专项突破02 全等三角形的判定（知识技巧点拨+12种高频考察题型 共36题）期中培优讲练-2025-2026学年苏科版2024数学八年级上册考前冲刺

专项突破02 全等三角形的判定 （知识技巧点拨+12种高频考察题型 共36题） 知识梳理 技巧点拨 知识点梳理01：全等三角形的判定 1 知识点梳理02：直角三角形全等的判定 2 知识点梳理03：全等三角形的判定与性质 2 知识点梳理04：全等三角形的应用 2 优选题型 考点讲练 3 题型1 尺规作图——作三角形 3 题型2 用SAS间接证明三角形全等 4 题型3 全等的性质和SAS综合 5 题型4 用ASA(AAS)证明三角形全等 6 题型5 全等的性质和ASA(AAS）综合 7 题型6 用SSS间接证明三角形全等 9 题型7 全等的性质和SSS综合 10 题型8 用HL证全等 12 题型9 全等的性质和HL综合 12 题型10 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合) 14 题型11 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 15 题型12 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 17 知识点梳理01：全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点梳理02：直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点梳理03：全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点梳理04：全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型1 尺规作图——作三角形 1．（20-21七年级下·山东青岛·期末）尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 已知： ，线段a． 求作：，使． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：，和线段a，如图所示．求作：，使．（不写作法，保留作图痕迹） 3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知，点D在边上． (1)求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据你的作图方法，说明的理由． 题型2 用SAS间接证明三角形全等 4．（25-26八年级上·江西赣州·阶段练习）（1）如图，是的平分线，． 求证：； （2）如图，在中，分别是边上的中线和高，，，求的长． 5．（25-26八年级上·重庆·开学考试）在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． 题型3 全等的性质和SAS综合 7．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，与相交于点C，，，．点Q和点P同时出发．点P以的速度从点A出发，沿向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿向A运动；点Q从点D出发，沿以的速度向E运动．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为 ． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知，且． (1)请你判断是的中线还是角平分线？并证明你的结论． (2)在（1）的条件下，若，请确定的值范围． 9．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在和中，，，，． (1)和 兄弟三角形；（填“是”或“不是”） (2)取的中点P，连接，求证：，小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程． 题型4 用ASA(AAS)证明三角形全等 10．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）已知，如图，中，，，l是过A的一条直线，于E，于D．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）如图，交于点，，点在线段上，，． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 12．（25-26八年级上·河北·课后作业）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（    ） A． B． C． D． 题型5 全等的性质和ASA(AAS）综合 13．（24-25八年级上·山东德州·期末）【教材呈现】数学教材中有这样一道习题：“如图，，，，，垂足分别为，，若，，求的长．”请写出此题的解答过程； 【类比探究】如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．猜想：线段，，之间的数量关系，并说明理由． 14．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 15．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 题型6 用SSS间接证明三角形全等 16．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）角平分线的作法（尺规作图） ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于、两点； ②分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③过点作射线，射线即为所求． 作角平分线的作法依据的是 ． 17．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法： 已知：直线及直线外一点C． 求作：过点C作直线的平行线． 作法：①过点C作一条直线，与直线相交于点E； ②以点E为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N； ③以点C为圆心，长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点； ⑤连接，并两端延长为直线，则直线即为所求作的平行线． 请你根据以上材料完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， ， （____________）， ， （____________）． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 题型7 全等的性质和SSS综合 19．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知相交于点，且．求证：． 20．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，． (1)求证：； (2)猜想，的位置关系，并说明理由． 21．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）（1）将下面证明中每一步的理由写在括号内． 已知：如图，．求证：． 证明：如图，连接． 在和中， （ ） （ ） （ ） （2） 将不等式化成或的形式，并将解集在数轴上表示出来． 题型8 用HL证全等 22．（2025八年级上·全国·专题练习）在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 题型9 全等的性质和HL综合 25．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：． 26．（25-26八年级上·吉林通化·阶段练习）某中学八年级学生到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个不规则的建筑物，为测量该建筑物两端A、B间的距离，同学们给出了以下建议： (1)甲同学的方案如下：先在平地上取一个可直接到达A、B的点O，连接、，并分别延长至点C，延长至点D，使，最后测出的长即为A、B间的距离，请你说明该方案可行的理由； (2)乙同学的方案如下：如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量出的长即为A、B间的距离，请你说明该方案可行的理由． 27．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在的内部，点、在上，连接、，过点作，，垂足分别是、．且、恰好是和的中点，． (1)求证：； (2)求证：平分． 题型10 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合) 28．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 29．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出，固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？图中与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，但与不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．李乐通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等，请你判断李乐的说法是否正确． 30．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和，、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 题型11 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 31．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 32．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知． (1)在图①中，画出中边上的高； (2)在图②中，画一个格点三角形，使之与全等； (3)直接写出的面积是 ． 33．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 题型12 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 34．（25-26八年级上·全国·阶段练习）在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______． (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 35．（21-22八年级下·山东·期末）（1）如图，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：，试说明理由． （2）类比引申 如图，四边形中，，，点，分别在边，上，∠EAF=45°，若、都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有，试说明理由． （3）联想拓展 如图，在△中，，，点，均在边上，且∠DAE=45，若，，求的长． 36．（2024·河北·模拟预测）课堂上老师给出问题∶在中，，使用尺规在上作出点 P，使得．如图1是给出的部分作图痕迹，图2是嘉嘉和淇淇各自补充的作图，则下列选项说法正确的是（   ） A．嘉嘉，淇淇的作法都对 B．嘉嘉，淇淇的作法都不对 C．嘉嘉的作法对，淇淇的作法不对 D．嘉嘉的作法不对，淇淇的作法对 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破02 全等三角形的判定 （知识技巧点拨+12种高频考察题型 共36题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：全等三角形的判定 1 知识点梳理02：直角三角形全等的判定 2 知识点梳理03：全等三角形的判定与性质 2 知识点梳理04：全等三角形的应用 2 优选题型 考点讲练 3 题型1 尺规作图——作三角形 3 题型2 用SAS间接证明三角形全等 4 题型3 全等的性质和SAS综合 8 题型4 用ASA(AAS)证明三角形全等 12 题型5 全等的性质和ASA(AAS）综合 15 题型6 用SSS间接证明三角形全等 20 题型7 全等的性质和SSS综合 23 题型8 用HL证全等 25 题型9 全等的性质和HL综合 28 题型10 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合) 31 题型11 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 36 题型12 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 39 知识点梳理01：全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点梳理02：直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点梳理03：全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点梳理04：全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型1 尺规作图——作三角形 1．（24-25七年级下·山东青岛·期末）尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 已知： ，线段a． 求作：，使． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了尺规作图——作三角形，包括作一个角等于已知角，作一个角等于已知角的2倍，作一条线段等于已知线段，解题的关键是熟练掌握角和线段的作法． 在射线上作，再以点为顶点，作，即可得出． 【规范解答】解：如图，即为所求． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：，和线段a，如图所示．求作：，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法，熟练掌握作图方法是解题的关键．先作出线段，再以点为顶点，作出，点为顶点，作出，射线与射线的交点即为点，即为所求． 【规范解答】解：如图，即为所求． 3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知，点D在边上． (1)求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据你的作图方法，说明的理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)理由见解析 【思路引导】本题考查了基本的作图方法及全等三角形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据题意先作，然后截取，以点D为圆心，长为半径截取，即可得出图形； （2）根据作图方法得出，，，即可证明全等． 【规范解答】（1）解：如图所示即为所求． ； （2）证明：根据作图得：，，， ∴． 题型2 用SAS间接证明三角形全等 4．（25-26八年级上·江西赣州·阶段练习）（1）如图，是的平分线，． 求证：； （2）如图，在中，分别是边上的中线和高，，，求的长． 【答案】（）证明见解析；（）． 【思路引导】本题考查了角平分线定义，全等三角形的判定，三角形的高、中线，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是的平分线，则，然后通过“”即可求证； （）由是边上的高，，，可得，由是边上的中线，从而求解． 【规范解答】（）证明：∵是的平分线， ∴， 在和中， ∴； （）解：∵是边上的高，，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 5．（25-26八年级上·重庆·开学考试）在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【答案】C 【思路引导】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【规范解答】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查最短路线问题，解答中涉及垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上截取，连接，，证明，得到，由此得到，当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，过点C作交于点F，根据面积求出的长即可解决问题． 【规范解答】解：在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时， 如图，过点C作交于点， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 题型3 全等的性质和SAS综合 7．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，与相交于点C，，，．点Q和点P同时出发．点P以的速度从点A出发，沿向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿向A运动；点Q从点D出发，沿以的速度向E运动．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为 ． 【答案】或 【思路引导】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质构造一元一次方程是解决问题的关键． 先证明和全等得，依题意得， ，根据点P的运动速度和方向有以下两种情况∶①当点P从点A向点B运动时，依题意得，此时，当点P，Q，C三点在同一条直线上时，证明和全等得．则，由此解得；②当点P从点B向点A运动时，依题意得，此时，当点P，Q，C三点在同一条直线上时，同理证明和全等得，则，由此解得．综上所述即可得出答案． 【规范解答】解：， ，． 在和中， ． ∵点Q从点D出发，沿DE以的速度向E运动， ． ， 根据点P的运动速度进而方向有以下两种情况： ①当点P从点A向点B运动时，依题意得： ， 此时． 当点P，Q，C三点在同一条直线上时， 在和中， ． ． ，解得：； ②当点P从点B向点A运动时，依题意得： ， 此时， 当点P，Q，C三点在同一条直线上时， 同理证明：． ． ，解得：， 综上所述：当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为或． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知，且． (1)请你判断是的中线还是角平分线？并证明你的结论． (2)在（1）的条件下，若，请确定的值范围． 【答案】(1)是的中线，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，不等式的性质等知识点． （1）根据证明即可； （2）延长至点，使得，证明，则，在中，由三角形三边关系求解即可． 【规范解答】（1）解：是的中线， 证明：∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴是的中线． （2）解：延长至点，使得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在和中，，，，． (1)和 兄弟三角形；（填“是”或“不是”） (2)取的中点P，连接，求证：，小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程． 【答案】(1)是 (2)见详解 【思路引导】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）证明（），由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【规范解答】（1）解：由条件可知， 又∵，， ∴和是兄弟三角形， 故答案为：是； （2）证明： 延长至E，使， 由条件可知， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴， 由条件可知， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴． 题型4 用ASA(AAS)证明三角形全等 10．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）已知，如图，中，，，l是过A的一条直线，于E，于D．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用判定三角形全等是解题的关键． （1）由得出，再根据可知，即，再运用定理可得出，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据（1）中可得，然后根据线段的和差即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 11．（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）如图，交于点，，点在线段上，，． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据，可得，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，可得，根据三角形外角的性质，可得，再由求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26八年级上·河北·课后作业）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 由全等三角形的判定定理或，均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【规范解答】解：由题意可得：，， ∵， ， ， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 题型5 全等的性质和ASA(AAS）综合 13．（24-25八年级上·山东德州·期末）【教材呈现】数学教材中有这样一道习题：“如图，，，，，垂足分别为，，若，，求的长．”请写出此题的解答过程； 【类比探究】如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．猜想：线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】【小题1】； 【小题2】，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是找全等三角形，利用全等三角形对应边相等找边之间的关系． 根据垂直的定义可得：，根据同角的余角相等可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可得：，，从而可得； 根据，，，可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证． 【规范解答】解：， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； 解：， 理由如下， ，，， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ． 14．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角． （1）由，得，而于D，于E，则，根据等角的余角相等得到，易得，所以，，即可得到； （2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，所以； （3）、、具有的等量关系为：；证明的方法与（2）相同． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 因为于D，于E， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）解：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：结论：． 与（2）同法可得， ∴，， ∴． 15．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【答案】（1）证明见解析． （2），证明见解析． （3） 【思路引导】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 题型6 用SSS间接证明三角形全等 16．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）角平分线的作法（尺规作图） ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于、两点； ②分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③过点作射线，射线即为所求． 作角平分线的作法依据的是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线的作图方法与作图原理，解题的关键是要理解作图过程得出，，． 连接、，由作图可证，则，而证明的条件就是作图的依据． 【规范解答】解：如图④所示：连接、 在与中，由作图可知： 故答案为：． 17．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法： 已知：直线及直线外一点C． 求作：过点C作直线的平行线． 作法：①过点C作一条直线，与直线相交于点E； ②以点E为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N； ③以点C为圆心，长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点； ⑤连接，并两端延长为直线，则直线即为所求作的平行线． 请你根据以上材料完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， ， （____________）， ， （____________）． 【答案】；；；；同位角相等，两直线平行 【思路引导】本题考查作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质，平行线的判定，根据全等三角形的判定与性质、平行线的判定填空即可． 【规范解答】证明：由作图可知，在和中， ， ∴， ∴， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；同位角相等，两直线平行． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【答案】已知；；；等式的性质；；；；； 【思路引导】首先根据可得，再加上条件，可利用定理证明． 本题主要考查了三角形全等的判定方法，得出是解题的关键． 【规范解答】证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中，， ∴（）． 故答案为：已知；；；等式的性质；；；；； 题型7 全等的性质和SSS综合 19．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知相交于点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明，得到，再证明即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】证明：如图，连接， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 20．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，． (1)求证：； (2)猜想，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据证明即可； （2）由（1）可知则，证明，得到，进而可证 【规范解答】（1）证明： ， 即． 在和中， ； （2）解：．理由如下： 由（1）可知 ． 在和中， ， ， 即， ． 21．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）（1）将下面证明中每一步的理由写在括号内． 已知：如图，．求证：． 证明：如图，连接． 在和中， （ ） （ ） （ ） （2）将不等式化成或的形式，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）公共边；；全等三角形的对应角相等  （2），数轴表示见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，解不等式并在数轴上表示解集； （1）利用证明，即可得到结论； （2）根据不等式的基本性质3，求出x的取值范围，并在数轴上表示解集即可． 【规范解答】证明：如图，连接． 在和中， ， ， （公共边）， （全等三角形的对应角相等）； 故答案为：公共边；；全等三角形的对应角相等； （2）解：两边同时乘以得：， 在数轴上表示为： 题型8 用HL证全等 22．（2025八年级上·全国·专题练习）在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【规范解答】解：如图： ①在和中， ， ∴，故本选项正确； ②在和中， ， ∴，故本选项正确； ③在和中， ， ∴，故本选项正确； ④∵，，，， ∴， 在和中， ， ∴，故本选项正确； ∴能判定的条件为：①②③④， 答案：D． 23．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 24．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 【答案】4 【思路引导】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由是边上的高，推导出 ，即可证明，则，于是得到问题的答案． 【规范解答】∵在中，是边上的高，是边上一点， ∴于点， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：4． 题型9 全等的性质和HL综合 25．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接，先证明得出，再利用“”即可证明，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【规范解答】解：连接，如图： ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵于，于， ∴， 在和中， ， ∴． 26．（25-26八年级上·吉林通化·阶段练习）某中学八年级学生到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个不规则的建筑物，为测量该建筑物两端A、B间的距离，同学们给出了以下建议： (1)甲同学的方案如下：先在平地上取一个可直接到达A、B的点O，连接、，并分别延长至点C，延长至点D，使，最后测出的长即为A、B间的距离，请你说明该方案可行的理由； (2)乙同学的方案如下：如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量出的长即为A、B间的距离，请你说明该方案可行的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定定理是解决问题的关键． （1）通过证明即可得出结论； （2）先判断出与均为直角三角形，再利用证明全等即可得出结论． 【规范解答】（1）解：在和中 ， ， , ， 故甲同学的方案可行； （2）解：， 垂直平分， 与均为直角三角形， 在和中， ， ， ， 故乙同学的方案可行． 27．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在的内部，点、在上，连接、，过点作，，垂足分别是、．且、恰好是和的中点，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）由，，垂足分别是F，G，得，根据“”证明，则； （2）由全等三角形的性质得，推导出，由，且，推导出，而，即可根据“”证明，得，则平分． 【规范解答】（1）证明：∵，，垂足分别是F，G， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∵，， ∴， ∵、恰好是和的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴平分． 题型10 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合) 28．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． （1）先求出，根据“”推出，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质和判定进行分析即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：图中的全等三角形有，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∵在和中， ， ∴． 29．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出，固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？图中与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，但与不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．李乐通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等，请你判断李乐的说法是否正确． 【答案】正确，理由见解析 【思路引导】本题考查了三角形全等的判定与性质，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．当和为钝角三角形时，过点A作AG垂直BC的延长线于点G，过点D作DH垂直的延长线于点H，在和中，，，， ， 先证明，再证明，最后再证明，从而证明了李乐说法正确，同理可证，当和是锐角三角形和直角三角形时，李乐说法正确，从而得证． 【规范解答】解：李乐的说法正确．理由如下： 如图，当和为钝角三角形时，过点A作垂直的延长线于点G，过点D作垂直的延长线于点H． 在和中，，，， ， ， ， ． 在和中，， ， ． 在和中，，， ， ． 在和中，， ． 同理可证，当和是锐角三角形和直角三角形时，李乐说法正确； 综上所述，李乐的说法正确． 30．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和，、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查三角形全等的判定与性质，第问关键是延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接． 先由证明，再利用证明即可； 延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，利用全等三角形的判定与性质即可证明． 【规范解答】（1）解：在和中，， ， ， 、分别为、的中点， ，， ， ，， 在和中，， ， 故答案为：；；；； （2）证明：如下图所示，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ，， 同理可证， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， 在和中， ． 题型11 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 31．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 【答案】(1)图见解析，答案不唯一 (2)图见解析，答案不唯一 【思路引导】本题考查的是全等三角形的判定，明确全等三角形的判定定理是关键； （1）如果公共点为B，取格点E、F，使，，可得出格点三角形即为所求作； （2）以为公共边，是小方格的对角线，可画出，连接，就可得出即为所求作． 【规范解答】（1）解：即为所求作（答案不唯一）； （2）解：即为所求作（答案不唯一）． 32．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知． (1)在图①中，画出中边上的高； (2)在图②中，画一个格点三角形，使之与全等； (3)直接写出的面积是 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)6 【思路引导】此题主要考查了应用设计与作图，正确借助网格得出互相垂直的线段是解题关键． （1）在延长线上取格点E，连接，借助网格得出，则，即； （2）直接利用网格以为公共边，作，则，即为所求作； （3）直接利用三角形的面积公式计算可得 ． 【规范解答】（1）解：中边上的高即为所求作； （2）解：即为所求作； （3）解：的面积． 33．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 【答案】任务1：①见解析 ；②； 任务2：①90； ②． 【思路引导】本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 任务一：根据作出三角形即可； 任务二：①猜想：； ②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可． 【规范解答】解：任务一： ①如图1中，即为所求； ②依据是：， 故答案为：； 任务2： ①猜想：． 故答案为：90； ② ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 题型12 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 34．（25-26八年级上·全国·阶段练习）在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______． (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见详解 【思路引导】（1）通过构造辅助线的方式证明和全等，得到，，从而推导，再证明和全等得到，最终通过已知条件转化线段关系得到； （2）通过构造辅助线的方式先得出，再证明和全等，得到，，随后证明和全等，得到，最终根据条件转化可得到． 【规范解答】（1）解：延长到点G，使，连接， ∵, ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． （2）解：仍然成立． 理由：如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角的计算，线段关系的转化，作出对应的辅助线发现其中包含的关系是解此题的关键． 35．（21-22八年级下·山东·期末）（1）如图，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：，试说明理由． （2）类比引申 如图，四边形中，，，点，分别在边，上，∠EAF=45°，若、都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有，试说明理由． （3）联想拓展 如图，在△中，，，点，均在边上，且∠DAE=45，若，，求的长． 【答案】（1）见解析，（2），理由见解析；（3） 【思路引导】把△绕点逆时针旋转至△，可使与重合，证出△≌△，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； 把△绕点逆时针旋转至△，可使与重合，证出△≌△，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； 把△旋转到△的位置，连接，证明△≌△AFG(SAS)，则∠C=∠ABF=45°，△是直角三角形，根据勾股定理即可得出答案． 【规范解答】证明：如图中， ， 把△绕点逆时针旋转至△，与重合． ∠ADC=∠B=90° ∠FDG=180°，点F、D、G三点共线， 则，， ∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF 即∠EAF=∠FAG， 在△和△中， ， ∴△≌△， ∴EF=FG=BE+DF； 当，仍有． 理由：， 把△绕点逆时针旋转至△，可使与重合，如图， ，∠B=∠ADG ，， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠FAG=45° ∴∠EAF=∠FAG， ， ∴∠ADC+∠ADG=180° ∴∠FDG=180°，点、、共线． 在△和△中， ∴△≌△AFG(SAS)． ，即：． 故答案为：． 将△绕点旋转到△的位置，连接， 则∠FAB=∠CAE ，， ∴∠BAD+∠CAE=45°． 又∵∠FAB=∠CAE， ∴∠FAB+∠BAD=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°． 则在△和△中， ，∠FAD=∠DAE，， ∴△≌△， ，∠C=∠ABF． ∵∠C+∠ABD=90° ∴∠ABF+∠ABD=90°， ， ∴△是直角三角形． ∴BD2+BF2=DF2， ∴BD2+CE2=DE2， ∵BD=1，， ∴． 【考点剖析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形． 36．（2024·河北·模拟预测）课堂上老师给出问题∶在中，，使用尺规在上作出点 P，使得．如图1是给出的部分作图痕迹，图2是嘉嘉和淇淇各自补充的作图，则下列选项说法正确的是（   ） A．嘉嘉，淇淇的作法都对 B．嘉嘉，淇淇的作法都不对 C．嘉嘉的作法对，淇淇的作法不对 D．嘉嘉的作法不对，淇淇的作法对 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图---作角平分线，作一个角等于已知角，作垂线，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由嘉嘉的尺规作图痕迹可得，证明即可得到；由淇淇的尺规作图痕迹可得，然后证明即可得到． 【规范解答】解：由图1可得平分， 则， 由嘉嘉的尺规作图痕迹可得， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴嘉嘉的作法正确； 由淇淇的尺规作图痕迹可得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴淇淇的作法正确， 故选：A． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $