精品解析：安徽省蚌埠市A层高中2026-2027学年高二上学期10月素质评价数学试题

10月份素质评价 高二数学 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与轴平行，求出倾斜角. 【详解】因为直线方程为：，与轴平行，所以直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 3. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或 C. D. 与相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以， 所以或. 4. 已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直时斜率的关系，以及点斜式方程定义，求出结果即可. 【详解】直线的斜率为，则与它垂直的直线l的斜率为， 又直线l过点，，即. 故选：A. 5. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由二面角的平面角的定义知， ∴， 由，得，又， ∴ ， 所以，即. 故选：C. 6. 如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】D 【解析】 【分析】以向量为基底，通过空间向量的加减及数乘运算，分别写出，结合数量积运算公式、空间向量的模长计算公式、异面直线所成角的向量计算公式，分别计算求解，进而判断各选项. 【详解】对于A，由题意， ，故A错误； 对于B，记， 所以，， 所以，，故B错误； 对于C，， 所以 ，故C错误； 对于D，因为，, 所以，， ， 又因为 ， 所以，所以直线与所成角的余弦值为. 故D正确. 故选：D. 7. 数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，计算出重心坐标后代入欧拉线方程，再求出外心坐标，根据外心的性质列出关于的方程，最后联立解方程即可. 【详解】设，由重心坐标公式得，三角形的重心为， 代入欧拉线方程得：， 整理得： ① 的中点为，， 的中垂线方程为，即. 联立，解得. 的外心为. 则， 整理得： ② 联立①②得：或. 当时重合，舍去. 顶点的坐标是. 【点睛】解决本题的关键一是求出外心，二是根据外心的性质列方程. 8. 正四面体棱长为2，点为其外接球球心，点满足，且点在平面上，则三棱锥体积最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四面体性质以及空间向量基本定理可得，再由锥体体积公式计算可得结果. 【详解】设中心为，如下图： 由正四面体性质可知， 利用勾股定理可得，即，解得； 因此可得； 所以； ，可得，即， 当且仅当时，等号成立. 此时满足， 易知， 因此. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 10. 在空间直角坐标系中，已知过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．根据上述材料，解决以下问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线经过点 B. 直线的一个方向向量为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 若点，则点到平面距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，可通过联立平面方程求出其方向向量和直线上一点；对于C，直线与平面所成角，可利用向量的夹角公式求解；对于C，点到平面的距离，可根据点到平面的距离公式计算. 【详解】对于A，已知直线是平面与的交线，对于平面，，满足该平面方程. 对于平面，，满足该平面方程.所以点在直线上，A选项正确. 对于B，设平面的法向量为，平面的法向量为. 因为直线是这两个平面的交线，所以直线的方向向量与、都垂直. 根据向量垂直的性质，设 ，则，即， 令，取，B选项正确. 对于C，已知平面的方程为，则平面的法向量为. 设直线与平面所成角为，直线的方向向量为. 根据直线与平面所成角的向量公式，可得： 则. 因为，所以，C选项错误. 对于D，前面知道平面：的法向量为，取面上一个点，又，则， 根据点到平面距离公式得到， 可得点到平面：的距离为，D选项正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，，，，则（ ）． A. 当时，平面 B. 当时，平面 C. 当时，三棱锥体积的最大值为 D. 当时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标关系即可求解AB，利用体积公式，结合二次函数的性质即可求解C，根据两点距离公式，结合对称关系即可求解D. 【详解】以A为原点建立坐标系，则，，, ，，, 时，,故， ,故， 平面，故平面，A正确， 当时，， 由于，故，， 平面,平面,故平面，B正确； 由 当时，， ，故C错误； 当时，则， ， 可将看作是平面内到点的距离之和， 如图：作出关于直线的对称点， 则的最小距离为与点之间的距离， 故， 过与点的直线方程为，令，则， 故当时取等号，D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：，将看作是平面内到点的距离之和，利用对称求解即可. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 直线与直线的夹角的大小为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出两直线的方向向量，再利用向量夹角求法，求得两直线的夹角． 【详解】直线与直线的方向向量分别为： ， 所以， 所以夹角的大小为． 故答案为：． 【点睛】本题考核学生对平面向量知识点的应用，利用平面向量解决直线夹角问题． 13. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】空间直角坐标系中，关于坐标平面对称的点，其横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数. 【详解】由题意得，点关于坐标平面的对称点坐标为. 故答案为： 14. 已知在平面内，点到直线的距离．此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法．现在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为，则点到平面的距离．如图，底面边长为2，高为1的正四棱锥中，点到侧面的距离等于___________． （备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面） 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由待定系数法求得面的方程，由定义求得点到面的距离. 【详解】以底面的中心为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，. 设平面的一般方程为（,）. 将三点坐标代入方程得 解得，，. 由不全为知，代入方程得， 化简得. 根据空间点到平面的距离公式，点到平面的距离： . 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知空间中三点，，. （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【小问1详解】 由可得， 故. 【小问2详解】 易得，又，且， 则向量在向量上的投影向量为. 16. 已知直线l：． （1）求证：直线l过定点； （2）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程． 【答案】（1） 由l：，即，则， 解得，所以直线过定点． （2）． 【解析】 【分析】（1）直线方程可化为，故直线过直线与直线的交点，联立求交点可得结论； （2）求直线与坐标轴的交点，表示三角形面积，结合二次函数性质求最值可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知直线l：，且由题意知， 令，得，得，令，得，得， 则，， 所以当时，S取最小值， 此时直线l的方程为，即． 17. 如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面． （1）证明：平面； （2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为为的中点，，所以. 因为平面，平面，所以. 又，平面，且， 所以平面． （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，设，根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以，. 因为四边形为菱形，且，所以. 由（1）知，，两两垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设． 又，所以， 设平面的一个法向量， 则，即，令，则，，所以， 记直线与平面所成的角为， 则，解得（负根舍去）， 此时为的中点，所以在棱上存在点满足条件，此时． 18. 已知直线l1，l2的方程分别是，点A的坐标为（）.过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）. （1）若，且A为线段MN中点，求实数a的值及的面积； （2）是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由. 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由直线的方程为，联立方程组分别求得点的坐标，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，由（1）求得， 得到，进而得到结论. 【小问1详解】 因为直线 l过点，且斜率为，所以直线的方程为， 因为直线与分别交于点，所以 ， 由 ，解得 ，即 ， 由 ，解得 ，即， 又因为的纵坐标均为正数，所以 ，即， 因为 ，所以 若时，，， 又因为点为线段中点，所以解得， 所以，，所以，的面积． 【小问2详解】 假设存在满足题意的，使得的值与无关， 由（1）知：， 且， 因此，， 所以， 因为 ，所以当时，为定值， 所以存在实数，使得的值与无关． 【点睛】关键点点睛：（2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，求得，， 得到，进而得到结论. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．例如：正四面体在顶点A处的离散曲率为．如图，在三棱锥中． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和； （2）若平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为． （i）求点到平面的距离； （ii）若点为的中点，则在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）根据离散曲率的定义分别计算各个顶点处的离散曲率，再利用三角形内角和计算即可； （2）利用线面垂直的性质和判定证得，即，根据离散曲率的定义计算得， 解法1：根据点面距离的定义作出点到平面的距离线段，根据边角关系求解即可； 解法2：利用等体积转换法即可求出； 解法3：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量代入公式即可； （3）如图建立空间直角坐标系，利用向量法计算线面角的正弦值，即可得解. 【小问1详解】 由离散曲率的定义得： ， ， 因为，同理可得其他三个三角形内角和为， 所以； 【小问2详解】 由平面ABC，平面ABC，得， 又，AC，平面PAC，则平面PAC， 由平面PAC，得，即， 又，即，解得． 解法1：过点A作于点M，由平面PAC，平面PAC，得， 又平面PCB，则平面PCB， 因此点A到平面PCB的距离为线段AM的长． 在中，，所以，点A到平面PBC的距离为． 解法2：设点到平面的距离为， 则，， 所以，即点到平面的距离为． 解法3：过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得，， 设平面PBC的法向量， 则，即，令，则，得， 所以点到平面的距离． （ii）存在．过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得： ， 所以， 设，则， 设与平面所成的角为，因为，所以， 设平面的法向量， 则即 令，则，得 则， 整理得，解得： ， 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10月份素质评价 高二数学 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或 C. D. 与相交但不垂直 4. 已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 6. 如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 直线与所成角的余弦值为 7. 数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 正四面体棱长为2，点为其外接球球心，点满足，且点在平面上，则三棱锥体积最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 10. 在空间直角坐标系中，已知过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．根据上述材料，解决以下问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线经过点 B. 直线的一个方向向量为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 若点，则点到平面距离为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，，，，则（ ）． A. 当时，平面 B. 当时，平面 C. 当时，三棱锥体积的最大值为 D. 当时，的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 直线与直线的夹角的大小为____________. 13. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点坐标为________． 14. 已知在平面内，点到直线的距离．此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法．现在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为，则点到平面的距离．如图，底面边长为2，高为1的正四棱锥中，点到侧面的距离等于___________． （备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知空间中三点，，. （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标. 16. 已知直线l：． （1）求证：直线l过定点； （2）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程． 17. 如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面． （1）证明：平面； （2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 18. 已知直线l1，l2的方程分别是，点A的坐标为（）.过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）. （1）若，且A为线段MN中点，求实数a的值及的面积； （2）是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．例如：正四面体在顶点A处的离散曲率为．如图，在三棱锥中． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和； （2）若平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为． （i）求点到平面的距离； （ii）若点为的中点，则在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $