山东淄博市张店区 重庆路中学2026-2027学年八年级上学期 数学阶段性测试 （2026.10）

张店区重庆路中学2026-2027.1自主学习成果展示 初三数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式的值为0，则x的值为 D. 分式是最简分式 4. 下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 8. 已知，，，则的值为（ ） A. 与a值有关 B. 4 C. 8 D. 16 9. 已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（ ） A. 17是和谐数 B. （，是整数）不一定是和谐数 C. 如果，都是和谐数（），则也是“和谐数” D. 当时，（，是整数）是“和谐数” 二、填空题（共5小题） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_________________． 12. 分式与的最简公分母是______． 13. 若可以用完全平方式来分解因式，则的值为________． 14. 若关于的不等式组有解且仅有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的值的和为__________． 15. 对于正数x，规定，例如：，，求______． 三、解答题（共8小题） 16. 因式分解 （1） （2） 17. 解分式方程： （1）； （2）． 18. 先化简：，再选一个你喜欢的数字求值． 19. 阅读下列材料：提公因式法、公式法是我们熟悉的因式分解的基本方法，而对于四项及四项以上较复杂的多项式，往往不能直接利用提公因式法、公式法将其进行因式分解．于是我们常常将这样较复杂的多项式用括号分成两个或两个以上的多项式组，从而将其转化为能利用提公因式法或公式法进行因式分解的形式．例如，因式分解：． 解：原式． 请利用上面因式分解的思路，解答下列问题： （1）因式分解：； （2）若，且，求的值； （3）已知的三边长a、b、c满足条件：，判断的形状，并说明理由． 20. 某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：．这种变形方法叫做“分离常数法”． （1）将分式分离常数，则，那么______； （2）利用分离常数法，当分式的值为正整数时，满足条件的整数x的值为______． （3）请对分式（其中n为常数）进行分离常数法变形为______，若关于x的分式方程无解，请写出求n的值的过程． 21. 【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如：要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法，这时，我们可以采用下面的办法： ． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解； （2）【实战演练】用配方法因式分解；并直接写出使成立的x的值． （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 22. 【问题探究】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【知识生成】我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解．例如：由图1可以得到．请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的多项式的因式分解为______． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则______． 【知识迁移】 （4）图4中某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a、b均为整数，请分别求出a、b的长． （5）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式．图5表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请根据图5中图形的变化关系，写出一个数学公式______． 23. 【阅读材料】例如：因式分解．解：将“”看成整体．令，则原式．再将“A”还原，原式． 又例如，计算时，若把与分别看作一个整体．再利用乘法分配律进行计算．可以大大简化难度，过程如下： 解：令，，则原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）证明：若n为正整数，则的值一定是某个整数的平方． （3）计算：； （4）计算：（且n为整数）； （5）计算：______． 【创新探究】 （6）设x，y，z为非零实数， 若满足，，，则______； 若满足，，，则______． 张店区重庆路中学2026-2027.1自主学习成果展示 初三数学试题 一、选择题（共10小题） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（共5小题） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】24 【15题答案】 【答案】 三、解答题（共8小题） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 原分式方程无解 【18题答案】 【答案】 化简结果为，取时，原式 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）是等腰三角形或直角三角形， 理由如下：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的三边长， ∴， ∴， ∴ 或 ， 即或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 【20题答案】 【答案】（1）2 （2） （3），的值为1或 【21题答案】 【答案】（1）解： ； （2）因式分解结果为；使成立的的值为或 （3）当，时，多项式有最小值，最小值为 【22题答案】 【答案】（1） （2）36 （3） （4） （5） 【23题答案】 【答案】（1） （2）证明： ， 令，则原式 ， 再将“D”还原，原式， ∵n为正整数， ∴都是正整数， ∴一定是正整数， ∴的值一定是某个整数的平方； （3） （4） （5） （6）； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $