精选母题第3讲：线段的垂直平分线性质与判定-2025-2026学年苏科版数学八年级上学期

2025—2026学年八年级上学期数学精选母题系列 精选母题第3讲：垂直平分线的性质与判定 母题1：利用垂直平分线求线段长 如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ） A． B． C． D． ▋▎名师点拨 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质，由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分BE， ∴，……………………………名师点拨：线段垂直平分线的性质得出相等的线段在计算线段长或三角形或四边形周长时，主要是借助已知线段长代替未知线段长 ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 1．如图，在中，为边的中点，于点，于点，交的延长线于点．若，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．如图，等腰中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（   ） A．12 B．8 C．15 D．13 3. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点E、F．若，则的周长是 ． 4. 如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连结，当，，时，求的长． 母题2：利用垂直平分线解决最值 如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 ▋▎名师点拨 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点H，连接，根据垂直平分，可知，那么，由，推出的最小值为，然后利用三角形的面积求出答案即可． 【详解】解：作于点H，连接，如图所示： 垂直平分， ， ，……………名师点拨：借助垂直平分线可以“转移”线段，将线段的位置转移到同一个三角形内，方便使用三角形的三边关系求解最小值问题 点、分别为线段、线段上的动点，， 则的最小值为，……………名师点拨：此处借用三角形的三边关系求解最小值时，要注意将原来的”>”换成“”，因为三角形中，等号不能成立，但此处三点是可以共线的 等腰三角形的底边长为2，面积为5， ， ， 的最小值为5． 故选：C． 1．如图，等腰三角形的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点．则的周长的最小值为 ． 2．如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是 ． 3. 如图在四边形中，，，面积为 24，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 4. 如图，在中，点D在边上，连接，且，直线是边的垂直平分线．若点M在直线上运动，连接，则周长的最小值为（   ） A．8 B．16 C．18 D．20 母题3：线段的垂直平分线的判定 如图，，，下列判断正确的是（   ） A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．CD平分 D． ▋▎名师点拨 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题需要根据线段垂直平分线的判定定理，分析点A和点B与线段的位置关系，从而判断选项的正确性． 【详解】因为， 根据线段垂直平分线的判定定理，可知点A在线段的垂直平分线上. 又因为， 同理可得点B也在线段的垂直平分线上.由于两点确定一条直线， 所以直线就是线段CD的垂直平分线， 即垂直平分． 选项A：应该是垂直平分，不是垂直平分，该选项错误； 选项B：由上述推理可知，该选项正确，符合题意； 选项C：仅根据已知条件，无法得出平分，该选项错误； 选项D：已知条件中没有足够的信息能推出，该选项错误． 故答案选：B. 【名师点拨】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，掌握到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线是解题的关键． 1．如图，是的角平分线，分别是和的高，则与的关系是（   ） A．垂直平分线段 B．垂直平分线段 C．与互相垂直平分 D．无法确定 2．如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，求证：点在的垂直平分线上． 3．如图，在中，，是边上一点，，于点，交于点．求证：垂直平分． 4．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 母题4：网格中的垂直平分线问题 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均是格点．在内部找一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，连接、、，使； (2)在图②中，连接、、，使； (3)在图③中，连接、、，使，且． ▋▎名师点拨 【知识点】根据三角形中线求面积、线段垂直平分线的性质、格点作图题 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，线段垂直平分线的性质、三角形中线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）满足条件的点在的垂直平分线上，且，由此作图即可； （2）满足条件的点在的垂直平分线上，且在的垂直平分线上，由此作图即可； （3）满足条件的点在的垂直平分线上，作边的中线CT，交的垂直平分线于，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所作，…………名师点拨：网格中作线段的垂直平分线，主要借助正方形的对角线 （2）解：如图，点即为所作， （3）解：如图，作边的中线CT，交的垂直平分线于，点即为所作， ， ∵CT为边边的中线， ∴，， ∴，即． 1． (1)如图，在的网格中，的顶点均在格点上，借助网格特征，只利用直尺画出直线，使得直线垂直平分． (2)如图，在中，，求作点，使点在内部，且， (不写作法，保留作图痕迹)． 2．图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出线段的垂直平分线，保留作图痕迹． 3．如图是由小正方形形成的格，的顶点A、B、C都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两图． (1)在图中，画出的高； (2)在图中，P是与网格线的交点，先画线段关于对称的线段，再在上画点N．使得． 4．如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点）． (1)利用网格画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点P，使，保留作图痕迹，并标出点P位置． 母题5：线段垂直平分线尺规作图 下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ ▋▎名师点拨 【知识点】两点确定一条直线、线段垂直平分线的判定、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定，两点确定一条直线，先结合作图过程，得出C、D都在的垂直平分线上，C、D两点所在直线即为的垂直平分线，故这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示：……………名师点拨：尺规作图问题通常分两种，一种是题目中图已做好，学生根据作图痕迹判断出作的是什么，再根据其性质解决问题；二是让学生自己根据要求完成作图。 依题意，AC=BC,AD=BD， 即C,D都在的垂直平分线上， ∴C,D两点所在直线即为的垂直平分线， ∴这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线 故选：C 1．下面是“过直线外一点作直线的垂线”的尺规作图方法． 上述方法通过构造直线上线段的垂直平分线，得到直线的垂线其中判定点在线段的垂直平分线上的依据可以是（   ） （1）任取一点，使得点和点在直线的两旁； （2）以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点和点； （3）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； （4）作直线直线就是所求作的垂线 A．点与点关于直线对称 B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 2. 电信部门要修建一座电视信号发射塔 P，按照设计要求，发射塔 P 到两城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P 的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 3．如图，在中，是的角平分线．请利用尺规作图法求作一点，使得点到的三个顶点的距离均相等．（保留作图痕迹，不写作法） 4．在图，已知，；在图中，，；在图中，五边形是正五边形，请你只用直尺画出三个图形中的的垂直平分线． 母题6：线段垂直平分线实际应用 为了迎接九十校庆，学校要修建一处公共设施，使它到校史馆、办公楼、体育馆的距离相等，若、、的位置如图①所示，请你在图中确定这处公共设施（用点表示）的位置．（不写作法，仅保留作图痕迹） ▋▎名师点拨 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的作法及其性质，作出垂直平分线是解题关键．连接，，分别作出，的垂直平分线，交点即为点． 【详解】解：如图所示：所以点即为所求． 1．如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？ 2．为了解决某贫困地区两村村民子女就近入学问题，某爱心企业捐资助学，计划新建一所学校，如图表示两条公路，点M，N表示两个村庄，学校的位置需满足三个条件：①到两条公路的距离相等；②到两个村庄的距离相等；③在的内部．请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并写明结论． 3．如图所示，已知直线，，点E，F分别在，上，求作一点P，使它到、的距离相等，且． 4．（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，　 　 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，　　 ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年八年级上学期数学精选母题系列 精选母题第3讲：垂直平分线的性质与判定 母题1：利用垂直平分线求线段长 如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ） A． B． C． D． ▋▎名师点拨 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质，由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分BE， ∴，……………………………名师点拨：线段垂直平分线的性质得出相等的线段在计算线段长或三角形或四边形周长时，主要是借助已知线段长代替未知线段长 ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 1．如图，在中，为边的中点，于点，于点，交的延长线于点．若，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．由题意可知，垂直平分，进而证明，得到，即可求解． 【详解】解：， ， 为边的中点，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：C． 2．如图，等腰中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（   ） A．12 B．8 C．15 D．13 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， 故选：D． 3. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点E、F．若，则的周长是 ． 【答案】10 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：边的垂直平分线分别交于点E、F， ，， ， 即的周长是10． 故答案为：10． 4. 如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连结，当，，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，，则可得垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据线段和差求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）已证：， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 母题2：利用垂直平分线解决最值 如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 ▋▎名师点拨 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点H，连接，根据垂直平分，可知，那么，由，推出的最小值为，然后利用三角形的面积求出答案即可． 【详解】解：作于点H，连接，如图所示： 垂直平分， ， ，……………名师点拨：借助垂直平分线可以“转移”线段，将线段的位置转移到同一个三角形内，方便使用三角形的三边关系求解最小值问题 点、分别为线段、线段上的动点，， 则的最小值为，……………名师点拨：此处借用三角形的三边关系求解最小值时，要注意将原来的”>”换成“”，因为三角形中，等号不能成立，但此处三点是可以共线的 等腰三角形的底边长为2，面积为5， ， ， 的最小值为5． 故选：C． 1．如图，等腰三角形的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点．则的周长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．如图，连接，由垂直平分线得到，推出的长为的最小值即可解答． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等腰三角形，点D为底边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长的最小值为． 故答案为：11． 2．如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是 ． 【答案】7 【知识点】两点之间线段最短、三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据三角形三边关系可得，可知当点F与点D重合时，周长取最小值． 【详解】解：如图，连接， 直线垂直平分的边， ， ， ，当点F与点D重合时等号成立， ， 周长的最小值是7． 故答案为：7． 3. 如图在四边形中，，，面积为 24，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，连接、，过点D作于H．利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接、，过点D作于H， ∵面积为24，， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴的值最小值为8． 故选：C． 4. 如图，在中，点D在边上，连接，且，直线是边的垂直平分线．若点M在直线上运动，连接，则周长的最小值为（   ） A．8 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得，则的周长，即可得到当A、M、D三点共线时，的值最小，此时，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线，M在上运动， ∴， ∴的周长， ∴要想的周长最小，即的值最小， ∴当A、M、D三点共线时，的值最小，此时， ∴此时的周长， ∴的周长最小值为18， 故选：C． 母题3：线段的垂直平分线的判定 如图，，，下列判断正确的是（   ） A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．CD平分 D． ▋▎名师点拨 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题需要根据线段垂直平分线的判定定理，分析点A和点B与线段的位置关系，从而判断选项的正确性． 【详解】因为， 根据线段垂直平分线的判定定理，可知点A在线段的垂直平分线上. 又因为， 同理可得点B也在线段的垂直平分线上.由于两点确定一条直线， 所以直线就是线段CD的垂直平分线， 即垂直平分． 选项A：应该是垂直平分，不是垂直平分，该选项错误； 选项B：由上述推理可知，该选项正确，符合题意； 选项C：仅根据已知条件，无法得出平分，该选项错误； 选项D：已知条件中没有足够的信息能推出，该选项错误． 故答案选：B. 【名师点拨】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，掌握到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线是解题的关键． 1．如图，是的角平分线，分别是和的高，则与的关系是（   ） A．垂直平分线段 B．垂直平分线段 C．与互相垂直平分 D．无法确定 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线的性质的应用，找到Rt△AED和Rt△ADF，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，即可证明． 根据三角形的角平分线的性质定理求出，证RtRt，推出，根据垂直平分线的性质定理解答即可． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， 在Rt和Rt中， ， ∴Rt≌Rt， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∴是线段的垂直平分线，即垂直平分， 故选：B． 2．如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，求证：点在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质以及线段的垂直平分线的判定，掌握“到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上”是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理证明得，根据线段的垂直平分线的判定证明结论． 【详解】证明：在和中， ， ， 点在的垂直平分线上． 3．如图，在中，，是边上一点，，于点，交于点．求证：垂直平分． 【答案】证明见解析． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，先证明，则，所以点在垂直平分线上，又，所以点在垂直平分线上，从而得证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分． 4．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 母题4：网格中的垂直平分线问题 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均是格点．在内部找一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，连接、、，使； (2)在图②中，连接、、，使； (3)在图③中，连接、、，使，且． ▋▎名师点拨 【知识点】根据三角形中线求面积、线段垂直平分线的性质、格点作图题 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，线段垂直平分线的性质、三角形中线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）满足条件的点在的垂直平分线上，且，由此作图即可； （2）满足条件的点在的垂直平分线上，且在的垂直平分线上，由此作图即可； （3）满足条件的点在的垂直平分线上，作边的中线CT，交的垂直平分线于，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所作，…………名师点拨：网格中作线段的垂直平分线，主要借助正方形的对角线 （2）解：如图，点即为所作， （3）解：如图，作边的中线CT，交的垂直平分线于，点即为所作， ， ∵CT为边边的中线， ∴，， ∴，即． 1． (1)如图，在的网格中，的顶点均在格点上，借助网格特征，只利用直尺画出直线，使得直线垂直平分． (2)如图，在中，，求作点，使点在内部，且， (不写作法，保留作图痕迹)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）结合网格特征，得出，，，，即，故垂直平分，即直线垂直平分． （2）结合在中，，，则作出的角平分线，且，所以作出的垂直平分线，的角平分线与的垂直平分线的交点即为点P，即可作答． 【详解】（1）如图①，直线l即为所求 （2）如图②，点P即为所求 【点睛】本题考查了作垂线，角平分线，垂直平分线的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出线段的垂直平分线，保留作图痕迹． 【知识点】线段垂直平分线的判定、勾股定理与网格问题、等腰三角形的定义 【分析】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的定义，勾股定理，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作即可（答案不唯一）； （2）作即可； （3）先作线段，找出的中点，作直线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所画； （2）解：如图，即为所画； （3）解：如图，直线即为所作 3．如图是由小正方形形成的格，的顶点A、B、C都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两图． (1)在图中，画出的高； (2)在图中，P是与网格线的交点，先画线段关于对称的线段，再在上画点N．使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】画三角形的高、全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定、无刻度直尺作图 【分析】（1）由格点三角形得和为等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，即可求解； （2）取格点，则有，可得，则线段关于对称线段为，根据角的对称性即可；取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，连接交于，结合全等三角形判定及性质、平移等得垂直平分，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 线段为所求作； 由格点三角形得和为等腰直角三角形， ， ， ， ， 是的高； （2）解：如图，线段和点为所求作； 取格点，则有，可得，则线段关于对称线段为，如图交网格与点，同理通过全等三角形可证，则关于的对称点为，故关于对应线段是； 取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，连接交于，则是的中点；构建，可证，同理可证，则有，同理可找出的中点，同理通过全等三角形可证，则有，故可将平移至交于，可得，则有垂直平分，故有． 【点睛】本题考查了网格作图，平移的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定及性质，能利用相关知识点找出所求的点是解题的关键． 4．如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点）． (1)利用网格画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点P，使，保留作图痕迹，并标出点P位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、画轴对称图形 【分析】本题考查了轴对称作图，线段垂直平分线的性质． （1）根据题意作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质作图即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，点P即为所求； 母题5：线段垂直平分线尺规作图 下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ ▋▎名师点拨 【知识点】两点确定一条直线、线段垂直平分线的判定、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定，两点确定一条直线，先结合作图过程，得出C、D都在的垂直平分线上，C、D两点所在直线即为的垂直平分线，故这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示：……………名师点拨：尺规作图问题通常分两种，一种是题目中图已做好，学生根据作图痕迹判断出作的是什么，再根据其性质解决问题；二是让学生自己根据要求完成作图。 依题意，AC=BC,AD=BD， 即C,D都在的垂直平分线上， ∴C,D两点所在直线即为的垂直平分线， ∴这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线 故选：C 1．下面是“过直线外一点作直线的垂线”的尺规作图方法． 上述方法通过构造直线上线段的垂直平分线，得到直线的垂线其中判定点在线段的垂直平分线上的依据可以是（   ） （1）任取一点，使得点和点在直线的两旁； （2）以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点和点； （3）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； （4）作直线直线就是所求作的垂线 A．点与点关于直线对称 B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是关键．根据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可求解． 【详解】解：根据作图可得，依据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得到点在线段的垂直平分线上． 故选：． 2. 电信部门要修建一座电视信号发射塔 P，按照设计要求，发射塔 P 到两城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P 的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】角平分线的判定定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的判定、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，以及线段垂直平分线和角平分线的判定定理，正确掌握尺规作图的方法是解题的关键． 根据线段垂直平分线和角平分线的判定定理可得点为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，据此利用尺规作图即可． 【详解】解：如图，点即为所求 3．如图，在中，是的角平分线．请利用尺规作图法求作一点，使得点到的三个顶点的距离均相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，尺规作图-作垂直平分线，掌握作垂直平分线的方法是解题的关键． 作的垂直平分线或的垂直平分线，所作垂直平分线与的交点即为点．作法一：分别以为圆心，大于长为半径作圆，两圆交点所在直线与的交点即为点；作法二：分别以为圆心，大于长为半径作圆，两圆交点所在直线与的交点即为点． 【详解】解： 如图，点即为所求． 4．在图，已知，；在图中，，；在图中，五边形是正五边形，请你只用直尺画出三个图形中的的垂直平分线． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定、作垂线(尺规作图)、正多边形概念辨析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定及性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定，正五边形性质是解题的关键． 图，连接并且延长交于即得到的垂直平分线； 图，连接，交于，连接并且延长交于即得到的垂直平分线； 图，连接，交于，连接并且延长交于即得到的垂直平分线． 【详解】解：由分析作图如下： 图证明 ∵，， ∴点、在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 图证明：∵， ∴是等腰三角形，． 在和中，， ∴， ∴， ∴． ∴点、在的垂直分线上， ∴垂直平分． 图证明：正五边形中，，，． 如图，连接、， 在和中，      ∴（）， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 同理可证：， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 母题6：线段垂直平分线实际应用 为了迎接九十校庆，学校要修建一处公共设施，使它到校史馆、办公楼、体育馆的距离相等，若、、的位置如图①所示，请你在图中确定这处公共设施（用点表示）的位置．（不写作法，仅保留作图痕迹） ▋▎名师点拨 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的作法及其性质，作出垂直平分线是解题关键．连接，，分别作出，的垂直平分线，交点即为点． 【详解】解：如图所示：所以点即为所求． 1．如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？ 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质及作法，作线段的垂直平分线，与直线l的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，作线段的垂直平分线，与直线l的交点P即为所求作的点． 2．为了解决某贫困地区两村村民子女就近入学问题，某爱心企业捐资助学，计划新建一所学校，如图表示两条公路，点M，N表示两个村庄，学校的位置需满足三个条件：①到两条公路的距离相等；②到两个村庄的距离相等；③在的内部．请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并写明结论． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】此题考查角平分线性质，垂直平分线的性质，尺规作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法是解决问题的关键．先连接，根据线段垂直平分线的性质作出线段的垂直平分线，再作出的平分线，与相交于点，则点即为所求． 【详解】解：点为线段的垂直平分线与的平分线的交点，则点到点、的距离相等，到、的距离也相等，作图如下： 3．如图所示，已知直线，，点E，F分别在，上，求作一点P，使它到、的距离相等，且． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】此题主要考查了尺规作图，熟练掌握运用角平分线的判定定理以及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键． 利用角平分线的判定定理以及线段垂直平分线的判定定理可知点P在线段的垂直平分线上，还在直线，形成的夹角的角平分线上，据此作图即可． 【详解】解：设直线，相交于点O， 作法： 第1步：连接，作线段的垂直平分线； 第2步：作的平分线； 第3步：垂直平分线与角平分线的交点P就是所要求作的点． 4．（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，　 　 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，　　 ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】(1)三角形任意两边之和大于第三边，，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)见解析 【知识点】两点之间线段最短、三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，中垂线的性质，两点之间线段最短，正确画出图形是解题关键． （1）根据所给推理正确填空即可； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． 【详解】（1）解：如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形任意两边之和大于第三边） 点与点关于直线对称， 直线垂直平分 ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ， ． 故答案为：三角形任意两边之和大于第三边； ；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． ，，则， 根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求． 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $