3.2 勾股定理的逆定理-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

第3章勾股定理 3.2勾股定理的逆定理 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是 () A.2,3,4 B.3,W4,5 C.√2，√2,2 D.6,8,10 2.已知一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,其中c为斜边长，则以ak,bk,ck(k>0)为三边长 的三角形是 () A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3.如图，在△ABC中，D为边BC上的一点.若AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,则CD的长 为 B D (第3题) (第4题) 4.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC.若AB=4,BC=3,AD=12,CD=13,则四边形ABCD的 面积是 5.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,BC=20cm,D是边AB上一点，且CD=16cm,BD= 12cm.求： (1)AD的长， (2)△ABC的边BC上的高. (第5题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 6.如图，P是等边三角形ABC内一点，连接PA,PB,PC,PA:PB:PC=3:4:5, 以AC为边在△ABC外作△APC≌△APB,连接PP',则下列结论中，错误的是 A.△APP'是等边三角形 B.△PCP'是直角三角形 (第6题) C.∠APB=150° D.∠APC=135° 7.★已知三角形的三边长分别为a,b,c,且a十b=10,ab=18,c=8,则该三角形是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 63 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 8.易错题如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则∠1十∠2的度数为 D (第8题) (第9题) 9.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC,AB于点D,F,AC的垂直平分线分别交BC, AC于点E,G,点E在点D右侧.若BD=10,DE=6,CE=8,则△ABC的面积为 10.如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D,点E在线段BD上，且EA=EB.已知BD= 16,AD=12,AC=15. (1)求线段DE的长. (2)求证：∠BAC=90°. ED (第10题) 门三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.向探究题在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表（注：m,n为正整数，且 m>n): 气 2 3 1 1 2 3 e 22+12 32+12 32+22 42+32 b 4 6 12 24 … c 22-12 32-12 32-22 42-32 … (1)观察表格中的数据，当m=2,n=1时，此时对应的a,b,c的值能否为直角三角形三边 的长？ (2)试猜想a,b,c与m,n之间的关系，并用含m,n的代数式表示：a= ,6= ,C= (3)以a,b,c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出 反例. 64 >“答案与解析”见D364a+b=c根据题意，得2a+b)户=2×号b十 2c,化简，得a2+b2=c. 1 5.如图，连接BF.AC=b,∴.正方形ACDE的面积为 b2.由题意，得CD=DE=AC=b,EF=BC=a,∠CAE= 90°，∴.BD=CD-BC=b-a,DF=EF+DE=a+b, ∠BAC+∠BAE=90°..·∠BAC=∠EAF,..∠EAF十 ∠BAE=90°..∴.∠BAF=90°..AB=AF=c,.△BAF 为等腰直角三角形.·四边形ABDF的面积为？(2十 含6-aa+6002+号6-a.:正方形AcDE 1 的面积与四边形ABDF的面积相等，=2c2十 26-a.2=22+2-a.a2+ 1 26=2c.u+h=c E 6 D (第5题) 6.B如图，·四边形ABDE,四边形BCHL,四边形 ACFG都是正方形，∴.AC∥FG,DE∥AB,BC∥HL, ∠GAC=∠EAB=∠G=∠L=∠AHQ=∠F ∠ABD=90°，AC=AG=FG=a,AB=AE=BD=DE= c,BC=CH=BL=b.∴.∠BAC=∠EAG=90°-∠CAE. ∴.△ABC≌△AEG(SAS)..∴.BC=EG=b,∠ABC= ∠AEG.:AC∥FG,∴.∠CAE=∠AEG..∠QAH+ ∠CAE=90°，∠PEF+∠AEG=90°，∴.∠QAH= ∠PEF.'AH=EF=a-b,∠AHQ=∠F=90°， ∴.△AHQ2△EFP(ASA).∴.割①补④.DK⊥BF, ∴.∠BKD=∠DKP=∠G=90°.：∠KBD+∠ABC 90°，∠GAE+∠AEG=90°，.∠KBD=∠GAE. ∴.△KBD≌△GAE(AAS).∴.DK=EG.∴.割⑤补⑥. :DE∥AB,BC∥HL,∴.∠DPK=∠ABC=∠BQL. ∠DKP=∠L=90°，DK=EG=BL=b,∴.△DKP≌ △BLQ(AAS)..割③补②.综上所述，不正确的是割③ 补①. G-- aA ④b.L cH③ F②⑥ B D (第6题) D 7.如图，连接BD,过点B作BF⊥DE,交DE的延长线于 点F,则EF=b,BF=b-a.:Sm边无DB=S△ABx十 SAm=2AE·EF+号AE·DE=26+ab,又 :SEm=SAs十Sam=AB·AD十2DE· (b-a)..a2+b2=c2. 0 C a B F (第7题) 8.(1)DA=CE+BC.理由：如图，AC⊥BC,AC⊥AD, ∴.∠ACB=∠DAE=90°.又：AB⊥DE,.∠DFA= ∠EFA=90°..∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°.∴.∠1= ∠ACB=∠DAE, ∠3.在△ABC和△DEA中， ∠1=∠3， AB-DE, ∴.△ABC≌△DEA..AC=DA,BC=EA.又AC= CE+EA,∴.DA=CE+EA=CE+BC.(2)由(1)，得 BC=EA=a,AC=DA=6,AB-DE=c.SADBE= Sae+Same-2DE·AF+2DE·BF=DE· AB=- c,Sea5m=Sae十SAm=AE·+ 1 ∴.a2+b2=c2. E (第8题) 3.2勾股定理的逆定理 1.D22+32=4+9=13,42=16,13≠16，.不能组成 直角三角形.故A不符合题意.(W3)2+(W4)2=3十4= 7,(√5)2=5,7≠5，∴.不能组成直角三角形.故B不符合题 意.(2)2+(2)2=2十2=4，(W2)2=2,4≠2，∴不能 组成直角三角形.故C不符合题意..：62+82=36十64= 100=10,∴.能组成直角三角形.故D符合题意 36 2.A,'一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,且c为 斜边长，.a2+b2=c2..(ak)2+(bk)2=(ck)2..以 ak,bk,ck(k>0)为三边长的三角形是直角三角形. 3.9AB=13,AD=12,BD=5,.AB2=AD+BD2. .△ADB是直角三角形，且∠ADB=90°..∠ADC 90°.在Rt△ADC中，CD=√AC-AD=√152-122=9. 4.36如图，连接AC.在△ABC中，AB⊥BC,即∠B= 90°，AB=4,BC=3,∴.AC=V√AB2+BC=√4+3 5.在△ADC中，AD=12,CD=13,AC=5.12+52= 13,即AD+AC2=CD,∴.△ADC是直角三角形，且 ∠DAC=90.·SEAn=SAAr+SAAx=2AB· BC+2AC:AD=号×4X3+2×5X12=6+30=6. D (第4题) 5.(1).BC=20 cm,CD=16 cm,BD=12 cm,.'BD2+ CD2=BC.∴.∠BDC=90°..∠ADC=90°.设AD= xcm,则AC=AB=(x+12)cm.在Rt△ADC中，由勾股 定理，得AD2+CD2=AC2,∴.x2+162=(x+12)2,解得 -兰AD=号m（2如图，过点A作AE1C 于点E,则AE是△ABC的边BC上的高.由(1)，知AB= AC-+12(cm).AB-AC.AELBCBE- CE=2BC=10cm.在Rt△AEB中，由勾股定理，得 101900 (cm)E 号cm,即△ABC的边BC上的高是智cm 4 B E (第5题) 6.D:'△ABC是等边三角形，∴.∠BAC=60°. △AP'C≌△APB,.AP'=AP,P'C=PB,∠P'AC= ∠PAB.∴.易得∠PAP'=∠BAC=60°..△APP'是等 边三角形.故A正确.又PA:PB:PC=3:4:5,∴.设 PA=3x,则PP'=PA=3x,P'C=PB=4x,PC=5.x.根 据勾股定理的逆定理可知，△PCP'是直角三角形，且 ∠PP'C=90°.故B正确.又△APP'是等边三角形， D .∴.∠AP'P=60°.'.易得∠APB=∠AP'C=150°.故C 正确.根据已有的条件无法计算出∠APC的度数.故D 错误 7.Bc=8,∴.c2=64.(a+b)2-2ab=100-36= 64,.a2十b2=c2,且易知a≠b.∴.该三角形是直角三 角形. 方法归纳 判断直角三角形的方法 若已知条件与角度有关，则可利用三角形的内角和 定理判断，得出其中的一个角等于90°.若已知条件与边 有关，则一般通过计算得出三边的数量关系，看是否符 合较短两边的长的平方和等于最长边的长的平方。 8.45°如图，将∠2向下平移1个单位长度得到∠ABD, 连接AC,∴.∠2=∠ABD.AC2=22+12=5,AB2= 22+12=5,BC=32+1=10,.AB=AC,AC2+AB2= BC2.∴.△ABC是等腰直角三角形.∴.∠ABC=45°. ∴.∠ABD+∠1=90°-45°=45°.∴.∠1+∠2=45°. (第8题) 易错警示 不能求得网格图中的两角和 解决网格图中的两角之和的方法除了构造全等三 角形之外，还可以使其转化为共顶点的两个角之和，再 运用勾股定理的逆定理构造直角三角形解决问题 9.96如图，连接AD,AE..DF是AB的垂直平分线， EG是AC的垂直平分线，BD=10,CE=8,∴.AD=BD= 10,AE=CE=8.DE=6,.AE2+DE2=100=AD2. ∴∠AED=90°，即AE⊥BC.:BC=BD+DE+CE= 24Sae=7BC.AE=7×24X8=96 B D C (第9题) 10.(1)BE=AE=x..'BD=16,..ED=BD-BE- 16-x.AD⊥BC,∴.∠ADE=∠ADC=90°.在 Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2,.x2=122+(16-x)2, 解得x=12.5..DE=16-x=3.5..DE的长为3.5. (2)在Rt△ABD中，AD=12,BD=16,∴.AB= √BD2+AD2=√162+12=20.在Rt△ADC中，AC= 15,AD=12,∴.CD=√AC2-AD=√152-12=9. 37 .∴.BC=BD+CD=25..AB2+AC2=202+152=625. BC2=252=625,∴.AB2+AC=BC2.∴.△ABC是直角 三角形，且∠BAC=90°. 11.(1)当m=2,n=1时，a=5,b=4,c=3,32+42 52,∴.a,b,c的值能为直角三角形三边的长.(2)m2+ n2;2;m2一n2.(3)以a,b,c为边长的三角形一定为 直角三角形.理由：：a2=(m2十n2)2=m1十2m2n2十n, b2+c2=4n2n2+m-2mn2+n=m+2m2n2+n, ∴.a2=b十c2.∴.以a,b,c为边长的三角形一定为直角三 角形. 专题特训七勾股定理中的数学思想 1.C由题意，知S1+S2=S3.10S1-3S2=S3, 10s,-35:=5+s盏租，得9S=4S子- 2.S,十S,=S2如图，由题意可知，以AC为直径的半圆 的面积=之×x×(9)-誓AC,以BC为直径的半园 的画积=之×x×()=吾C,以AB为直径的半园 的面积=×xX()°=AB.:∠ACB=90C, :由勾股定理，得AC+BC=AB.苓AC+8BC= FAB易得S+S,+S,-S,+SS+S,=S (第2题) 3.C设另一条直角边长为x,则斜边长为x+2.由勾股 定理，得x2十6=(x十2)2，解得x=8..该直角三角形的 面积=号×6×8=24. 45 :AB=BD=4,.∠BAE=∠BDE.:CBL BD,∴.∠DBE=90°=∠CAB.∴.∠DEB=90°-∠BDE, ∠CAE=90°-∠BAE.∴.∠CAE=∠DEB..∠AEC= ∠DEB,∴.∠CAE=∠CEA.∴.AC=EC.BE=1, .BC=AC+1.AC +AB2=BC2,.'AC2+4= CAC+i.AC=号. 5.12设BD=x,则CD=14-x.:AD⊥BC,.∠ADB= ∠ADC=90..AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,即152 x2=132-(14-x)2,解得x=9.∴.BD=9.∴.AD2 AB2-BD2=152-92=144,即AD=12. 6.(1):'AD∥BC,∴.∠ADB=∠DBC.由折叠的性质， 可知∠DBE=∠DBC,.∠DBE=∠ADB.∴.DE=BE. (2)设BE=DE=x,则AE=4一x.在Rt△ABE中， ∠A=90°，.AB2+AE2=BE2..32+(4-x)2=x2, 第得=空BE=DE=答AE=AD-DE=A 容= 7.14或4当点D在线段BC上时，如图①.在Rt△ABD 和Rt△ACD中，由勾股定理，得BD=√AB2-AD= √152-122=9，CD=√AC-AD=√132-122=5， ∴.BC=BD+DC=9+5=14.当点D在线段BC的延长 线上时，如图②.在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定 理，得BD=√AB2-AD=√15-12=9，CD= √AC-AD=√13-122=5，∴.BC=BD-CD=9- 5=4.综上所述，边BC的长为14或4. D ① ② (第7题) 8.如图①，当AB=AD时，易得BD=12m,∴.S△Am= X8X12=48(m).如图②，当AB=BD时，：BC= 1 6m,AC=8m,∴.易得AB=10m.BD=10m..S△Am= ×8X10=40(m).如图③，当AD=BD时，设CD= 1 xm,则AD=BD=(x+6)m在Rt△ACD中，AC2+ CD=AD,.8+z2=(+6),解得x=3·Sam= 2×8×(6+子)-1g(m).综上所述，扩建后的等腰三 角形ABD的面积为48m或40m或gm ② ③ (第8题) 9.(1):'∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm,∴.易得AC= 4cm.:动点P从，点C开始以1cm/s的速度运动，∴.运 动6.5s后，点P在线段AB上，此时AP=2.5cm,即P是 38