精品解析：山东淄博市张店区 重庆路中学2026-2027学年八年级上学期 数学阶段性测试 （2026.10）

张店区重庆路中学2026-2027.1自主学习成果展示 初三数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式的值为0，则x的值为 D. 分式是最简分式 4. 下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 8. 已知，，，则的值为（ ） A. 与a值有关 B. 4 C. 8 D. 16 9. 已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（ ） A. 17是和谐数 B. （，是整数）不一定是和谐数 C. 如果，都是和谐数（），则也是“和谐数” D. 当时，（，是整数）是“和谐数” 二、填空题（共5小题） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_________________． 12. 分式与的最简公分母是______． 13. 若可以用完全平方式来分解因式，则的值为________． 14. 若关于的不等式组有解且仅有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的值的和为__________． 15. 对于正数x，规定，例如：，，求______． 三、解答题（共8小题） 16. 因式分解 （1） （2） 17. 解分式方程： （1）； （2）． 18. 先化简：，再选一个你喜欢的数字求值． 19. 阅读下列材料：提公因式法、公式法是我们熟悉的因式分解的基本方法，而对于四项及四项以上较复杂的多项式，往往不能直接利用提公因式法、公式法将其进行因式分解．于是我们常常将这样较复杂的多项式用括号分成两个或两个以上的多项式组，从而将其转化为能利用提公因式法或公式法进行因式分解的形式．例如，因式分解：． 解：原式． 请利用上面因式分解的思路，解答下列问题： （1）因式分解：； （2）若，且，求的值； （3）已知的三边长a、b、c满足条件：，判断的形状，并说明理由． 20. 某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：．这种变形方法叫做“分离常数法”． （1）将分式分离常数，则，那么______； （2）利用分离常数法，当分式的值为正整数时，满足条件的整数x的值为______． （3）请对分式（其中n为常数）进行分离常数法变形为______，若关于x的分式方程无解，请写出求n的值的过程． 21. 【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如：要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法，这时，我们可以采用下面的办法： ． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解； （2）【实战演练】用配方法因式分解；并直接写出使成立的x的值． （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 22. 【问题探究】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【知识生成】我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解．例如：由图1可以得到．请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的多项式的因式分解为______． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则______． 【知识迁移】 （4）图4中某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a、b均为整数，请分别求出a、b的长． （5）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式．图5表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请根据图5中图形的变化关系，写出一个数学公式______． 23. 【阅读材料】例如：因式分解．解：将“”看成整体．令，则原式．再将“A”还原，原式． 又例如，计算时，若把与分别看作一个整体．再利用乘法分配律进行计算．可以大大简化难度，过程如下： 解：令，，则原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）证明：若n为正整数，则的值一定是某个整数的平方． （3）计算：； （4）计算：（且n为整数）； （5）计算：______． 【创新探究】 （6）设x，y，z为非零实数， 若满足，，，则______； 若满足，，，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张店区重庆路中学2026-2027.1自主学习成果展示 初三数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的定义． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式．选项A是整式乘法，选项B右边不是积的形式，选项C等式不成立，选项D符合定义． 【详解】解：∵ 因式分解要求左边是多项式，右边是整式的积， 选项A: 是从积到多项式，是乘法运算，不是因式分解； 选项B: 右边不是积的形式； 选项C: 但左边 ，右边 ，两者不相等，故错误； 选项D: 右边是积的形式，且等式成立； 故选：D． 2. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一个多项式各项的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，据此求解即可． 【详解】解：∵多项式的各项系数为，最大公约数是2， 各项均含字母与，的最低次数为1，的最低次数为1， ∴该多项式的公因式为． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式的值为0，则x的值为 D. 分式是最简分式 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，分式的性质，分式的值为0的条件，最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式，逐项分析判断即可 【详解】A. 代数式不是分式，故该选项不正确，不符合题意； B. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值扩大3倍，故该选项不正确，不符合题意； C. 分式的值为0，则x的值为，故该选项不正确，不符合题意； D. 分式是最简分式，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的定义，分式的性质，分式的值为0的条件，最简分式的定义，掌握以上知识是解题的关键． 4. 下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．能用平方差公式分解的式子的特点是：二个项，且两项的符号相反，据此逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，不符合平方差公式的特点，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选C． 5. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断． 【详解】解：A、原变形错误，故本选项不符合题意； B、原变形错误，故本选项不符合题意； C、原变形错误，故本选项不符合题意； D、原变形正确，故本选项符合题意． 故选：D． 6. 某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，结合时间等于路程除以速度，列出方程即可． 【详解】解：设自行车的速度为，则汽车的速度为，，由题意，得： ； 故选D． 7. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 【答案】D 【解析】 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 8. 已知，，，则的值为（ ） A. 与a值有关 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】所求代数式可变形为，通过两已知等式作差消去，求出的值后代入计算． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∵. ∴. ∴. ∴． 9. 已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 10. 定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（ ） A. 17是和谐数 B. （，是整数）不一定是和谐数 C. 如果，都是和谐数（），则也是“和谐数” D. 当时，（，是整数）是“和谐数” 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．根据“和谐数”的定义，利用完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A.，  17是和谐数，故该说法正确，不符合题意； B. ， （是整数）一定是和谐数，故该说法错误，符合题意； C.  ， 都是“和谐数”，设， 原式 ， 也是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意； D.， ， 当时，（是整数）是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意． 故选：B． 二、填空题（共5小题） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 根据分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：分式有意义， ， 解得，． 故答案为：． 12. 分式与的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据找最简公分母的规则，先求分母系数的最小公倍数，再对各字母取最高次幂，相乘即可得到结果． 【详解】解：两个分式的分母分别为和， 首先求系数的最小公倍数，和的最小公倍数是， 再对各字母取最高次幂： 对于字母，两个分母中的最高次数是，取； 对于字母，两个分母中的最高次数是，取； 将结果相乘，得到最简公分母为． 13. 若可以用完全平方式来分解因式，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央． 根据完全平方式的特点作答即可． 【详解】解：∵即可以用完全平方式来分解因式， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 若关于的不等式组有解且仅有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的值的和为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】先求得每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组的解集得到a的不等式，进而可求得a的取值范围；再解分式方程，再根据分式方程的解，以及a的取值条件可得到a的取值，进而求和即可解答． 【详解】解：解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∵原不等式组有解且仅有两个偶数解， ∴这两个偶数解为，0， ∴， 解得：， 原分式方程去分母得：， 解得：， ∵原分式方程的解为非负数， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵a为整数， ∴或5或7或8， 则． 15. 对于正数x，规定，例如：，，求______． 【答案】 【解析】 【分析】先推导得到的定值，再对原式分组计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， 将原式分组得：， 上式共有组和为的配对， 因此：原式． 三、解答题（共8小题） 16. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）提公因式即可分解因式； （2）先处理符号问题得到，再提公因式，结合整式运算即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 原分式方程无解 【解析】 【小问1详解】 解：， 两边同乘以，得， 整理，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：， 两边同乘以，得， 整理，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 18. 先化简：，再选一个你喜欢的数字求值． 【答案】 化简结果为，取时，原式 【解析】 【分析】先分解因式约分，再对括号内部分通分化简，合并得到最简结果，选取使原式分母不为0的代入计算． 【详解】解： 原式 ，   取，满足， 代入得原式． 19. 阅读下列材料：提公因式法、公式法是我们熟悉的因式分解的基本方法，而对于四项及四项以上较复杂的多项式，往往不能直接利用提公因式法、公式法将其进行因式分解．于是我们常常将这样较复杂的多项式用括号分成两个或两个以上的多项式组，从而将其转化为能利用提公因式法或公式法进行因式分解的形式．例如，因式分解：． 解：原式． 请利用上面因式分解的思路，解答下列问题： （1）因式分解：； （2）若，且，求的值； （3）已知的三边长a、b、c满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是等腰三角形或直角三角形， 理由如下：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的三边长， ∴， ∴， ∴ 或 ， 即或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 【解析】 【分析】（1）分成两组先分解因式，再提取公因式即可； （2）分成两组先分解因式，再提取公因式，再代入即可求值； （3）原式因式分解得到，推出或，即可得到为等腰三角形或直角三角形． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． ． ， ． ； 【小问3详解】 略 20. 某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：．这种变形方法叫做“分离常数法”． （1）将分式分离常数，则，那么______； （2）利用分离常数法，当分式的值为正整数时，满足条件的整数x的值为______． （3）请对分式（其中n为常数）进行分离常数法变形为______，若关于x的分式方程无解，请写出求n的值的过程． 【答案】（1）2 （2） （3），的值为1或 【解析】 【分析】（1）将分子变形为，通过比较常数项求即可； （2）对分式进行分离常数，得到，令其值为正整数，结合分母不为零且分式值为整数的条件，求整数． （3）先利用分离常数法对变形；解分式方程时，先统一分母，去括号整理得到整式方程．分式方程无解包含两类情况：①化简后的整式方程无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（使分母，即），分别代入求出． 【小问1详解】 解：由， 得， ， ∴． 【小问2详解】 解：对分式进行分离常数：分子， ∴． 设分式的值为正整数，则，即． 由于为正整数，， ∴，即． ∵为整数， ∴为整数． 又∵为整数且， ∴只能为． 当时，，分式值为，为正整数． 因此满足条件的整数的值为． 【小问3详解】 解：， ， ， 原分式方程无解，分两种情况： ∴①当整式方程无解时， ， 解得； ②当整式方程有解，但解为分式方程的增根时， 分式方程增根满足：， ． 把代入，得 ， 解得． 综上，的值为1或． 21. 【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如：要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法，这时，我们可以采用下面的办法： ． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解； （2）【实战演练】用配方法因式分解；并直接写出使成立的x的值． （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）解： ； （2）因式分解结果为；使成立的的值为或 （3）当，时，多项式有最小值，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式继续分解因式即可； （2）先将二次三项式转化为完全平方减常数的形式，再用平方差公式因式分解；令多项式值为0可求得对应x的值； （3）将多项式中含x、y的项分别配方为完全平方的形式，利用平方的非负性确定最小值及对应x、y的取值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴当时，， ∴由乘法运算法则可得或， 解方程得， 解方程得， ∴使成立的x的值为或； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴，当且仅当时取得等号， ∴当，，即时，原式取得最小值5． 22. 【问题探究】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【知识生成】我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解．例如：由图1可以得到．请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的多项式的因式分解为______． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则______． 【知识迁移】 （4）图4中某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a、b均为整数，请分别求出a、b的长． （5）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式．图5表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请根据图5中图形的变化关系，写出一个数学公式______． 【答案】（1） （2）36 （3） （4） （5） 【解析】 【分析】（1）图2是边长为的大正方形，从整体与分割后各小块面积相等，得到三数和的完全平方公式即可； （2）直接利用第(1)问的完全平方变形公式，把、整体代入，求出平方和即可； （3）先把多项式乘积展开，对比各项系数，得到纸片数量，再求和即可； （4）先根据图形写出长方形面积表达式；是正整数，列出45的正因数对，解方程组，舍去负数解即可； （5）分析从体积不变，左边是原正方体挖去一小块后的体积，右边是重新拼成的长方体体积，即可解答. 【小问1详解】 解：大正方形边长为，整体面积为， 分割面积和为， ； 【小问2详解】 解：由(1)得：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解： ， ； 【小问4详解】 解：由图4，长方形长：，宽：， ， 为正整数，，且都是正整数，都是45的因数， ， ∴①， 解得（边长不能负，舍去） ②， 解得（边长不能负，舍去） ③， 解得，符合条件． 综上所述，； 【小问5详解】 解：原正方体体积：，挖去小长方体体积：，剩余体积， 重组后的新长方体：长，宽，高，体积， ． 23. 【阅读材料】例如：因式分解．解：将“”看成整体．令，则原式．再将“A”还原，原式． 又例如，计算时，若把与分别看作一个整体．再利用乘法分配律进行计算．可以大大简化难度，过程如下： 解：令，，则原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）证明：若n为正整数，则的值一定是某个整数的平方． （3）计算：； （4）计算：（且n为整数）； （5）计算：______． 【创新探究】 （6）设x，y，z为非零实数， 若满足，，，则______； 若满足，，，则______． 【答案】（1） （2）证明： ， 令，则原式 ， 再将“D”还原，原式， ∵n为正整数， ∴都是正整数， ∴一定是正整数， ∴的值一定是某个整数的平方； （3） （4） （5） （6）； 【解析】 【分析】（1）仿照例题分解因式即可； （2）利用多项式乘以多项式的运算法则计算所给多项式的前两项，再仿照例题分解因式即可； （3）仿照例题求解即可； （4）仿照例题求解即可； （5）把分子提取公因数，把分母提取公因数进行分解因式，然后约分即可； （6）对于第一空，把三个分式通分推出，再代入求值即可；对于第二空，把三个分式求倒数推出，，，再把三个式子左右两边相加得到，利用完全平方公式分解因式得到，根据非负数的性质求出x、y、z的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设，则原式 ， 再将“C”还原，原式 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：令， 则原式 ； 【小问4详解】 解：令， 则原式 ； 【小问5详解】 解： ； 【小问6详解】 解：当，，时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 若，，， 则，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（已检验，都是各自方程的解）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $