精品解析：天津市第四中学2026-2027学年高一上学期阶段性练习（一）数学试卷

天津四中2026级高一年级第一学期阶段性练习（一） 一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则 A. B. C. D. 2. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的个数是（ ） ①若，则； ②若，且，则； ③若，且，则. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本已知购买m台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备（ ） A. 100台 B. 200台 C. 300台 D. 400台 6. 已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（ ） A. 36 B. 4 C. 16 D. 9 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 设集合，，则___. 11. 设集合，则集合的真子集个数为__________． 12. 已知，则的取值范围是__________. 13. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________． 14. 关于的不等式的解集为，则的最小值为 __． 15. 设且恒成立，则的取值范围是__________． 三、解答题：本题共5小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知集合，，.求： （1）集合； （2）集合； （3）集合，. 17. （1）已知，求函数的最小值，并求出此时的值； （2）已知，，且，求的最小值，并求出此时，的值； （3）已知，，，求的最小值． 18. 已知集合，且. （1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19. 若实数，且满足． （1）求的最大值； （2）求x+y的最小值． 20. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集 （2）若，解这个关于的不等式 （3），恒成立，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津四中2026级高一年级第一学期阶段性练习（一） 一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】，则 故选：A 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 2. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解命题为真的充要条件，再根据充分不必要条件对应集合是充要条件对应集合的真子集筛选选项. 【详解】 命题“”为真，等价于对所有恒成立. 当时，的取值范围为，最大值为4， 因此命题为真的充要条件是. 若某个条件是该命题为真的充分不必要条件，则这个条件对应的的取值集合是集合的真子集： A选项：是命题为真的充要条件，不符合要求； B选项：对应的集合是的真子集，满足“时命题必为真， 命题为真时不一定有”，是充分不必要条件，符合要求； C选项：时例如命题为假，无法推出命题为真，不是充分条件； D选项：时例如命题为假，无法推出命题为真，不是充分条件. 3. 下列命题中正确的个数是（ ） ①若，则； ②若，且，则； ③若，且，则. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 对各命题中分别赋值，即可判断命题的真假. 【详解】解：对于①，若，则不成立，即①错误； 对于②，若，取，虽然满足且，但不满足，则不成立，即②错误； 对于③若，取，则不成立，即③错误. 即正确的个数为0个， 故选：A. 【点睛】本题考查了不等式的性质，重点考查了赋值法，属基础题. 4. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值. 【详解】解：因为满足， 则 ， 当且仅当时取等号， 故选：． 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 5. 某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本已知购买m台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备（ ） A. 100台 B. 200台 C. 300台 D. 400台 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出平均成本的解析式，再利用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题意， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以应购买台，使得每台设备的平均成本最低. 故选：B 6. 已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（ ） A. 36 B. 4 C. 16 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，进而通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”. 故选：D. 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式求得正确答案. 【详解】，， 所以不等式的解集为. 故选：B 8. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解集求得，进而求得正确答案. 【详解】由于不等式的解集为， 所以，解得， 所以不等式，即， ，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 9. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，得或，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系即可求得参数的取值范围. 【详解】解：由，可得或， 由，即，得，， 当，即时，不等式的解为， 此时不等式组的解集为， 又因为不等式组仅有一个整数解， 则，解得； 当，即时，不等式的解为， 又因为不等式组仅有一个整数解， 则，解得； 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 设集合，，则___. 【答案】 【解析】 【分析】 先根据一元二次不等式求出集合T，然后求得，再利用并集的定义求出结果. 【详解】， ， 又， ， 故答案为： 【点睛】此题属于以一元二次不等式的解法为平台，考查了补集及并集的运算，属于容易题.在求补集时注意全集的范围. 11. 设集合，则集合的真子集个数为__________． 【答案】63 【解析】 【分析】依题意求出集合，即可求得其真子集个数． 【详解】由可知是的正因数， 即可取，故可得的值依次取， 即， 故集合的真子集有个． 故答案为：63. 12. 已知，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设出，求出，再结合不等式的性质解出即可； 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又，所以， 又 所以上述两不等式相加可得， 即， 所以的取值范围是， 故答案为：. 13. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，不等式为，显然成立，符合题意； 当时，则，解得. 综上所述，k的取值范围是． 故答案为：. 14. 关于的不等式的解集为，则的最小值为 __． 【答案】9 【解析】 【分析】由不等式的解集可确定，且，可得到，且，，根据“1”的巧用，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】因为的解集为， 可得，为方程的两个实数根，且， 即得，可得，即， 所以， 当且仅当且，即时取等号． 所以的最小值为9． 故答案为：9． 15. 设且恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得恒成立，将化为，变形后，利用基本不等式求出最小值即可得到答案. 【详解】因为，所以,,. 所以恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以m≤4. 故答案为 ：. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题. 三、解答题：本题共5小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知集合，，.求： （1）集合； （2）集合； （3）集合，. 【答案】（1）或. （2）或. （3），或. 【解析】 【分析】（1）由补集的定义求解即可； （2）由补集和交集的定义求解即可； （3）由交集和并集的定义求解即可. 【小问1详解】 借助数轴可得 ∴或. 【小问2详解】 ∵， ∴＝或. 或. 【小问3详解】 ， 或. 17. （1）已知，求函数的最小值，并求出此时的值； （2）已知，，且，求的最小值，并求出此时，的值； （3）已知，，，求的最小值． 【答案】（1）最小值为，此时； （2）最小值为，此时； （3）最小值为. 【解析】 【分析】（1）对函数凑项后直接应用基本不等式； （2）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件； （3）采用“1的妙用”构造乘积为定值的形式后应用基本不等式. 【详解】（1）由得，. 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值为，此时的值为； （2）因为，， 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为，此时； （3）由得. 由得. 所以 . 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 18. 已知集合，且. （1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由命题是真命题，可知，又，可得的取值范围； （2）由是的充分不必要条件,得是的真子集，又，可得的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，, 故的取值范围是. 【小问2详解】 若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得， 故的取值范围是. 19. 若实数，且满足． （1）求的最大值； （2）求x+y的最小值． 【答案】（1）4 （2）4 【解析】 【分析】(1)把条件变形为，再利用基本不等式求出xy的范围即可求解; (2)把条件变形为，再利用基本不等式求出x+y的范围即可求解; 【小问1详解】 ∵x>0，y>0，∴， 即，解得，当且仅当时，等号成立， ∴xy的最大值为4． 【小问2详解】 ， ∴， ∴，当且仅当时，等号成立． 即x+y的最小值为4． 20. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集 （2）若，解这个关于的不等式 （3），恒成立，求的范围． 【答案】（1）； （2） 时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，即可求解； （2）讨论，和三种情况，讨论不等式的解集，当时，讨论两根的大小，求解不等式的解集； （3）首先参变分离，，利用换元，以及基本不等式，转化为求的最大值. 【小问1详解】 时， ， 则所求不等式的解集为：； 【小问2详解】 当时，； 当时，， 当时，有，则此时不等式解集为：； 当，． 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为空集． 综上，时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为； 【小问3详解】 ， 因，则． 则题目等价于． 令，因，则． 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $