安徽省六安市叶集区叶集皖西当代中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

叶集皖西当代中学高二年级10月月考 数学(A)参考答案 1.C解析：对于A,相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误；对于 B,零向量的方向是任意的，故B错误；对于C,相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确；对于D,由于向量 可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误.故选C. 2.C解析：DB+BC-AC=DC+CA=DA.故选C. 2=-4λ 3.B解析：由题意可设a=λb,λ∈R,即(2，一3,1)=λ(-4，m,n),所以一3=λm,解得 m=6,所以m十n=4.故选B. 1=λn (n=-2 4.D解析：因为5x+3)一6=0，所以y=号x+2,即斜率及=-5， ，设倾斜角为a,则ana=及=-9，因为0°<a< 180°，所以a=150°.故选D. -2,4P 5.D解析：由题意知直线l:y=kx一1过定点P(0,一1)，如图所示，则kA= -1-0=1 0-2=2,k阳= 。十2=一号，由图像得直线的斜率的取值范围是≤-或>2故选D 0+2 0A2,0)x 6.A解析：直线3x十y一4=0可化为y=一3x+4,斜率为一3.所求直线与已知直线平行，故斜 P0-1) 率也为一3.又所求直线经过点P(2,1),由点斜式得y-1=-3(x一2)，整理得y-1=一3x+ 6,即3x十y-7=0.故选A. 7B解析：由题意可得：Ai=A店+B丽+Bi-A店+AM+号C=A+AM+号(AC-A)=号+号AC+ AA-号a+号b十e放选B 8.D解析：取AC的中点D,连接BD,SD,因为△SBC是等腰直角三角形且BS=BC,所以SB⊥S BC,又平面SBC⊥平面ABC,平面SBC∩平面ABC=BC,SBC平面SBC,所以SB⊥平面 ABC,因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC,则SA=SC,设△ABC的中心为E,过点E作平 面ABC的垂线，可得球心0在此垂线上，则OE/SB,易得BE=号BD=号ABsn60=号×2× 号-，即0E-号SB-1,则OB-BE十0B-专+1-号，所以球0的表面积为红·号 2故选D, 9.ACD解析：对于C,:直线L的方程为2x一y一6=0，化为斜截式得：y=2x一6，心当x=0时，y=一6，司 即直线l在y轴上的截距为一6，故C正确；对于D,当y=0时，x=3,即直线1在x轴上的截距为3，故D 正确；对于A,直线1经过第一、三、四象限，故A正确；对于B,直线l斜率为k=2,∴直线1的一个方向 向量为(1,2)，（一1,2）对应斜率为一2，.(-1,2)不是直线1的方向向量，故B错误.故选ACD. -6 10.ABD解析：对于A,由空间向量数量积定义：a·b=alblcos<a,b>,a,b都是非零向量，a·b=0→cos<a,b>=0,夹 角为90°，即a⊥b,故A正确；对于B,a·b|=||a|b|cos<a,b)|=|a|b|·|cos<a,b>,因为cos≤1，所以 |a·b≤a·b,故B正确；对于C,若a=b=0,则a∥b且a=b对任意实数入都成立，入不唯一，故C错误；对于 D,三个非零向量两两垂直，任意一个向量都不能用另外两个向量线性表示，因此，b,c不共面，空间基底的定义：一 组不共面的三个非零向量可以作为空间的一个基底，故D正确.故选ABD. 【高二月考·数学(A)答案第1页（共4页）】 Z342B 11.BC解析：对于A,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,之轴，建立空间直角坐标系 D 如图所示，根据题意得，B(1,2,0),E(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,2,1),C(0,2,0),则 ED1=(-1,-1,1),所以线段ED1的长度为|ED1=√3，故A错误；对于B,又B1C= (-1,0,-1),所以异面直线D,E和B1C夹角余弦值为：|cos(ED1,B1C)|= D4.. ED·Bg=1一1=0，故B正确；对于C,设直线DE上存在点F满足 |EDB.C1√3X√2 脏.D店0，且DE=1l,-1,则D=D店=1,1，-1)=a,-》,所以 (D F=DE FaA,1-0,则B=a-1A-2,1-0,又B苏.D龙=0，所以入-1+入-2十入-1=0，解得入=号，则B萨= (兮-号，-号，所以点B到直线D,E的距离为：B时=√+（一专+（一-5，故C正确：对于D,因为 Venx=VeE=号SaE·DD,=号×号×1XIX1=G,故D错误.放选BC. 12.-2解析：因为l1:ax十2y十6=0与l2:x十y十3=0垂直，则a×1+2×1=0,解得a=-2.故答案为-2. 13.(0,0,3)解析：由a=(0,0,2),b=(一1,1,1)，则a+b=(-1,1,3),则向量a十b在向量a上的投影向量为 a82:0a=9×0,0,2)=(0,0,3).故答案为(0,0,3) 14.一手解析：如图所示，以D为坐标原点，以DA,DC,DD,分别为xy,轴，建立空间直 D12 角坐标系，则D(0,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),C(0,2,2),D1(0,0,2),设点P(a,b,c),4 (a=-λ+1 BP=ABC1,λ∈[0,1]，即(a-1,b-2,c)=λ(-1,0,2)，可得b=2 ,即 c=2λ P(-1十1,2,2)，所以CP=(-入+1,0,2)，D1P=(-入+1,2,2λ-2)，则CP·D1P (一+1)+2a(2x-2)=5x-6以+1=5a-2)-号，则当X=是时，C本.D户取得最小 值，此时最小值为一青故答案为一号 15.解析：(1)因为向量a=(1,0,1),b=(2,-2,0), 所以2a十b=(2,0,2)+(2,-2,0)=(4,-2,2). (4分) (2)由题意，向量a=(1,0,1),b=(2,-2,0), .|a=√/12+02+17=√2，|b|=√22+(-2)2+02=22.… (8分) (3)因为a·b=1×2+0×(-2)+1×0=2, 所以o9-合治3X25合 2=1 … (12分) 由0e[0,小，可得g=号…（13分） 16.解析：(1)冉题可得，0°-2oi+20D-20A+22oi+2o0-2a+b+1c ………………(7分)》 (2)由题意，b·a=2X4cos60°=4，a·c=4X4c0s60°=8，…(9分) 由(1得0=名0+6+宁, (11分) 所以o°.0A=(分a+b+子c)·a=号×16+4×+号×8=1. (15分) 17.解析：(1)设与直线3x-2y十3=0平行的直线方程为3x-2y十a=0,…(2分) 由于过点A(1,2),代人3X1-2X2十a=0,獬得a=1,…(5分) 所以直线方程11为：3x一2y十1=0.……（7分) (2)由题意知B(1,2),C(-3,4),则线段BC的中点M(一1,3)，… (8分) 直线BC的斜率kc三4号二二之≠0，……… (10分) 【高二月考·数学(A)答案第2页（共4页）】 Z342B 因为直线l2与直线BC垂直，则有c·,=一1，所以k2=2,…(12分) 再由直线l2经过点M(一1,3)，则由点斜式方程可得直线l2的方程为：y一3=2(x十1)， 化为一般式为：2x-y十5=0.…(15分) 18.解析：(1)证明：因为ABCD-A1B1C1D1是长方体， 所以AB⊥平面ADDA1,…(2分) 而A1DC平面ADD1A1,所以AB⊥A1D,… (4分) 又因为AA1=AD=2,所以侧面ADD1A1是正方形，因此AD1⊥AD,… (6分) 因为AB∩AD1=A,AB,ADC平面ABCD1, 所以A1D⊥平面ABCD.… (8分) (2)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，D(0,0,0),E(2,号，0)，A1(2,0,2),B(2,1,0),D1(0,0,2), BD=(-2,-1,2),D2=(2,2,0),DA=(20,2),…(10分) D 设平面A1DE的一个法向量为m=(x,y,z), 则有 [m…D成=2z+2y=0 ,令x=1,解得m=(1,-4,-1),…(14分) m·DA1=2x+2z=0 因为BD·m=-2X1十(-1)X(-4)+2X(-1)=0,…(16分) 而BD中平面ADE,所以BD∥平面ADE.…. (17分) 19.(1)证明：AP=√3，PD=2,AD=1, ∴.PD2=PA2+AD2, ∠PAD=90°，即PA⊥AD. (2分) 又·平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD,PAC平面PAD, .PA⊥平面ABCD.……(4分) (2)方法一：(1)取BC中点E, 则CD=BC=-1,AD/CE, .四边形AECD为正方形，.AE⊥AD,… (5分) 由(1)知PA⊥平面ABCD, AP,AD,AE两两垂直，以A为原点，AE,AD,AP分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系，如图所示. 其中A(0,0,0),P(0,0W3),B(1,-1,0),C(1,1,0),D(0,1,0), M3-).Ci=(--9.i=(-1,0.0Pi=01,-, (6分) 设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,之)， fn·CD=0fx=0 由 得， n·PD=0y-V3x=0 XKE 令之=1得平面PCD的一个法向量为n=(0W3,1), cosCM,>= CM·n--3=-3四 ICMIInl 13x2 13 2 CM与平面PCD所成角的正弦值为. (10分) (i)BD∥平面a,BDC平面PBD,平面PBD∩平面a=MN,∴.MN∥BD, N为PD的中点N0,日停. (11分) 设AL=AAP,0<<1,则L(0,0W3), 则i=(-23以-，M=(-名1,0… ……… (12分) 【高二月考·数学(A)答案第3页（共4页）】 Z342B 设平面a的一个法向量为m=(x,y,之)， 1 m·MN=0 -2x+y=0 由 ,得 m·CM=0 133 -2-2y+=0 令y=√3得平面CMN的一个法向量为m=(23W3,5),… (14分) 由ML·m=0, 可得(-2×25+号×5+(x-)x5=0, 解得A=号L00,33). NL=√-0+)-语 5 …(17分) 方法二：(i)取BC的中点E,连接ME,则ME∥PC, ,ME丈平面PCD,PCC平面PCD, ME∥平面PCD,… …(5分) ∴点M,E到平面PCD的距离相等，记为h 由Vcae=Veam得3 SACDE·PA=}Sam·h, 即号×（号×1X1D×5=3×(号×2X1D·h, 故= 2 …………… …(7分) 在Rt△PAB中，PB=√PA2+AB=√3+(1+1=√5=PC e∠Pc-器清 …(8分) ∴.CM=√BMP+BC-2BM·BC·cOs∠PBC= V骨42x号×2x3-要， ∴CM与平面PCD所成角的正弦值为点g-震 …………………………………（10分) (i)取PD中点为N,则MN∥BD, ,BD￠平面CMN,MNC平面CMN, .BD∥平面CMN,… ………（12分) 又BD∥平面a,故平面CMN即为平面a: 已知PA∩a=L,设PA=λPL, PB-PD+2 DA+DC- B PD+2(PA-PD)+(PC-PD)=2 PA+PC-2 PD,............ (13分) ,M,N分别是PB,PD的中点， ∴.2PM=2λPL+PC-4PN, ,L,M,C,N四点共面， 2=2At1-4,即A=号放PL=号PA=25 5· …(14分) 在△PLN中，∠LPN=30,PN=PD=1, .LN=√PL+PN2-2PL·PNcos30= V号+129x1x-号 5 …（17分) 【高二月考·数学(A)答案第4页（共4页）】 Z342B叶集皖西当代中学高二年级10月月考 数学(A) 考生注意： 1.木试卷满分150分，考试时间120分仲。 2.考生作答时，请将答案填在答題卡上。选择题每小题选出答案后，用2B船笔把答题卡上对应题目的答 出 案标号涂R:非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区战内作答，超出答 题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章一第二章第二节。 園 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 地 题目要求的、 助 1.下列关于空间向量的说法正确的是 A.空间中任意两个单位向量都相等 B.空间中零向量的方向是确定的 C.空间中相反向量的模长相等 D.空间中共线的向量必在同一条直线上 ☒ 2.如图，在三棱锥ABCD中，DB十BC-AC 9 A.DC B.CD 敬 C.DA D.AD 宙 3.已知a=(2,-3,1),b=（-4,m,n),且a∥b,则m十n= A.3 B.4 C.5 D.6 图 如 4.已知直线，√3x十3y一6=0，则该直线的倾斜角是 A.30° B.609 C.1209 D.150° 5.已知点A(2,0),B(一2,4)，若直线l:y=kx一1与线段AB相交，则实数k的取值范围为 A长-号 Bk≥司 那 C-8<≤ D,长-8或≥时 6.经过点P(2,1),且与直线3x十y一4=0平行的直线方程为 A.3x+y-7=0 B.3x+y-5=0 C.x+3y-5=0 D.x-3y+1=0 【高二月考·数学(A)卷第1页（共4页）】 Z342B 扫描全能王创建 7.如图，在三棱柱ABCA,BC中，点M在线段B,C1上，且B,M:MC,= 1:2.若AB=a,AC=b,AA1=c,则AM可表示为 Aa+号b+c c号a+b+c Da+号+c 3 8.三棱锥SABC的各个顶点都在球O的球面上，△ABC是等边三角形，△SBC是等腰直角三角 形且BS=BC,平面SBC⊥平面ABC,AB=2,则球O的表面积为 A智 B c D.28x 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线l的方程为2x-y一6=0，则 A.直线l不经过第二象限 B.直线l的一个方向向量为（一1,2） C.直线l在y轴上的截距为一6 D.直线l在x轴上的截距为3 10.关于空间向量，下列说法正确的是 A.对于非零向量a,b,若a·b=0,则a⊥b B.对空间任意两个向量a,b有|a·b|≤|a|·|bl C.若a∥b,则存在唯一实数λ，使a=b D.若三个非零向量a,b,c两两垂直，则a,b,c可构成空间的一个基底 11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1,AB=2,若E为AB的中点，则以下说法 中正确的是 A.线段ED1的长度为8 0 B.异面直线D,E和B1C夹角的余弦值为0 C,点B到直线D,E的距离为写 D.三棱锥BD,EC的体积为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若l1:ax十2y十6=0与l2:x十y十3=0垂直，则a= 13.已知向量a=(0,0,2),b=(一1,1,1)，则向量a十b在向量a上的投影向量为 【高二月考·数学(A)卷第2页（共4页）】 Z342B 扫描全能王创建 14.在长方体ABCD-A,B1CD中，CC,=CD,=2,CB,=1,P为线段BC,上一动点，则CP· D,P的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知向量a=(1,0,1),b=(2,一2,0)，求： (1)2a+b; (2)lal,Ibl; (3)求a与b的夹角0. 16.(15分) 如图，在空间四边形OABC中，点D,E分别为BC,AD的中点，设OA=a,OB=b,OC=c. (1)试用向量a,b,c表示向量OE; (2)若OA=OC=4,OB=2,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，求OE· OA的值. 17.(15分) 求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： (1)过点A(1,2),且与直线3x一2y+3=0平行的直线方程l1; (2)已知B(1,2),C(一3,4)，求线段BC的垂直平分线l2的方程. 【高二月考·数学(A)卷第3页（共4页）】 Z342B 扫描全能王创建 18.(17分) 在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=1,AA,=AD=2.点E为AB中点. (1)求证：A1D⊥平面ABCD,: (2)求证：BD1∥平面A,DE. 19.(17分) 在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AP=√5，PD=2.在梯形ABCD中，AD∥ 长 BC,∠BCD=90°，AD=CD=1,BC=2. (1)证明：PA⊥平面ABCD; (2)若M为棱PB的中点. (I)求CM与平面PCD所成角的正弦值； (I)过CM作平面a,使得BD∥平面a,记a与棱PA,PD的交点 分别为L,N,求LN. 【高二月考·数学(A)卷第4页（共4页）】 Z342B 扫描全能王创建