试数学试题

2026年下期第一次阶段检测九年级数学试题 注意：考试时量为120分钟 总分120分 同学们：精心作答，慎思笃行，笔底耕耘，终有收获． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式满足：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母；结合这两点逐项验证即可得到答案． 【详解】解：不是最简二次根式；是最简二次根式；，不是最简二次根式；中被开方数有分母，不是最简二次根式． 2. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，4，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 【答案】B 【解析】 【分析】根据成比例线段的性质依次判断即可 【详解】解：A、，故不是成比例线段； B、，是成比例线段； C、，故不是成比例线段； D、，故不是成比例线段． 3. 若是关于x的一元二次方程的解，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，列出关于a的方程，通过解方程可以求得a的值． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的解， ， 解得：． 故选：A． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】配方时，方程两边需要加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： ． 5. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断或者解方程即可． 【详解】解：A、，，故该方程有实数根； B、，，故该方程没有实数根； C、，或，解得，故该方程有实数根； D、，解得，故该方程有实数根． 6. 如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为平方米，求x的值．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，要求学生能根据题意的数量关系建立等式，同时考查了学生的阅读能力和理解能力．根据题意表示出种草部分的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：把小路平移后，如图所示， 设小路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为， 由题意建立等量关系得： 故选：D 7. 嘉嘉依据从网上找的花架图片（图1）设计了如图2的花架简易图，已知，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，代入相关数据即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. 如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，，由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； B、，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与相似，符合题意； C、，，且，由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； D、由，，可得出，不符合题意． 9. 如图，在中，，于点D，若，，则线段的长为（ ） A. 36 B. 13 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质．首先证，然后根据相似三角形的对应边成比例求出的长． 【详解】解：中，，， ， 又于， ， ， ， ， ． 故选：D． 10. 如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（ ）s后，与相似． A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．设经过秒后两三角形相似，分两种情况分别计算，①若，得，②若，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】解：设经过秒后与相似， ∵， 若， 则需， ， 解得； ， 则需， ， 解得， 经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 已知一元二次方程的两根为，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由根与系数关系可得， ∴． 13. 如图，小明利用投影仪将一张长为、宽为的矩形图片放大，放大后的矩形图片的长为，则放大后的矩形图片的宽为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似多边形的对应边成比例，列比例式即可求放大后的宽． 【详解】解：设放大后的宽为， 放大前后的两个矩形相似， ， 解得：， 放大后的宽是． 14. 已知的三边长分别为整数a，b，c，且满足，则的最大周长为____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，三角形的三边关系定理以及推论，即任意两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．首先由非负数的性质结合已知条件可得a、b的值；接下来由三角形三边关系可得c的范围，由c为整数可得c的最大值；最后利用周长公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵a、b、c为的三边长， ∴． ∵c为整数， ∴c的最大值为4， ∴的最大周长为． 故答案为：9． 15. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】运用换元法求解，设，则，原方程可化为，再由因式分解法求解即可． 【详解】解：设，则 原方程可化为： 整理得， 或 ∴（舍去）， ∴的值为． 16. 黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感．课本第58页这样定义“黄金分割点”：将一条线段分成两段线段和（），使得，则点P为线段的黄金分割点，．如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线交于原点，且．若反比例函数的图象与菱形的边分别交于点E，F（E在F的左侧），且E，F是的两个黄金分割点，（1）______．（2）菱形的面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，结合图形即可求解； （2）过点E作轴于点H，轴于点G，根据矩形的判定得出四边形为矩形，轴，确定，设，则，再由相似三角形的判定和性质得出，结合图形得出，确定，然后求菱形的面积代入求解即可． 【详解】解：（1）∵E，F是的两个黄金分割点，且， ∴， ∴； （2）过点E作轴于点H，轴于点G，如图所示： ∴， ∴四边形为矩形， ∴轴， ∴， ∵，菱形， ∴， ∴， 设，则， ∵轴， ∴， 由（1）得， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与菱形的边分别交于点E，F， ∴，整理得：， ∵菱形的面积为： ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解法将原方程化为，再根据或可得解． 【详解】解：， 因式分解，得， 则或， ∴． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）当时，求另一个根及m的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可； （2）根据题意利用根与系数的关系得出，即可确定，再确定，即可求解． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 20. 如图，在和中，，平分． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC． ∵∠B＝∠ACD＝90°， ∴△ABC∽△ACD． （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠BAC＝∠DAC，再根据∠B＝∠ACD＝90°，即可得证△ABC∽△ACD． （2）用勾股定理求得，再根据△ABC∽△ACD，可得，代入即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在Rt△ABC中，∠B＝90°， ∵AB＝4，AC＝5， ∴． ∵△ABC∽△ACD， ∴． ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的问题，解题的关键是掌握相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理、角平分线的性质． 21. 已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“平衡数”． （1）与是关于的“平衡数”，则是______，表示的值的点落在数轴上的位置位于______．（填序号） （2）与______是关于的“平衡数”； （3）若，，判断与是否为关于某数的一组“平衡数”，如果是，请说明理由并求出的值． 【答案】（1），③ （2） （3）与是关于的一组“平衡数”，理由如下： ∵，， ∴， ∴与是关于的一组“平衡数”． 【解析】 【分析】（1）根据“平衡数”的定义列方程求解； （2）根据“平衡数”的定义列方程求解； （3）根据二次根式的运算法则计算出，再根据“平衡数”的定义判断． 【小问1详解】 解：∵与是关于的“平衡数”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴表示的值的点落在数轴上的位置位于③； 【小问2详解】 解：设与是关于的“平衡数”， ∴， ∴， 即与是关于的“平衡数”； 【小问3详解】 略 22. 根据以下素材，探索并完成任务． 素材1 泥塑艺术是我国一种传统而常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，5月份制作泥塑500件，同年7月份制作泥塑720件． 素材2 泥塑的制作成本为20元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为450件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少15件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到9240元，而且尽可能让顾客得到实惠，则每件泥塑的售价应定为多少元？ 【答案】（1）该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为；（2）每件泥塑的售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出一元二次方程，是解题的关键： （1）设该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为，根据5月份制作泥塑500件，同年7月份制作泥塑720件，列出方程进行求解即可； （2）设每件泥塑的售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）设该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得或（舍去）； 答：该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为； （2）设每件泥塑的售价应定为元，由题意，得：， 解得或； ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：每件泥塑的售价应定为元． 23. 新定义：关于x的一元二次方程与互为“沉潜方程”． （1）根据上述定义，以下三组方程互为“沉潜方程”的是______（写序号） ①与；②与；③与． （2）若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“沉潜方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． （3）若关于x的一元二次方程的“沉潜方程”有两个不相等实数根，，且，求m的取值范围． 【答案】（1）①③ （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）①两实数根相等情况下，根的判别式，利用求解后，将的值代入检验即可． ②将的值代入中，求解的根即可． （3）先求出“沉潜方程”为，根据沉潜方程”有两个不相等实数根，，得到，解得且，由于，得到，那么，再由一元二次方程根与系数的关系建立不等式求解． 【小问1详解】 解：由题意得，互为“沉潜方程”的两个一元二次方程满足相同，相反，相同， 故①③符合题意； 【小问2详解】 解：关于的一元二次方程的两实数根， ， 由于 ； 则， ， 解得，． 时，，不符合题意，故舍去； 将代入原方程，得 ， 此时方程成立， 故的值为． ②解：将代入，得 ， 整理，得， 解得， ∴关于的一元二次方程的根 由题意，得：， 将代入，得 ， 整理，得， 解得， 用判别式验算，， 为的解， 则关于的一元二次方程的根 ． ∴； 【小问3详解】 解：将方程整理得，， ∴“沉潜方程”为 ∵沉潜方程”有两个不相等实数根，， ∴ 解得且 ∵ ∴ ∴ ∴ 对于方程可得， ∴ 整理得，， ∴ ∴ 解得 ∴ 而且 ∴m的取值范围是． 24. 【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第62页的部分内容： 平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似． 例1．如图1，在中，D是边上靠近A的三等分点，，，求的长． 解：∵． ∴（平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似） ∴， ∴． 【应用】 （1）如图2，在正方形中，E是边上一点，，O是与的交点，，求正方形的边长． （2）如图3，在中，D是边上的点，E为边的三等分点，连接、交于点F，，求的值． 【拓展迁移】 （3）如图④，在四边形中，，，，，点E在边上，F为的中点，连接，相交于点P．若，请直接写出的长． 【答案】（1）6 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明，得到，，即可求出正方形的边长； （2）过点E作，交于点G，可知，，得到，，可知，分两种情况讨论即可； （3）过点C作于点G，作于点H，过点F作交的延长线于点M，延长，交的延长线于点Q，证明四边形为矩形，求出．证明，得出，，求出，证明，求出，，证，求出．过点A作，交的延长线于点N，则四边形为矩形，则，，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵正方形中， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， 即正方形边长为6； 【小问2详解】 解：如图，过点E作，交于点G． ∴，， ∴，， ∴， ∴． 若， 则， 即， ∴， ∴； 若， 则， 即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点C作于点G，作于点H，过点F作交的延长线于点M，延长，交的延长线于点Q，如图， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 过点A作，交的延长线于点N，则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下期第一次阶段检测九年级数学试题 注意：考试时量为120分钟 总分120分 同学们：精心作答，慎思笃行，笔底耕耘，终有收获． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，4，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 3. 若是关于x的一元二次方程的解，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为平方米，求x的值．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 嘉嘉依据从网上找的花架图片（图1）设计了如图2的花架简易图，已知，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，于点D，若，，则线段的长为（ ） A. 36 B. 13 C. 5 D. 6 10. 如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（ ）s后，与相似． A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 已知一元二次方程的两根为，，则______． 13. 如图，小明利用投影仪将一张长为、宽为的矩形图片放大，放大后的矩形图片的长为，则放大后的矩形图片的宽为______． 14. 已知的三边长分别为整数a，b，c，且满足，则的最大周长为____． 15. 已知，则的值为______． 16. 黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感．课本第58页这样定义“黄金分割点”：将一条线段分成两段线段和（），使得，则点P为线段的黄金分割点，．如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线交于原点，且．若反比例函数的图象与菱形的边分别交于点E，F（E在F的左侧），且E，F是的两个黄金分割点，（1）______．（2）菱形的面积为______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： 18. 解方程： 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）当时，求另一个根及m的值． 20. 如图，在和中，，平分． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“平衡数”． （1）与是关于的“平衡数”，则是______，表示的值的点落在数轴上的位置位于______．（填序号） （2）与______是关于的“平衡数”； （3）若，，判断与是否为关于某数的一组“平衡数”，如果是，请说明理由并求出的值． 22. 根据以下素材，探索并完成任务． 素材1 泥塑艺术是我国一种传统而常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，5月份制作泥塑500件，同年7月份制作泥塑720件． 素材2 泥塑的制作成本为20元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为450件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少15件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到9240元，而且尽可能让顾客得到实惠，则每件泥塑的售价应定为多少元？ 23. 新定义：关于x的一元二次方程与互为“沉潜方程”． （1）根据上述定义，以下三组方程互为“沉潜方程”的是______（写序号） ①与；②与；③与． （2）若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“沉潜方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． （3）若关于x的一元二次方程的“沉潜方程”有两个不相等实数根，，且，求m的取值范围． 24. 【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第62页的部分内容： 平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似． 例1．如图1，在中，D是边上靠近A的三等分点，，，求的长． 解：∵． ∴（平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似） ∴， ∴． 【应用】 （1）如图2，在正方形中，E是边上一点，，O是与的交点，，求正方形的边长． （2）如图3，在中，D是边上的点，E为边的三等分点，连接、交于点F，，求的值． 【拓展迁移】 （3）如图④，在四边形中，，，，，点E在边上，F为的中点，连接，相交于点P．若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $