3.2 代数式的值&综合与实践3 从拼图小游戏到密码中的数学-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

拔尖特训·数学（人教版）七年级上 3.2代数式的值 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.下列代数式，满足表中条件的是 () 比 0 1 3 代数式的值 -3 -1 1 3 A.-x-3 B.x2+2x-3 C.2x-3 D.x2-2x-3 2.当a=5时，下列代数式的值最大的是 () A.2a+3 B21 C 5a2-2a+10 D.7a2-100 5 3同一温度下，华氏湿度y(℉)与摄氏温度x(℃)之间的关系是y-号x十32.如果某一温度下，摄 9 氏温度是40℃，那么华氏温度是 ℉ 4.已知x-2y=-3,则4(x-2y)2-3(x-2y)+20的值是 5亮嘉在解夫决问置当x一y一6时求代数式-2y十y的值”时，他的解题过程如下： 解当-含y=i时-2+y-号2x号X-6》-6-号+18-酒=-132 你认为他的解题过程正确吗？若不正确，请写出正确的解题过程， 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.整体思想若当x=1时，mx3一nx+1的值为4，则当x=一1时，mx3一nx+7的值为 () A.4 B.5 C.6 D.7 7.若(3x-2)4=a4x4+a3x3十a2x2+a1x十a0,则a0十2026的值为 A.2010 B.2018 C.2034 D.2042 8.★按如图所示的程序，若输入x的值为4，则输出的结果是 输入x x(x+1) >100 2 是输出了 否 (第8题) A.1750 B.1540 C.1950 D.2020 9.已知当x=a时，代数式-x十m与代数式x+n的值都为8，则代数式m+n= 48 第三章代数式 10.火车站、机场等场所都有为旅客提供打包服务的项目.现有一个长、宽、高分别为acm,bcm, 30cm的箱子（其中a>b),准备采用如图①②所示的两种打包方式，所用打包带的总长（不计 接头处的长)分别记为l1,l2 (1)求图①中打包带的总长l1、图②中打包带的总长l2分别是多少（用含a,b的代数式表示）. (2)当a=70,b=50时，计算两种打包方式所用的打包带总长各是多少，并判断哪一种打包方 式更节省打包带 单位：cm 30 30 ① ® (第10题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.小聪同学编写了一个运算程序，该程序满足： ①输入n=1时，得到a1=3;输入n=2时，得到a:=2 输人整数n≥3)时，得到的结果a,满足：当n是奇数时，心”十2当n是偶数时 (2n-6)a-2 a,= 2m+2 (1)求a3和a4的值. (2)当n为正整数时，用含n的代数式表示am的值. (3)求a1+a2十a3+a4+…+a9+a1oo的值 “答案与解析”见D16 49 拔尖特训：数学（人教版）七年级上 综合与实践3从拼图小游戏到密码中的数学 类型一拼图小游戏 1.有若干片相同的拼图，其形状如图①所示（单位：cm),凸出的部分是直径为4cm的半圆，且拼图 沿水平方向排列时可紧密拼成一行，此时底部可与直线贴齐.当4片拼图紧密拼成一行时长度为 38cm,如图②所示.下列结论中，正确的是 () A.4(a+b)=38 B.1片拼图的长度为9.5cm C.将拼图紧密拼成一行时，每增加一片拼图，总长度增加11cm D.将n片拼图紧密拼成一行时，总长度为(9n+2)cm 38 cm O O O o O O 长度 ① ② O OO○ (第1题) (第2题) 2.某餐厅中1张桌子可坐8人，按照如图所示的方式将桌子拼在一起，张桌子拼在一起可坐() A.(6+n)人 B.(6+2m)人 C.(6+3)人 D.(3m+2)人 类型二密码中的数学 3.材料：密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系.例如，对于密 文“L dp d vwxghqw”,如果给一把破译它的“钥匙”x一3，联想英语字母表中字母的顺 序：abcdefghijklmnopgrstuvwxyz,如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到 x一3可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有 L dp d vwxghqw→I am a student..这样就把密文“L dp d vwxghqw”破译成明文“I am a student'”, 从而解读出密文的意思了， (1)根据材料填空：密文“L oryh brx”可破译成明文为“ (2)将26个英文字母a,b,c,…,z依次对应序号1,2,3，…，26.对于密文“211334226”， 给出密文与明文之间的关系如下：当密文对应的序号x为奇数时，明文对应的序号为x十2；当密 文对应的序号x为偶数时，明文对应的序号为，十1，则将密文破译成英文字母表示的明文为 ” (3)小叮当沿用对字母标序号的方法，即将26个英文字母a,b,c,…,z依次对应序号1,2,3，…， 26.把明文“teacher'”加密成密文“xdberdw”,请你写出这组密码的对应关系 50 >“答案与解析”见D17易错警示 用字母表示数时因书写不规范而导致错误 (1)在含有字母的式子中，如果出现乘号，那么通常 将乘号写作“·”或省略不写，并且将数写在字母的前面 (2)数与数相乘时，只能用“X”,不能省略或写成“·”， (3)带分数与字母相乘，带分数要写成假分数 (4)若式子中出现含字母的除法运算，则一般写成 分数的形式 (5)数字因数为“1”或“一1”时，通常省略“1”. 4.(600一6a)因为需购买甲、乙两种读本共100本，其中 购买甲种读本a本，所以购买乙种读本(100一a)本.因为 乙种读本的单价为6元，所以购买乙种读本的费用为 6(100-a)=(600-6a)元. 5.①62x+3)-3.2)g(号-4)： 6D代数式，侣的意义是m除以n与1的差所得的商， 7.D易知选项A,B,C正确，而a的2倍与b的差是 2a一b,故选项D错误. 8.C因为原价为x元/本，所以0.7(x一12)元/本表示在 原价的基础上减去12元后再打7折. 9.100y十x因为x表示一个两位数，y也表示一个两位 数，用x,y来组成一个四位数且把x放在y的右边，所以 这个四位数可以表示为100y十x. 10.到甲商店购买所需的费用为48×5+13(x一5)= (175+13x)元.到乙商店购买所需的费用为(48×5+ 13x)×90%=0.9(240+13x)=(216+11.7x)元. 11.(1)70:[20×7+6(x-20)].(2)因为两次共购买 100千克苹果，第二次购买的质量多于第一次购买的质量， 所以a<50.当0<a≤20时，需要付费[7a十20×7+20× 6+5×(100一a一40)]元：当20<a40时，需要付费 「20×7+6×(a-20)+20×7+20×6+5×(100一a 40)]元；当40<a<50时，需要付费[20×7+6×20+5× (a-40)+20×7+20×6+5×(100-a-40)]元. 第2课时反比例关系 1.B若两个数成反比例关系，则两数的乘积一定，选项B 符合题意 2.A因为x和y成反比例关系，20×△=8×5，解得 △=2.故“△”处应填2. 3.反正反因为A×B=4.5,乘积一定，所以A和B 成反比例关系.因为x÷y=42:3.5,即x÷y=12,比值一 D 定，所以x和y成正比例关系.因为m:1.2=1.5：n,即 mn=1.8,乘积一定，所以m和n成反比例关系 4.(1)成反比例关系.理由：因为每块砖的面积×需要的 块数=铺地面积，铺地面积一定，所以每块砖的面积和需 要的块数成反比例关系.(2)成反比例关系.理由：因为 打字的速度×打字所用的时间=稿件的总字数，同一份稿 件的总字数一定，所以打同一份稿件，打字的速度和打宇 所用的时间成反比例关系， 5.D设甲、乙两个量对应的数分别是x和y.因为甲、乙 是两个成反比例关系的量，所以xy=k(定值).当甲增加 50%时，甲变成了1+50%)x=2,所以乙变成了号 因为(-子)÷y=},所以乙一定会减少3 6.200因为近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成 反比例关系，所以xy是定值.因为小明佩戴的400度近视 眼镜片的焦距为0.25米，所以400×0.25=100.所以当镜 片焦距为0.5米时，小明的近视眼镜度数可以调整为 100=200(度). 0.5 7.(1)填表如下： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 144 120 60 (2)每本的页数和可以装订的本数成反比例关系.理由：根 据表中的数据，可知每本的页数随可以装订的本数的变化 而变化，它们是两个相关联的量，总页数一定，即每本的页 数和可以装订的本数的积是一定的，所以成反比例关系。 (3)225×16÷80=45(页).所以平均每本练习本有45页. 3.2代数式的值 1.C因为x=0时，代数式的值是一3，x=1时，代数式的 值是一1，x=2时，代数式的值是1，x=3时，代数式的值是 3,所以只有2x一3满足此条件. 2D当a=5时，2a+3=13,号-1=号，日 2,5a2-2a+ 10=号×5-2x5+10=5,2a2-100_7X58-100-16 1 5 5 因为15>13>5>号，所以选项D中的代数式的值最大。 3104当x=40时，y=号×40+32=72+32=104.所 以如果某一温度下，摄氏温度是40℃，那么华氏温度是 104℉. 16 4.65因为x一2y=一3，所以原式=4（一3）2一3× (-3)+20=36+9+20=65 5.嘉嘉的解题过程不正确.正确的解题过程如下：当x= 号w=-6时2-2xy+y=()°-2×号×(-6)+ (-6)2=9 1 +18+36-56 4 6.A 思路导引 将x=1代入 变形 m-n=3 m+n=-3 mx-nx+1=4 将x=-1代入 代入 -m+n+7 mx-nx+7 -3+7=4 由题意，可知m一n十1=4，所以m一n=3,即一m十n= -3.所以当x=-1时，x3一x十7=-m十n十7= -3+7=4. 7.D当x=0时，(3x-2)1=(3×0-2)1=(-2)1=16, 所以a,=16.所以a。+2026=16+2026=2042. 8.B把x=4代人，D,得4X4+卫=10.因为 2 2 10<100,所以把x=10代人x(+1D,得10X(10+1D 2 2 55.因为55<100，所以把x=5代人，+D,得 2 5×(55+1)-1540.因为1540>100，所以输出的结果是 2 1540. 方法归纳 利用程序求代数式的值的方法 利用程序求代数式的值时，若输入没有限制，则直 接输入计算；若输入条件有限制，则首先选择符合条件 的数输入程序进行计算.计算出结果后，若输出没有条 件限制，则直接输出：若输出有条件限制，则不符合条件 时不能输出，需继续按程序计算，直到符合输出条件时 才能输出， 9.16因为当x=a时，代数式一x十m与代数式x十n的 值都为8，所以一a十m=8,a十n=8.所以m=8十a,n= 8-a.所以m+n=8+a+8-a=16. 10.(1)题图①中打包带的总长l,=4a+2b+30×6 (4a+2b+180)cm.题图②中打包带的总长l2=2a+4b十 D 30×6=(2a+4b+180)cm.(2)当a=70,b=50时，题 图①中打包带的总长l,=4×70+2×50+180=560(cm), 题图②中打包带的总长l2=2×70+4×50+180= 520(cm).因为560>520，所以第二种打包方式更节省打 包带 1 (3-2)×a1= 3 11.(1)由题意，可知a3= 3+2 5=15a1= 1 (2×4-6)a2= 2×4+2 10 60 (2)根据题意，易得a,= 33、11 5 1X3ag-3x5a,=7u:=7X5=7X5a,=9a,= 5 1 9×7gX7…,所以当n为奇数时，u.一nm十2 6 6 同理，a:-2X6a4=6X10a。-7a4=义6X10 1010、 1 1 14X10a=18a,=18×14×10=18X14…,所以当n 为偶数时，a.=(2n-2)(2n十2) (3)原式=a1十a3十 a5十a,十…十ag十a2十a,+a6+…+a10m- 21-3+ 3-号+日-+…+0-)+(-+日 0+-++)×+子×器 100,25125 202202-202 综合与实践3从拼图小游戏到密码中的数学 1.D由题图②，可得4a十b=38,故选项A错误，不符合题 4 意：由题意，易得6=2=2,1片拼图的长度为a十b)m因 为b=2,4a十b=38,所以a=9.所以1片拼图的长度为 9十2=11(cm).故选项B错误，不符合题意；将拼图紧密拼 成一行时，每增加一片拼图，总长度增加11一2=9(cm),故 选项C错误，不符合题意；将n片拼图紧密拼成一行时，总 长度为(9n十2)cm,故选项D正确，符合题意， 2.B由题图，得1张桌子可坐人数为6+2=6+2×1， 2张桌子拼在一起可坐人数为6十2十2=6+2×2,3张桌 子拼在一起可坐人数为6+2十2十2=6十2×3,4张桌子拼 在一起可坐人数为6十2十2+2+2=6+2×4…依此类 推，n张桌子拼在一起可坐人数为6十2m. 3.(1)I love you.(2)world..将26个英文字母a,b, C,…,z依次对应序号1,2,3，…，26，列表如下 字母a b c d e f g h i j k 1m 序号123 4 5678910111213 字母n o p q r s t u v w x y z 序号14151617181920212223242526 按照题意，21对应的明文为w,13对应的明文为0,34对应 的明文为r,22对应的明文为1,6对应的明文为d,所以将 密文“211334226”译成明文为“world”. (3)“teacher'”用序号表示为“205138518”， “xdberdw'”用序号表示为“2442318423”，因 为24=空+14,18=8+14.23=+14,4=号×(5+ 3,2=号×1+3》，3=号×(3+3).所以当明文对应的序 号x为奇数时，密文对应的序号为，(x十3)：当明文对应 的序号x为偶数时，密文对应的序号为号十14. 第三章拔尖自主测评 1.C因为1-m-(-m)=1-m+m=1>0,所以1- m>-m,即1-m的值比-m大.1-m-1=一m,因为m 的值不确定，所以无法判断一m与0的大小关系，即无法 判断1一m与1的大小关系. 2.C表示a的3倍与b的差的平方的代数式为(3a-b) 3.DA.x十y=6,这两个量的和一定，x和y不成反比例 关系，故不符合题意；B.2(x十y)=10,这两个量的和一定， x和y不成反比例关系，故不符合题意；C.x十x十y=12, 这两个量的积无法确定，所以x和y不成反比例关系，故 不符合题意：D.xy=8,这两个量的积一定，x和y成反比 例关系，故符合题意！ 4.C由题意，得n=200.A.若1=400，则=2000 400 5,故选项A说法正确，不符合题意；B若=8，则t= 2000 8 =250,故选项B说法正确，不符合题意；C.若t减小， 则v将变大，故选项C说法错误，符合题意：D.若t减小一 半，则v增大一倍，故选项D说法正确，不符合题意 5.C若输人m=1,则12一4=1一4=一3<5，将m=一3 代人m2-4,得(-3)2一4=9-4=5，将m=5代人m2- D 4,得52一4=25一4=21>5，所以输出的结果为21. 6.B因为m2十mm十1=0，所以2(m2+mm+1)=0,即 2m2+2m十2=0①.因为n2+3m十7=0，所以3(n2十 3mm+7)=0,即3n2+9mn+21=0②.由①+②，得 (2m2+2mm+2)+(3m2+9mm+21)=0,所以2m2+ 11m+3n2+23=0.所以2m2+11mm+3m2=-23. 7.B由题知，第①个图案用的木棍根数为8=1×3+5： 第②个图案用的木棍根数为11=2×3+5；第③个图案用 的木棍根数为14=3X3十5…所以第@个图案用的木棍 根数为3m+5.当n=8时，第⑧个图案用的木棍根数为3× 8+5=29. 8.C由题意，易得正方形的边长为bcm.①窗户外围的 周长=2b+2c+6+2×2a=(36+2c+m)cm,故①正 确.②窗户的面积等于半圆面积加上大长方形的面积，即 号a2+6(2c+6)=(号a2+2张+6)）m.故@错误 ③根据大长方形的长相等，所以b十2c=2a.故③正确. ④无法求得b=3c,故④错误.综上所述，一定正确的共有 2个. 9b+号：由题意，得上部分的面积为7x×(台)- 令.因为AB=a,AD-b,所以长方形的面积=山，所以 这个平面图形的面积是ab+b?. 8 10a:-b涂色部分的面积=正方形的面积一两个 1 三角形的面积=-a-子4·0号×3×04-号6， 11.22当x=2时，ax3-bx+1=a·23-b·2+1= 8a-2b+1=-17,所以8a-2b=-18.所以4a-b=-9. 当x=-1时，12a.x-36bx3-5=12a×(-1)-3b× (-1)3-5=-12a+3b-5=-3(4a-b)-5,把4a- b=一9代入，得原式=一3×（一9）-5=27一5=22. 1213因为3x2一5与-x十4互为“代换数”，所以3x2 5一（一x十4）=0.所以3x2+x=9.所以6x2+2x一5= 2(3.x2+x)-5=2×9-5=13. 13.(11n+11)因为第1个图形中火柴棍的根数为22，第 2个图形中火柴棍的根数为33=22十11×(2一1)，第3个 图形中火柴棍的根数为44=22+11×(3一1)…所以第 n个图形由22+11(n一1)=(11n十11)根火柴棍拼成. 8