福建省福州第一中学2027届高三第一学期第二次质量检测数学试题

福州一中2027届高三第一学期第二次质量检测 高三数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4.若正数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C.4 D.3 5.已知函数的定义域是，，函数是奇函数，函数的图像关于直线轴对称，则（ ） A.是偶函数 B.是奇函数 C. D. 6.已知函数，若函数为偶函数，则（ ） A.， B.， C.， D.， 7.已知实数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 8.一条直线与函数和的图像分别相切于点和点，则的值为（ ） A.2 B. C.0 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知，，，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 10.设函数，则下列结论正确的有（ ） A.对任意，函数的图像存在对称轴 B.曲线在处的切线方程为 C.当时，函数的最小值为 D.当时，是函数的极小值点 11.已知，，均为大于1的实数，若，则，，的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数的定义域为_________. 13.已知函数为偶函数，且满足，当时，，则实数_________，_________. 14.某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分.如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为米_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）记的内角，，的对边为，，，已知，. （1）求； （2）设，求边上的高. 16.（15分）已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求，； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围. 17.（15分）已知数列的前项和满足，，为常数，且. （1）求的值； （2）证明：为等差数列； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 18.（17分）已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）设有且仅有一个极值点，求的取值范围； （3）若函数存在2个极值点，，且满足，求证：. 19.（17分）分离函数的思想在现代数学的不少分支如凸分析、拓扑学等中有很多体现，在应用数学如信号理论、数据聚类与分类分析等分支中也有不少运用.在初等数学中，若有三个互不相同的函数，，，当在某个区间上恒有成立时，可以作为和在该区间上的分离函数. （1）试判断是否可以作为和在区间上的分离函数；请说明理由； （2）请直接写出一个二次函数，使得它是函数和函数在区间上的分离函数，并证明你的结论； （3）若存在实数和，使得函数可以作为函数和函数在区间上的分离函数，且满足，求的最大值. 福州一中2027届高三第一学期第二次质量检测 高三数学试卷参考答案 完卷时间：120分钟 满分：150分 1—8.【答案】DBDA BCBA 9.BCD 10.AC 11.ABC 12. 13.， 14.20. 14解：由，可得是直角三角形，其面积， 不妨设，，， ①若，在，上，如图： 设，，，， 则有，解得， ，即，当且仅当时等号成立； ②若，在，上，如图：设，， 则有，解得， ，即，当且仅当时等号成立； ③若，在，上，如图： 设，，，， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； 因为，所以的最小值为20，即水管的最短长度为20米.故答案为：20. 15.解：（1）因为，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 整理得：，所以， 又因为，且，所以. （2）由正弦定理得：， 所以， 由（1）得，，，， 所以， 设边上的高为，则，所以边上的高为12. 16.解：（1）已知，求导得， 曲线在点处的切线方程为，切线斜率，且， 代入计算：，， 故，. （2）由（1）得，则， 求导得， 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，求导得， 因为时，，所以，即在上单调递增， 因此， 故，即的取值范围为. 17.解：（1）数列的前项和满足，，为常数， 可得，即有， 由，可得，解得； （2）证明：由，可得， 当时，， 化为，即为， 可得是公差为2的等差数列； （3）若，，即为若， 化为， 由，，可得， 综上，可得的取值范围是. 18.解：（1）当时，， ，令， ， 令得的增区间是， 令得的减区间是， 所以， 所以对任意，函数恒成立， 所以的单调递减区间是；无单调递增区间. （2），， ， 法一：设，则； 有且仅有一个极值点，等价于有且仅有一个变号零点. ①当时， 恒成立，所以， 所以在上单调递增， 且， 且 【左边取点思路：不妨限制在时取点，因为，所以， 所以，解得】 所以有唯一变号实数根， 且时，时， 所以有且仅有一个极小值点，符合题意. ②当时：令得， 在上单调递增，在上单调递减， 最大值， 令，在单调递减，并且， 所以时；时， （ⅰ）若，，，无变号零点，不满足题意； （ⅱ）若，，， 取，， 取，， 结合，上单调递增，在上单调递减， 所以在，上分别存在一个变号零点，有2个极值点，不符合题意. 【左边取点思路：因为，，所以， 所以，解得】 【右边取点思路：先证明，在时取点， 因为，所以丢掉放缩， 所以，解得】 综上所述，的取值范围是. 法二：由可得，令，， 则， 令，在上单调递减，且， 则当时，，，即在上单调递减， 时，，则，即在上单调递增， 又因为，且时，；且时，， 时，， 要使得有且只有一个变号根，故； （3）证明：由，可得， 令，则，由，得，由得， 故在上单调递减，在上单调递增，且，当时，， 因，对于，有，，故，， 则由，又，故， 令，，则， 因，，则，故在上单调递增， 又，，， 则在上存在唯一解，∴， 又， ， 则有，故， 故可得. 19.【小问1详解】可以.理由如下： 因为恒成立，且恒成立. 所以可以作为和在区间上的分离函数. 【小问2详解】 函数【答案不唯一，，都可以】 ①先证，令，，则， ，在单调递减，，所以 ②再证 令，定义域. 求导：. 因为，所以，，，故恒成立. 所以在上单调递增，. 所以，即成立. 【小问3详解】 由各函数在区间上的函数值大小关系， 记，， 则根据函数形态可以画出草图如下. 由于和都是偶函数，图像关于轴对称，要使为和在的某个子区间上的分离函数，且当时，恒成立， 所以存在使得直线与的图像相切，并且切点的横坐标， 在上，对求导得，， 则当时，的图像在处的切线方程为， 即，于是，. 设直线与的图像交于点，， 由得， 则， 所以，，. 由二次函数在时单调递减， 因此当时，取得最大值. 其几何意义为，当直线为水平线时， 作为分离函数的区间长度达到最大值，即直线与在两个交点的距离. 综上，最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $