3.1 第2课时 勾股定理的证明-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

第3章勾股定理 第2课时 勾股定理的证明 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图所示的三幅图中，能用于证明勾股定理的是 () A.①③ B.②③ C.①② D.①②③ a ① ② ③ (第1题) (第2题) 2.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD,中间涂色部分是一个小正方形EFGH. 若AB=10,AE=8,则正方形EFGH的面积为 () A.4 B.8 C.12 D.16 3.小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式 证明勾股定理.小明用两种方法表示五边形的面积S,分别是S一 ,S= Aa E (第3题) (第4题) 4.把两个边长分别为α，b,c的全等的直角三角形拼成如图所示的图形，使点A,E,D在同一条直 线上，连接BC,利用这个图形的面积可以得到一个关于a,b,c的代数恒等式，这个恒等式为 5.学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法.某同学提出了一种证明勾股定理的方 法：如图①，B是正方形ACDE的边CD上一点，连接AB,得到Rt△ACB,三边长分别为a,b, c,将△ACB裁剪拼接至△AEF的位置（如图②），该同学用图①②的面积不变证明了勾股定理. 请你写出用该方法证明勾股定理的过程， C a B a B ⑦ ③ (第5题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能山 6.如图①所示为边长分别为α，b的两个正方形，经如图②所示的割补方法可以得到边长为c的正 方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和.利用这个方法可以推得或验证勾股定理.通 61 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 过对图②的观察可知，下列有关割补过程的理解，不正确的是 ③ ②⑥ ② (第6题) A.割⑤补⑥ B.割③补① C.割①补④ D.割③补② 7.当两个全等的直角三角形按如图①或图②所示的方式摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定 理，小聪利用图①证明勾股定理的过程如下： 将两个全等的直角三角形按如图①所示的方式摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2. 证明：连接DB,过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,则DF=EC=b一a.:S四边形CB= SACD+S△Ax= +方b:又：5w=Sw+5=吉2+06-a.吉b+ 2b2+ h-4+2ah-a.a2+6= 1 请参照上述证法，利用图②完成以下证明： 将两个全等的直角三角形按如图②所示的方式摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2十b2=c2 C a B ① ② (第7题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 8.如图，E为AC上一点，AC⊥BC,AC⊥AD,AB=DE,AB,DE交于点F,且AB⊥DE,连接 BD,BE (1)试用等式表示线段BC,DA,CE之间的数量关系，并说明理由 (2)若设BC=a,AC=b,AB=c,利用此图证明勾股定理 (第8题) 62 >“答案与解析”见D356.A在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2十BC=AC2 AB+号B2=7AC,即S,+S,=S.S,+ S,-S,=10,2S,=10.S,=5.S#e=7AE· AB=S=5. 易错警示 不能灵活运用勾股定理解题 解决这类问题时，往往会出现不能对条件中的面积 关系进行恰当变形导致错误.究其原因，是不能灵活运 用勾股定理，揭示图形中的几个直角三角形的面积之间 的内在联系，而使解题过程出现障碍或错误 7.C在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,∴.由勾 股定理，得AB=√AC+BC=√6+8=10.：AD= BD,DE平分∠ADB,.AE=EB=2AB=5. 8.C设该直角三角形的三边长分别为a,b,c,其中c为 斜边长.由勾股定理，得α2十b2=c2.该直角三角形三边 长的平方和为128，.a2+b2+c2=128..2c2=128. .c2=64.∴.c=√64=8，即斜边长为8. 9.20:AC⊥BD,∴.∠AOD=∠AOB=∠BOC= ∠COD=90°.由勾股定理，得AB2+CD2=AO2+BO2十 CO2+DO2,AD2+BC2=AO2 +DO2+BO2 +CO2, .AB2+CD2=AD2+BC2..'AD=2,BC=4,..AB2+ CD2=22+42=20. 10.10:CB⊥AD,AE⊥DC,∴.∠ABF=∠CBD= ∠AED=90°.∴.∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°. ∠A=∠C, ∴.∠A=∠C.在△ABF和△CBD中，AB=CB, ∠ABF=∠CBD, ∴.△ABF≌△CBD.∴.BF=BD..AB=CB=8,CF= 2,.BF=BC一CF=6..BD=6.在Rt△BCD中 CD2=BD2+BC2=62+82=100,∴.CD=10. 11.答案不唯一，如(1)如图①所示.(2)如图②所示. (3)如图③所示. B ⑦ ② ③ (第11题) 12.(①D:AB=AC,∠A=42∠ACB=∠B=号X (180°-42)=69°..CD⊥AB,∴.∠ADC=∠BDC= 90°.，∴.∠DCB=90°一69°=21°.(2)设AB=AC=x,则 0 AD=x-1.在Rt△ADC中，AC2=CD2十AD2,..x2= 32+(x-1)2,解得x=5..AC=5.在Rt△ADC中，M为 AC的中点DM=合AC=25 13.(1):∠ACB=90°，AB=5cm,BC=3cm,AC2= AB2-BC2,∴.AC=4cm.①当∠APB为直角时，点P与 点C重合，AP=AC=4cm,∴.t=4.②当∠ABP为直角 时，AP=tcm,CP=(t-4)cm,BC=3cm.在Rt△BCP 中，BP2=BC+CP2,在Rt△BAP中，AB2+BP2=AP2, 子+[8+-40门=，解得1=华综上所述，当 △AB即为直角三角形时，：的值为4或竿 ,(2)①当 AP=AB时，t=5.②当AB=BP时，易得AP=2AC= 8cm,∴.t=8.③当PB=PA时，易得PB=PA=tcm, CP=(4-t)cm,BC=3cm.在Rt△BCP中，BP2=BC+ CP=十(4-，解得(=要综上所述，当 △ABP为等腰三角形时，4的值为5或8或得 第2课时勾股定理的证明 1.C①：大正方形的面积=小正方形的面积+直角三 角形的面积X4,2=(6-a)+b×4.c2=a+ b2-2ab+2ab=a2+b2.故①符合题意.②：大正方形的 面积=小正方形的面积十直角三角形的面积X4,'.(a十 b)2=7b×4十2.a2十b=c2.故②符合题意.③”大 正方形的面积=长方形的面积X2十两个较小正方形的面 积，∴.(a十b)2=a2十b2+2ab.∴不能证明勾股定理.故 ③不符合题意.综上所述，能用于证明勾股定理的是①②. 2.A直角三角形较短的直角边的长为√102一8=6， ,∴.正方形EFGH的面积=10×10一8×6÷2×4=100一 96=4. 3.答案不唯一，如c2十aba2十b2十ab如图，延长AB 交五边形的边于点C.该五边形的面积可以表示为一个大 正方形和两个直角三角形的面积之和；也可以表示为两个 较小正方形和两个直角三角形的面积之和，∴.S=c2十 abX2-cab-a+b+dbx2-aab. 1 C (第3题) 35 4a+b=c根据题意，得2a+b)户=2×号b十 2c,化简，得a2+b2=c. 1 5.如图，连接BF.AC=b,∴.正方形ACDE的面积为 b2.由题意，得CD=DE=AC=b,EF=BC=a,∠CAE= 90°，∴.BD=CD-BC=b-a,DF=EF+DE=a+b, ∠BAC+∠BAE=90°..·∠BAC=∠EAF,..∠EAF十 ∠BAE=90°..∴.∠BAF=90°..AB=AF=c,.△BAF 为等腰直角三角形.·四边形ABDF的面积为？(2十 含6-aa+6002+号6-a.:正方形AcDE 1 的面积与四边形ABDF的面积相等，=2c2十 26-a.2=22+2-a.a2+ 1 26=2c.u+h=c E 6 D (第5题) 6.B如图，·四边形ABDE,四边形BCHL,四边形 ACFG都是正方形，∴.AC∥FG,DE∥AB,BC∥HL, ∠GAC=∠EAB=∠G=∠L=∠AHQ=∠F ∠ABD=90°，AC=AG=FG=a,AB=AE=BD=DE= c,BC=CH=BL=b.∴.∠BAC=∠EAG=90°-∠CAE. ∴.△ABC≌△AEG(SAS)..∴.BC=EG=b,∠ABC= ∠AEG.:AC∥FG,∴.∠CAE=∠AEG..∠QAH+ ∠CAE=90°，∠PEF+∠AEG=90°，∴.∠QAH= ∠PEF.'AH=EF=a-b,∠AHQ=∠F=90°， ∴.△AHQ2△EFP(ASA).∴.割①补④.DK⊥BF, ∴.∠BKD=∠DKP=∠G=90°.：∠KBD+∠ABC 90°，∠GAE+∠AEG=90°，.∠KBD=∠GAE. ∴.△KBD≌△GAE(AAS).∴.DK=EG.∴.割⑤补⑥. :DE∥AB,BC∥HL,∴.∠DPK=∠ABC=∠BQL. ∠DKP=∠L=90°，DK=EG=BL=b,∴.△DKP≌ △BLQ(AAS)..割③补②.综上所述，不正确的是割③ 补①. G-- aA ④b.L cH③ F②⑥ B D (第6题) D 7.如图，连接BD,过点B作BF⊥DE,交DE的延长线于 点F,则EF=b,BF=b-a.:Sm边无DB=S△ABx十 SAm=2AE·EF+号AE·DE=26+ab,又 :SEm=SAs十Sam=AB·AD十2DE· (b-a)..a2+b2=c2. 0 C a B F (第7题) 8.(1)DA=CE+BC.理由：如图，AC⊥BC,AC⊥AD, ∴.∠ACB=∠DAE=90°.又：AB⊥DE,.∠DFA= ∠EFA=90°..∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°.∴.∠1= ∠ACB=∠DAE, ∠3.在△ABC和△DEA中， ∠1=∠3， AB-DE, ∴.△ABC≌△DEA..AC=DA,BC=EA.又AC= CE+EA,∴.DA=CE+EA=CE+BC.(2)由(1)，得 BC=EA=a,AC=DA=6,AB-DE=c.SADBE= Sae+Same-2DE·AF+2DE·BF=DE· AB=- c,Sea5m=Sae十SAm=AE·+ 1 ∴.a2+b2=c2. E (第8题) 3.2勾股定理的逆定理 1.D22+32=4+9=13,42=16,13≠16，.不能组成 直角三角形.故A不符合题意.(W3)2+(W4)2=3十4= 7,(√5)2=5,7≠5，∴.不能组成直角三角形.故B不符合题 意.(2)2+(2)2=2十2=4，(W2)2=2,4≠2，∴不能 组成直角三角形.故C不符合题意..：62+82=36十64= 100=10,∴.能组成直角三角形.故D符合题意 36