期中复习专题3——拓展探究与压轴突破- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

期中复习专题3一一拓展探究与压轴突破 (苏科版九年级上册：期中核心考点) 一、专题定位 本专题面向九年级优生培优拔高，整合第1章一元二次方程、第2章反比例函数、 第3章圆（3.1-3.4)单章难点与多章节跨模块综合压轴考点。聚焦数形结合、分类讨 论、几何建模、动态探究四大核心数学思想，精准对标江苏新版苏科九上期中多问压轴大 题。重点训练学生挖掘题干隐含条件、拆解复杂综合题型、处理参数问题与几何动态探究 问题的能力，攻克参数分类讨论、函数几何综合、代数几何联动、动态存在性等高难度拉 分题型。适配期中第三轮培优冲刺、压轴专项讲评、优生拔高限时训练，助力学生突破高 分瓶颈。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 含参数一元二次方程多情况分类讨论；一元二次方程在几何背景下的 一元二次方程 线段、半径长度求解；以一元二次方程为核心代数工具，完成函数、 几何问题的参数分析与条件推导 反比例函数与几何图形多问面积、线段综合探究；反比例函数图像性 反比例函数 质复杂应用与参数分析；动点背景下反比例函数几何关系推导与计算 圆内多问角度、线段综合证明与计算；圆背景下等腰三角形、直角三 圆（3.1-3.4) 角形存在性探究；圆内动点轨迹与几何条件分析；结合分类讨论思想 解决圆的多情况综合问题 三、压轴与拓展 题型1：含参数一元二次方程分类讨论综合题 1.(26-27九年级上江西上饶阶段检测)已知关于x的方程x2+2+k2-2k+1=0有 两个实数根，x. (1)求实数k的取值范围： (2)若(2x+(2x+)=45,试求实数k的值. 【答案】（①k之2：(2）k=5 【分析】(1)计算一元二次方程根的判别式，令△≥0，解不等式，即可求解： (2)根据根与系数的关系可得x+七2=-2k,xx2=k2-2k+1,代入已知，解方程，求得k的 值，结合(1)的结论，即可求解 (1)解：由条件可知，△=(2k)2-4x1×(k2-2k+)20, 整理得8k-4≥0， 解得k 1 (2)解：x2+2+k2-2k+1=0, 根据根与系数的关系可得x+x2=-2k,xx2=k2-2k+1. (2x+1(2x2+1)=45, .4xx2+2(x+x2)+1=45, ∴.4k2-2k+1+2×(-2k)+1=45, 整理得k2-3k-10=0, 解得k=-2或k=5, 由(1)可知k≥2 1 k=5 2(26-27九年级上山东日照期中)关于x的一元二次方程x-2(m+)x+m2+5=0 有两个实数根，七，若(x-(x-)=28,则m的值为(） A.4 B.6 C.-4或6 D.6或4 【答案】B 【分析】首先需要利用根与系数的关系将条件转化为关于m的方程，再结合判别式验证即可求 解。 解：：关于x的一元二次方程x-2(m+)x+m+5=0有两个实数根x,五2， .x+x2=2(m+l),xx32=m2+5, .(x-1)(x2-1)=x2-(x+x2)+1=28. .m2+5-2(m+)+1=28,整理得m2-2m-24=0, 解得m=6或m=-4, △=[-2(m+1)]-4x1x(m2+5) =4m+8m+4-4m2-20 =8m-16≥0 .m≥2， .m=-4舍去， ÷m的值为6. 3.(26-27九年级上·江西上饶阶段检测)已知关于x的一元二次方程 x2+V-kx+1=0有两个不相等的实数根，且实数k>-7,则k的整数值为 【答案】-4或-5或6 【分析】根据二次根式有意义的条件，一元二次方程根的判别式，结合己知条件列出不等式 组，解不等式组，进而求得其整数解，即可求解， [1-k≥0 解：依题意， △=1-k-4>0,解得： k>-7 -7<k<-3 的整数值为4或5或6 k 6 4.(26-27九年级上江苏泰州阶段检测)已知关于x的一元二次方程 x2-（k+3)x+3k=0 (1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若直角△ABC的一边长a=5,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根，求k 的值. 【答案】(1)证明：：△=[-(k+3)]-4×1×3k=k2+6k+9-12k=-6k+9=(k-3)2≥0， ∴.k取任何实数值，方程总有实数根 (2)k=4或k=V34 【分析】(1)根据根的判别式和平方的非负性进行解答： (2)先利用因式分解法求出方程的两个根，然后分两种情况讨论：①当a=5是斜边时，②当 a=5是直角边时，再根据勾股定理求出K的值. 解：(1)略 (2)解：x2-(k+3)x+3k=0, (x-k)(x-3)=0 .x-k=0或x-3=0, .x=k或x=3, ,两边长b,C恰好是这个方程的两个根， :k,3为直角△ABC的两边长， ①当a=5是斜边时，2+32=52，解得k=4或k=-4(负值，舍去)： ∴.直角△ABC的三边长为3,4,5，满足三角形三边关系，符合题意： ②当a=5是直角边时，32+52=k2,解得k=V34或k=-V34(负值，舍去)： :直角△ABC的三边长为3,5，V34,满足三角形三边关系，符合题意： k=4 k=34 综上， 或 题型2：一元二次方程几何背景线段求值综合题 1.(26-27九年级上江苏宿迁·阶段检测)在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm, BC=8cm. (1)如图，点P从点A开始沿边AB向点B以lcm/s的速度运动，点Q从点B开始沿 边BC向点C以2cm/s的速度运动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发，经过几 秒，△PBO的面积等于8cm2? (2)在(I)的条件下，线段P9能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出 运动时间：若不能，请说明理由. (3)若点P沿射线AB方向从点A出发，以lcm/s的速度运动，点Q沿射线BC方向 从B点出发以2cm/s的速度移动，点P,Q同时出发，问：经过几秒，△PBO的面积为 1cm2? A-P 力 【答案】(1)1=2或4时，△PB0的面积为8cm2:(2)线段P№不能将△ABC分成面积相等 的两部分， 理由如下：设经过y秒，线段P9能将△ABC分成面积相等的两部分， 依题意得， 2*6x8=6-2yx2. 整理得，y2-6y+12=0, .△=b2-4ac=36-4×12=-12<0, 此方程无实数根， ∴线段PP不能将△ABC分成面积相等的两部分： (3)经过(3±2N2)秒或3+V10)秒后，△PB0的面积为1cm2: 【分析】(1)设经过t秒后，△PBQ的面积为8cm2,根据三角形面积公式列出关于t的方程， 求解即可： (2)设经过y秒，线段P№能将△ABC分成面积相等的两部分，根据题意，列方程，求解即 可： (3)设经过m秒后，△PBO的面积为lcm,分两种情况，当点P在线段AB上(0<m≤6和点 P在射线AB上(m>6),根据题意列方程求解即可。 (1)解：设经过t秒后，△PB的面积为8cm2,0≤1≤6， 由题意可得：6-小21=8， 整理得，2-6t+8=0, 解得4=2,42=4， “1=2或4时，△PB0的面积为8cm2: (2)解：略 (3)解：设经过m秒后，△PBO的面积为lcm2, ①点P在线段AB上，点在射线BC上(0<m≤6)， 由题意可得： 2（6-m)2m=1, 整理得，m2-6m+1=0, 解得m=3±2√2， .m=3±2W2时，△PBQ的面积为1cm2: ②点P在射线AB上，点2在射线BC上(m>6), 由思意可得：(m-6)2m=1, 整理得m2-6m-1=0, 解得，m=3±V10, 当m=3-V10时，不合题意，舍去， (3±22)(3+V1o】 △PBQ cm 综上所述，经过 秒或 秒后， 的面积为 2.(26-27九年级上·安徽宿州阶段检测)如图，四边形ABCD是边长5的菱形，对 角线AC,BD的长度分别是一元二次方程x-2(m+l)x+8m=0的两实数根，DH是AB 边上的高，则DH=() A.7 B.3 C.9.6 D.4.8 【答案】D 【分析】根据根与系数的关系得到AC+BD=2(m+),AC,BD=8m,根据菱形的性质，结合 勾股定理求出m的值，等积法求出DH的长即可 解：：四边形ABCD是边长5的菱形，对角线AC,BD的长度分别是一元二次方程 x2-2(m+1)x+8m=0的两实数根， 4C+BD=-2(m+4C-BD=8m>0.4C18D,01-4C0B-D,B=5. .AC2+BD2=(4C+BD)}-2AC.BD=4(m+1-16m=4(m-1,0A+0B2=AB2, 44ce+4BD2=(m-=25, ∴.m=6或m=-4(舍去)， AC·BD=48. ,DH是AB边上的高， :4B-DH-74C-BD=24, 24=4.8 DH= 3.(26-27九年级上四川成都阶段检测)已知方程x2-9x+14=0的两根恰好是某菱 形的对角线长，则这个菱形的面积是 【答案】7 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据 菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可 解：，x2-9x+14=0, .(x-2)x-7)=0, 解得：x=2或x2=7, ,方程的两根恰好是某菱形的对角线长， .该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ×2×7=7 .该菱形的面积为 4.(25-26九年级上安徽芜湖·期中)如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC (BC>AD),∠D=90°，BC=CD=6,∠ABE=45°，若AE=5,求CE的长. D 【答案】2或3 【分析】过点B作BF⊥AD交DA的延长线于F,可得四边形BCDF是正方形，把△BCE绕点 B顺时针旋转0°得到△BFG,可证D,A,F,G共线，证明△ABE和△ABG全等，可得AE=AG ,然后求出AF+CE=AE,设CE=x,表示出DE,再表示出AF、AD,然后利用勾股定理 列出方程求解，即可得到CE的长度 解：如图，过点B作BF⊥AD交DA的延长线于F, ADI BC,∠D=90°.BC=CD, ∴四边形BCDF是正方形， 把△BCE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG, 则CE=FG,BE=BG,∠CBE=∠FBG,∠BFG=∠C=90°， .∠BFG+∠AFB=180°， .D,A,F,G共线， ∠ABE=45°. ·∠ABG=∠ABF+∠FBG=∠ABF+LCBE=90°-∠ABE=90°-45°=45°， .∠ABE=LABG, 在△ABE和△ABG中， BE=BG ∠ABE=∠ABG. AB=AB .∴△ABE≌△ABG(SAS) .AE=AG. .AF +CE=AF+FG=AG=AE 设CE=x,则DE=6-x,AF=5-x, .AD=6-（5-x)=x+1, 在Rt△ADE中，AD+DE2=AE2, 即(x+1)2+(6-x2=52, 整理得，x2-5x+6=0, 解得x=2,x=3, 即CE的长度是2或3. D 题型3：反比例函数与几何图形面积综合压轴题 1(2627九年级上安藏淮北阶段检测)如阁，点4C在反比例函数y-兰的图象 上，点B,D在反比例函数=经的图象上，AB∥CD∥y轴，若MB=2CD=3.B与 CD的距离为5，求：-k的值. 【答案】6 【分析】设点A、C的坐标，利用ABCD‖y轴写出B、D坐标；根据线段长度列出AB、 CD的表达式，用，k表示出a,b;再结合两条线段水平距离为5建立方程，求解k-k2的 值。 k2 点B,D在反比例函数y=的图象上，AB∥CD∥y轴， 由思意得，AB=人么=2CD=么么=3. aa bb :.a=k-kz,b=-k-k 2 3” :AB与CD的距离为5， a-b=5 k-k+k=5, 23 ∴.k-k2=6 2.(25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生)如图，平行四边形OABC的顶点A,B在 函数y>o叭的图象上，边C与，轴交丁点DE1销T点E·若沿则 平行四边形OABC的面积为() A.20 B.18 C.16 D.14 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，得到So=S.COB,x:一xe=xA-xo:根据三角形的面积公 2S.COB 6 OD 8 式，求出xB一xc= OD 根据点在函数图象上，求出x,-。=E,最后根据AB3,求 出2Scos=16,即可解答。 解：，四边形OABC是平行四边形， S.4BO=S.COB:X8-Xc=X-X0: ∴.S0aBc=2Sac08, xOx). ..XB-Xc= 2S.COB OD 6 :点4在反比例函数y=下上， .0E ..OE=x-x0, 6一=AE, :xA-x0 6 .xA-0= AE 6 2S.COB ÷AEOD, OD 8 AE3' OD =2S.COB_8 :AE 6 3 解得：2 S.con=16, SSOAWC=16 3.(26-27九年级上江苏扬州阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点AB在x轴的负半轴上，且B=3AD,顶点D在函数y=x<0)的图象 上，在CD边上取点E使DE=AD,EA的延长线与y轴的负半轴交于点F,连结BF ,若△ABF的面积为18，则k的值为 B 【答案】-12 【分析】设AD=a,根据矩形性质和DE=AD证明△ADE是等腰直角三角形，进而证得 △OAF是等腰直角三角形，得到OA=OF；设D(m,m),用m,n表示出AB和OF的长，根据 △ABF的面积公式建立关于K的方程求解· 解：设AD=a, :四边形ABCD是矩形， ∴，∠ADC=90°，ADLx轴. .DE=AD=a, ∴，△ADE是等腰直角三角形， .∠DAE=45°. ADLx轴， ∴.∠0AD=90°， :点E,A,F在同一直线上， ∴.∠OAF=180°-∠OAD-∠DAE=45°. 在△OAF中，∠AOF=90°， .∠0AF=∠0FA=45, ..OF=AO 设D(m,n),其中m(0,n）0, 又点D在反比例函数少图象上马 ∴.k=mn A在x轴负半轴上，ADIx轴， .A(m,0),AD=n,A0=-m, ∴.OF=-m. .AB=3AD. ∴.AB=3n .w-AB:OF, :18=)x3nxm. 2 3 2mn=18, .mn=-12, 24=-12 4.(2026河南周口模拟预测)如图，反比例函数y冬(x>0与函数 2x(0≤x≤2) x+6(x>2)交于A'B两点，射线4交，轴于点c'已知点4的坐标为(2，a) y= (1)求反比例函数解析式： (2)若点P在x轴上，连接PA,PB,求当PA+PB的值最小时△PBC的面积. 【答案】（山）y=8 8 ;(2)3 【分析】(1)将点A横坐标代入分段一次函数对应解析式求出A点纵坐标，再把A点坐标代 入反比例函数，利用待定系数法求出反比例函数解析式： (2)联立反比例函数与x>2对应的一次函数解析式求出交点B坐标：作点A关于x轴的对称 点A',连接A'B,与x轴交点即为使PA+PB最小的点P;利用待定系数法求直线A'B解析 式，求出P点坐标；再求射线AB与x轴交点C的坐标，算出线段PC长度，结合B点纵坐标作 为三角形的高，代入三角形面积公式计算△PBC的面积. (1)解：把点A(2,)代入y=2x得，a=4, .A(2,4). 反比例函数x>阁象过点 k=2×4=8, 8 :反比例函数解析式为y= x 8 y= (2)解：由 y=-x+6 x=2 x=4 解得 y=4或y=2' B(4,2), 作A点关于x轴的对称点A',连接A'B,与x轴的交点即为P点， A2,4), ·A(2,4), 设直线A'B的解析式为y=mx+n, [2m+n=4 则4m+n=2’ m=3 解得n=-10' 直线AB的解析式为y=3x-10, 把y=0代入得，3x-10=0, 解0， ro 把y=0代入y=-x+6得，-x+6=0, 解得x=6, ∴.C(6,0). PC=6-108 33” :.S.PRC=2 *28 18 39 8 六当PA+PB的值最小时 PBC 3 的面积为 题型4：反比例函数动点存在性探究解答题 长 1.(24-25九年级上四川成都阶段检测)如图1，反比例函数y=x与一次函数 y=x+b的图象交于A,B两点，已知B(1,2) (1)求反比例函数和一次函数的表达式： (2)一次函数y=x+b的图象与x轴交于点C,点D(未在图中画出)是反比例函 数图象上的一个动点，若Sm=2,求点D的坐标： (3)若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，是否存在点M,N,使 得以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件 的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 图1 备用图 【容案1④y至y=x+1:(a04成24片3)存在：M3,0成 3 【分析折】（少把点。的坐标代入）生，得出反比例函数解折式：无点6的坐标代入y=+0 ，求出b的值，得到一次函数的解析式： (2)求出点C(-l,0),设D(m,n),根据Som=2可得n=6,由点D是反比例函数图象上的 一个动点，即可得点D的坐标 (3)根据平行四边形的性质和中点坐标公式即可得到结论. k (1)解：：点B(,2)是反比例函数y=与一次函数y=x+b的交点， k=xy=2,b=y-x=1, 反比例函数和一次函数的表达式分别为：y x’y=x+1: (2)解：一次函数y=x+1中，当y=0时，x=-1, C(-1,0), 设D(m,n), S.ocD =2, 1=2, ∴.n=t4, :点D风对在y-=子上 1 1 ÷m=2或m=2 2 成2： (3)解：，点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点， ..0)) 2 y= 解x得x=1或x=-2 y=x+1y=2y=-1 A(-2,-) :以点AB、M、N为顶点的四边形是平行四边形， a+b=-2+l 2 2 ∴.①以 为对角线时，由中点坐标公式得 2 0+ =-1+2 AB 2 2 a=-3 b=2’ M(-3,0): -2+a_1+b 2 ②以 为对角线时，由中点坐标公式得 2+ 2￥ +0 b AM 2 7 a= 3 b=-3 M 3 -2+b-a+1 22 ③以 为对角线时，由中点坐标公式得 2 -1 _2+0 AN 2 2 7 a= 解得 b= 2, 3 0: 综上所述，存在以点4B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， M(3,0)或30或 【点拨】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性 质，中点坐标公式，正确地求得函数的解析式是解题的关键 2.(25-26九年级上河南商丘·期中)在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵 坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如(-，19)，（-2006,2024.…都是“乾坤点”， 若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”.下列说法正确的 是() A.(2026,-2044)是“乾坤点” B.函数y=6x+18的图象上存在2个“乾坤点” C.函数y=x2-2x+2025是“乾坤函数” D.若“乾坤函数”y=2a+山 （2a+1≠0，a为常数)图象上有且只有1个“乾坤 点”，则“乾坤点”的坐标为(9,9) 【答案】D 【分析】本题考查二次函数、反比例函数、一次函数综合，解题的关键是联立函数解析式得到 方程再去求解.根据“乾坤点”的定义即可判断选项A;根据函数y=6x+18的图象上存 在“乾坤点”，得出x+6x+18=18,解方程即可判断选项B;根据函数y=x2-2x+2025 是“乾坤函数”，得出x+x2-2x+2025=18,求出△=（-1)2-4×2007=-8027<0，则方程无 2a+1 V= 解，即可判断选项C:由函数v=2a+1图象上有且只有1个“乾坤点”，得到 x,整 x+y=18 理得到x2-18x+2a+1=0,该方程有两等根，根据△=0求解，即可判断选项D. 解：A.“2026+(-2044)=-18≠18，故(2026，-2044)不是“乾坤点”，故选项错误，不符合 题意： B.函数y=6x+18的图象上存在“乾坤点”， ∴x+6x+18=18,解得x=0, ∴函数y=6x+18的图象上存在1个“乾坤点”，故选项错误，不符合题意： C.若函数y=x2-2x+2025是“乾坤函数”， 则x2-x+2007=0. △=(-1)2-4×1×2007=-8027<0 ·方程无解， 一函数的图象上不存在“乾坤点”， :函数y=x2-2x+2025不是“乾坤函数”，故选项错误，不符合题意： x是“乾坤函数”， 2a+1=18 . 化简得x2-18x+2a+1=0. :“乾坤函数”图象上有且只有1个“乾坤点”， ∴.x2-18x+2a+1=0有两个相等的实数根， ∴.△=（-18)-4×1×(2a+1）=0, .a=40, ∴方程为x2-18x+81=0. 解得=为=9， y=18-9=9 “乾坤点”的坐标为(9,9)，故选项正确，符合题意： 故选：D 3.(24-25九年级上四川成都期中)定义：若实数a,b满足a2=4b+t,b2=4a+t ,且a≠b(t为常数)，则称点M(a,b)为“友好点”，若有一个函数满足 k=ab(-3≤a≤-l),其上存在“友好点”，则k的取值范围是 【答案】3≤k<4 【分析】本题考查了新定义，二次函数求最值，与反比例函数的综合，熟练掌握知识点，正确 转化是解题的关键。 a=4k」 +t① 根据题意得到 整理得到 ，由 ，且 ,转 =4a+1② k=-a2-4a=-(a+2)2+4-3≤a≤-1 a≠-2 化为二次函数求最值即可. 解：~有一个函数满足k=ab(-3≤a≤-)，其上存在“友好点”， :反比例函数h。(35a≤-0的图象上存在“友好点”， a a=k+0 k2 a=4a+@ 0@得r答告如， (a)a-)--4a-5) a+a4a月-o, (a-5a+t4)=0, aa a≠b, a++4=0, a 整理得k=-a-4a=(a+2}2+4, 当a=-2时，k=4, a≠b, k≠4， -3≤a≤-1，且a≠-2， .3≤k<4, 3≤k<4 故答案为： 4.(25-26九年级上重庆南岸期中)如图，一次函数y=x+b与反比例函数y-怎 在第一象限交于M(,6)、N(6,m)两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接PM, PN. (1)求一次函数和反比例函数的表达式： 45 (2)若aPMN的面积为2，求点P的坐标： (3)在(2)的条件下，若点E为直线PM上一点，点F为y轴上一点，是否存在 这样的点E和点F,使得四边形EFNM是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐 标：若不存在，请说明理由 【答案】（山反比例函数的表达式为y-,一次函数的表达式为y-+7:(②(2,0： (3)存在，（-5,6) 【分析】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面 积，平行四边形性质等，解题关键是运用点坐标平移的规律：左减右加纵不变，上加下减横不 变解决问题. (1)先把点M坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点N坐标，再把 点M和点N坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可： 45 (2)由SaPw=SapM-Saw=2,即可求解： (3)MW是平行四边形的边，且点M向右平移5个单位向下平移5个单位得到点N,则点E 向右平移5个单位向下平移5个单位得到点F,进而求解. k2 (1)解：，点M(自，6)在反比例函数y=二图像上， x k2=1×6=6, 6 ∴.反比例函数的表达式为y= 在-中，当x=6时.y 2=1, 6 .N(6,1), M(1,6),N(6,)在一次函数y=c+b图像上， 「k+b=6 .16k+b=1' k=-1 解得： b=7: .一次函数的表达式为y=-x+7: (2)解：设直线MN交x轴于点H, 当y=0时，-x+7=0,解得：x=7 ∴点H(7,0) 设点P(x,0), 45 “APMN的面积为2， ÷Sanw=Sam-Saw-45 Γ2 -6-1-约 解得：x=-2, ∴点P的坐标为(-2,0)： A (3)解：设直线PM的解析式为y=k+b, -2k'+b=0 把P(-2,0):M(L,6)代入y=+6中得1K+h=6· k=2 解得： b=4 .直线PM的解析式为y=2x+4, 设点E(m,2m+4), ,MN是平行四边形EFNM的边，且点M向右平移5个单位向下平移5个单位得到点N,点F 在y轴上， ∴.点E向右平移5个单位向下平移5个单位得到点F, ∴.m+5=0 .m=-5, “点E的坐标 E(-5,6) 题型5：圆内多问角度、线段综合证明计算题 1.(24-25九年级上湖南长沙期末)定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称 为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形 (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“V”，错误 的打“×”) ①平行四边形一定不是“等对”四边形：() ②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半：() ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形；() (2)如图1，已知四边形ABCD(AD≠BC)既是“等对”四边形，又是“垂对”四边 形，且四边形的四个顶点都在⊙O上，连接四边形的对角线AC,BD交于点P ①记△ADP,△BCP,四边形ABCD的面积分别为S,S2,S求证：S=√S+VS； ②如图2，点M为AB的中点，连接MP并延长交CD于点N,若AD+BC=m, MN=n求oO的半径（用含m,n的式子表示）· D 0 0 图1 图2 【答案】(1)①×：②√：③√：(2)①：四边形ABCD是“等对”四边形， .AC=BD, AC=BD, .AB=CD ∴.∠ADB=∠ACB=∠DAC=∠DBC, 又，四边形ABCD是“垂对”四边形， .AC⊥BD :.△ADP,△BCP为等腰直角三角形， 设PA=PD=a,PB=PC=b. :.S=S+S2, ②R=2m2 8n 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，圆周角，“等对”四边形定义，勾股定理，熟练 掌握勾股定理是解题的关键； (1)根据“等对”四边形和“垂对”四边形定义，判断即可求解； (2)①根据“等对”四边形的性质可知AC=BD,从而推导出△ADP,△BCP为等腰直角三 角形，根据勾股定理即可求解： @根摇M为的中点，可符PM=R,进而根据勾股定理求解呵 2 (1)解：①矩形也是平行四边形，矩形的对角线相等， ∴平行四边形也可能是“等对”四边形，故该说法错误； ②“垂对”四边形的对角线垂直，所以“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半： 故正确： ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是萎形，所以是“垂对”四边形；故正确： 故答案为：①×V;②√；③√： (2)①略 ②AB=V2R(I), 在RtAAPB中， a2+b=2R2(), 又，M为AB的中点， :.PM-BM-14B-R 2 2 ∠MBP=∠MPB,∠MPB=∠DPN,∠BAP=∠CDP, .∠DPN+∠CDP=∠MBP+∠BAP=9O°， 即PN⊥CD, .PN=ab 2R' MN-PM+PN-2 R+ ab 2 2R =nn, 即ab=V2nR-R2(Ⅲ)， 将(0)（Ⅲ）（Ⅲ）代入(a+b)2=a2+b2+2ab, ）2 得 2 m =2R2+2√2nR-2R2」 R=2m2 8n 解得： 2.(26-27九年级上江苏泰州阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，点C,点D是半 圆上两点，连接AC,BD相交于点P,连接AD,OC.已知OC⊥BD于点E, AB=2.下列结论：①LCAD+∠OBC=90°；②若点P为AC的中点，则CE=20E; ③若AC=BD,则CE=OE:④若BC2+BD=4,则DB平分∠CBA.其中正确的是 () D A.①② B.①②③④ C.②③④ D.①②③ 【答案】B 【分析】由垂径定理，圆周角定理得出∠CAD=∠CAB,∠ACB=90°，进而根据等角的余角相 等判断①：由点P为AC的中点，得出AP=CP,进而证明△APD≌aCPE(AAS),得出 AD=CE,进而根据三角形中位线定理得出AD=2OE,等量代换得出CE=2OE即可判断 ②：连接OD,根据垂径定理得出CD=BC,由AC=BD得出AC=BD,则AD=C⑦=BC, 得出△BOC为等边三角形，由OC⊥BD,即可得出CE=OE,继而判断③：由勾股定理得出 BC+AC2=AB=4,则有AC=BD,由③可得△BOC为等边三角形，利用等边三角形的性质 即可判断④，进而可得答案. 解：①，OC⊥BD. ..CD=BC, ∴.∠CAD=∠CAB, .AB是OO的直径， .∠ACB=90°， ∴.∠CAB+∠ABC=90°， :.∠CAD+∠ABC=90°，故①正确，符合题意； ②：点P为AC的中点， .AP=CP, ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ADP=90°=∠CEP. ∠APD=∠CPE, .△APD≌aCPE(AAS), .AD=CE, .AP=CP,OA=OB, .AD=20E, ∴.CE=2OE,故②正确，符合题意； ③连接OD, D P .:OC⊥BD ..CD=BC, ..AC=BD. .AC=BD, .AD=CD=BC. ∴.∠AOD=∠COD=∠BOC=60°. ..OB=OC. ∴.△BOC为等边三角形， OC⊥BD, ∴.CE=OE,故③正确，符合题意： ④∠ACB=90°，AB=2, .BC2+AC2=AB2=4, BC2+BD2=4, ∴.AC=BD, 则由③知△BOC为等边三角形，又OC⊥BD, .BE平分∠CBO, 即DB平分∠CBA,故④正确，符合题意： 故正确的是①②③④. 3.(25-26九年级上·浙江杭州期末)如图，已知矩形ABCD内接于⊙0，AB=6, BC=8,点E是BC上一点，连结DE,将DE沿着直线DE折叠，交线段AD于点F (1)半径r= (2)连接EF,若AF=2,则EF=」 D A F 0. B E 【答案】 5 5√2 【分析】(1)利用矩形内接于圆的性质，矩形的对角线为圆的直径，结合勾股定理求出对角 线长度，进而得到半径 (2)先由折叠性质推出CD=DF,再证明弧的对称性得到∠CDE=45°，结合圆心角与圆周 角的关系得出∠EOC=90°，最后在等腰直角三角形中用勾股定理求出CE,从而得到EF. 解：(I)连接BD, D A ,矩形ABCD内接于⊙O,AB=6,BC=8, .∠BAD=∠ADC=90°，AB=CD=6.AD=BC=8 ∴，对角线BD为⊙O的直径， ,AB=6,BC=8, .BD=V6+82=10, .半径r= 05 故答案为：5： (2)连接OC、OE、CE, D B E AD=BC=8,AF=2. .FD=8-2=6, ..CD=AB=6. .FD=CD, ..FD=CD, :弧DE沿DE折叠交AD于F,” ∴.FD和CD关于直线DE对称，点C的对称点为F, ∴.CE=EF, ∠ADC=90°， ∴.∠CDE=∠FDE=45°， ,∠CDE是圆周角， ∴∠E0C=2×45°=90°， 0C=0E=5, ∴，在RtAEOC中，CE=V52+52=52, .CE=EF, .EF=5N2, 故答案为：5V2 【点拨】本题主要考查了矩形的性质、圆的基本性质、折叠的性质及勾股定理的应用，熟练掌 握圆内接矩形的对角线为圆的直径，以及折叠前后弧与角的对应关系是解题的关键， 4.(26-27九年级上全国课后作业)如图，AB与CD是⊙0的两条弦，OE⊥AB, OF⊥CD,垂足分别是E,F.OE,OF分别叫作弦AB,CD的弦心距. (1)若∠AOB=∠COD,求证：OE=OF. (2)若OE=OF,求证：AB=CD,∠A0B=∠COD. (3)用语言文字把上述结论表述出来. F E B 【答案】(1)证明：：OE⊥AB,OF⊥CD,OA=OB,OC=OD, :20EB=∠0rn=90r∠B0B=A0a∠0Dc0D. ,'∠AOB=∠COD .∠EOB=∠FOD. 在△EOB和△FOD中， ∠OEB=∠OFD ∠EOB=∠FOD OB=OD ∴.△EOB≌aFOD(AAS), ∴.OE=OF. (2)证明：：OE⊥AB,OF⊥CD. ∴.∠OEB=∠OFD=90°， :在RtABEO和RtADFO中， OB=OD OE=OF' .RtABEOS≌RtADFO(HL), .BE=DF,∠EOB=∠FOD, OE⊥AB,OF⊥CD,OA=OB,OC=OD ÷AB=2B,CD=2Dr,∠E0B=∠A0B∠FOD=)∠CoD. ·2 .AB=CD,∠AOB=∠COD (3)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对应的弦心距相等；反过来，在同圆或等圆中，弦心 距相等，所对应的圆心角相等，所对应的弦相等. 【分析】(1)求出∠OEB=∠OFD=90°，∠EOB=∠FOD,证明△EOB≌aFOD,即可推出 OE=OF (2)证明△BEO≌aDFO,推出BE=DF,∠EOB=∠FOD根据等腰三角形三线合一求出 M=CD:∠B0B-40B∠F0D=<C0D,话而可得出答案. (3)根据(1)(2)用文字语言把上述结论表述出来即可. 解：(1)略 (2)略 (3)略 题型6：圆背景下等腰三角形存在性探究题 1.(2026浙江温州二模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,P ,O分别是边BC,CA上的动点，以P为直径构造⊙O交BC于点D(异于点P ）·在点p,Q的运动过程中，始终满足CQ=P」 4 (I)求证：CD=BP」 (2)如图，连接OD,当∠Q0D=2ZC时，求⊙0的直径. (3)设E为AC的中点，连接OE,在P,Q的运动过程中，是否存在某一时刻， 使△EOO为等腰三角形，若存在，求出BP的值；若不存在，请说明理由. 10 716864 【答案】(1)见解析：(2)3；(3)存在，BP的值是4,7,3或13 份折1山连我o0根据p0是o0的直径，得-oC一C_ ACAC,勾股定理求得 4C进面得出CD-号CQ=B即， (2)根据圆周角定理可得∠QOD=2∠QPD,结合题意得出∠QPD=∠C,则PO=C,根据 PO=QC=DC_10 cosC=3，即可求解： (3)过点O作OF⊥PD于点F,则有PF=DF,得出EF是△ABC的中位线， EF=)AB=3,EC-5根据BF1PD即E:0:F三点在一条直线上.设BP=DC=4x ,c=5x,则00=3x,0r-,0=3-,0E=5-5点0在CE上，0-E0 时，点2在CE上，QO=QE时，过点2作QH1E0于点H,点2在CE上，OE=O0时，过 点O作OG1E0于点G,点在AE上，而∠QE0>90°，只能是E=E0,分别根据等腰三 角形的性质，建立方程，解方程即可求解， (1)解：连接QD,如图1， E B (图1) :P№是⊙0的直径， .∠PD9=90° CD cO =cosC= BC 8 ACAC .AC=AB2+BC2=10, ..CD-c0-BP (2):∠OOD与∠OPD是D所对的圆心角与圆周角， ∴.∠QOD=2∠QPD :∠00D=2LC, .∠QPD=∠C, P№=C. ∠PD0=90°， ·PD=DC=BP=8 PO-QC=DC_10 cosC=3,即o0的直径为3 (3)过点O作OF⊥PD于点F,则有PF=DF,如图2. 0】 (图2) BP=DC, .BF=FC,即F是BC的中点. :E是AC的中点， EF是△ABC的中位线， EF-TAB-3.EC-5 2 ∴EF⊥PD,即E,O,F三点在一条直线上， 设BP=DC=4x,QC=5x,则2D=3x, 3 0F=22 50=3-,0E=5-5 （T)如图2点0在cE上，0=E0时，有5-5x=3- 2t, 7,即BP=16 4 x= A B B F (图3) (图4) (图5) (IⅡ)如图3，点在CE上，Q0=E时，过点作QH1E0于点H, EH=H0’3-3x=3x- 3 3,即BP=8 2 x= 3 (Ⅲ)如图4，点2在CE上，OE=O№时，过点O作OG⊥E0于点G, ∴EG=)E0=5-5x 2 29 5=0Eoms08c=0Ew4-0-3 2 > 16,即BP7 4· (V)如图5，点在AE上，而∠QE0>90°，只能是QE=E0, 5x-5=3-3x,,x=16 2 3,即BP=4 13· ,716864 综上所述， BP的值是4,7,3或3 【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，等腰三角的性 质，三角形中位线的性质与判定，分类讨论是解题的关键. 2.(26-27九年级上江苏宿迁·阶段检测)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90,AB=I0,AC=6,D为边BC上的一个动点，连接AD,以CD为直径的 ⊙0交AD于点E,过点C作CFI‖AB,交OO于点F,连接CE,EF, (1)当∠CFE=45时，求CD的长： (2)求证：∠BAC=∠CEF: (3)是否存在点D,使aCFE是以EF为腰的等腰三角形？若存在，求出此时CD的 长：若不存在，请说明理由. B B 备用图 【答案】(1)6：(2)证明：：∠ACB=90°， .∠BAC+∠B=90°， :CF∥AB .∴.∠B=∠FCB .∠FCB=∠DEF. .∠BAC+∠DEF=90°， :CD为O0的直径， .∠CED=90°， :∠DEF+∠CEF=90°， :∠BAC=LCEF: (3)存在，CD的长为3或4 【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等得∠CFE=∠CDE,进而证明∠DAC=∠ADC,即 可求得AC=CD=6: (2)根据直角三角形两锐角互余得∠BAC+∠B=90°，由CF∥AB,证明∠B=∠FCB,进而 得∠BAC+∠DEF=90°，结合∠DEF+∠CEF=90°，即可证明∠BAC=∠CEF； (3)分两种情况：①当EF=CE时，证明△AGD≌△ACD(AAS),在Rt△BDG中，设CD=x ，得4+x2=(8-x,即可求得CD=3:②当EF=CF时，同法可得CD=4 (1)解：'∠CFE=45°，∠CFE=∠CDE. ∠CDE=45°， ∠ACB=90°， .∠DAC=45°， .∠DAC=∠ADC :.AC=CD=6; (2)略 (3)解：存在点D,使aCFE是以EF为腰的等腰三角形 ①如图1，当EF=CE时，则∠EFC=∠ECF, F B G 图1 :四边形CEDF为圆内接四边形， .∠EDF+∠ECF=180°， :∠ADG+∠EDF=180°， ∴.∠ADG=∠ECF ∠CDE=∠CFE. .∠ADG=∠CDE, :CD为⊙O的直径， ∠DFC=90°， :FC∥AB, .∠FGA=90°， ∴.∠FGA=∠ACD AD=AD, ·.AAGD≌AACD(AAS), .DG=CD 在Rt△BDG中，设CD=x, .BG2+DG2=BD2. 42+x2=(8-x, x=3, 即CD=3: ②如图2，当EF=CF时，则∠CEF=∠ECF, B 图2 :四边形CEDF为圆内接四边形，， .∠EDF+∠ECF=180°， :∠ADG+∠EDF=180°， ∴.∠ADG=∠ECF ∠CEF=∠CDF=∠BDG, .∠ADG=∠BDG. :FC∥AB,∠DFC=90°」 ∠FGA=90°， .∠FGA=∠ACD .GD=GD. :ABGD≌△AGD(ASA), :.BD=AD, 在RtAACD中，设CD=x, .CD2+AC2=AD2. 7 2+6=8-x,x=4 7 综上所述，存在点D'使。CFE是以EF为腰的等腰三角形，CD的长为3或4· 题型7：圆背景下直角三角形存在性探究题 1.(2026山东日照二模)(1)【问题提出】如图1，在矩形ABCD中，AD=10 ,AB=12,点E为AD的中点，点P为矩形ABCD内以BC为直径的半圆上一点，则 PE的最小值为 D 图1 图2 图3 (2)【问题探究】如图2，在△ABC中，AD为BC边上高，且AD=BC=4,点P为 AMBC内一点，当S=uc时，求PB+PC的最小值： (3)【问题解决】李伯伯家有一块直角三角形菜园ABC,如图3，BC=2005米， ∠C=90°，∠ABC=60°，李伯伯准备在该三角形菜园内取一点P,使得∠APB=120° ,并在△ABP内种植当季蔬菜，边BC的中点D为菜园出入口，为了种植方便，李伯 伯打算在AC边上取点E,并沿PE、DE修两条人行走道，为了节省时间，要求人 行走道的总长度(PE+DE)尽可能小，问PE+DE的长度是否存在最小值？若存在， 求出其最小值：若不存在，请说明理由 【答案】(1)PE的最小值为7；(2)PB+PC的最小值为4W2；(3)PE+DE的长度存在 最小值，最小值为(100N43-400)米。 【分析】(I)连接OE交圆O于点P,则PE的值最小，由矩形的性质及圆的性质可求出答 案； (2)作AD的垂直平分线I,如图2.作点B关于直线I的对称点B',连接BB、PB'、CB, CB交直线I于点P',连接BP',证明△BB'C为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质求 出B'C的长，则可得出答案： (3)如图3，作点D关于AC的对称点D',连接PD'交AC于点E,则DE=D'E.当PD'取 得最小值时，PE+DE的值最小.以AB为边向左作等边△ABM,作△ABM的外接圆OO,连 接OB、OP.由直角三角形的性质求出PD'=OD'-OP=(10043-400)(米).则可得出答 案 解：(1)如图1， E D 图1 连接OE交圆O于点P,则PE的值最小， :E为AD的中点，O为BC的中点，矩形ABCD, ∴.AE=BO,AD=BC=10, ∴，四边形ABEO为矩形， .AB=OE=12, :.0P=BC=5, 2 .PE=OE-OP=12-5=7. (2)作AD的垂直平分线1，如图2. 1 :S=2S,4ac, 点P到BC的距离等于方D, ∴.点P在△ABC内的直线I上 作点B关于直线I的对称点B',连接BB、PB、CB',CB交直线I于点P',连接BP, B D 图2 BB'=AD=BC,PB=PB',P'B=P'B', ..PB+PC=PB'+PC. PB+PC≥B'C, ∴.当点P在点P的位置时，PB+PC取得最小值，最小值为B'C的长 .BB⊥I,AD⊥1，AD⊥BC, .BB⊥BC. .△BBC为等腰直角三角形， .B'C=V2BC=4V2,即PB+PC的最小值为4W2. (3)如图3，作点D关于AC的对称点D',连接PD'交AC于点E,则DE=D'E ∴.PE+DE=PE+DE, ∴.当点P、E、D'共线时，PE+DE取得最小值， ∴，当PD'取得最小值时，PE+DE的值最小.以AB为边向左作等边△ABM,作△ABM的外 接圆⊙0，连接OB、OP、 B 图3 ∠APB=120°，∠AMP=60° ∴点P在劣弧AB上运动，连接OD'交⊙0于点P',则OP=OP, .OP+PD'OD',OD'=OP'+P'D'. ∴，PD'≥PD',即PE+DE的最小值为PD的长. :⊙O为等边△ABM的外接圆， .BO平分∠ABM, ∴.∠0BA=30°. 又：∠ABC=60°， .∠OBD'=90° :BC=200N5(米)，∠ABC=60°，∠ACB=90°， .AB=2BC=400W5(米)， 过o作Q01B于Q:则80=54B=205, ∴OP=OP'=OB=B c0s30° =400(米)， :D为BC的中点，CD=CD', BD=3003(米)， ∴0D=VOB2+DB2=100N43(米)， :P'D'=0D'-OP'=(100W43-400)(米). 即PE+DE的长度存在最小值，最小值为100√43-400)米. 【点拨】本题是圆的综合题，考查了三角形的外接圆，垂径定理的应用，等腰三角形的性质， 三角形三边关系，直角三角形的性质，等边三角形的性质，矩形的性质与判定，锐角三角函数 的应用，本题难度大，正确作出辅助线是解题的关键 2.(25-26八年级下江苏泰州阶段检测)背景知识： 我们在八年级用折叠和数学推理的方法得到结论“直角三角形斜边上的中线等于斜 边一半”，进一步研究“在斜边上是否只有中点到直角顶点的距离等于斜边的一 半？ 问题： D B (1)若在R△ABC中，4C=4,BC=3,CD是斜边4B上的中线，则有CD=)AB, 请利用尺规作图的方法在斜边AB上另找一点E,使CE=,AB(不写作法，保留作 图痕迹)； (2)在(1)的条件下，求DE的长. (3)若在Rt△ABC中，AB=5,BC≤AC,斜边AB上只存在一个点到点C的距离等 于4B,试求边BC的取值情况 【答案】(1)如图，点E即为所求： (aDE=3:(3)BC-2或0<C< 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、圆的性质、切线的性质等知识点，灵活运用相关 性质解决问题是解题的关键， (I)以C为圆心，CD长为半径画弧交AB于E,据此作图即可； (2)由勾股定理可求AB的长，由面积法可求CH的长，由勾股定理可求DH的长，由等腰三 角形的性质可求解即可； (3)利用特殊位置求出特殊值及分类讨论即可解答. (I)解：以C为圆心，CD长为半径画弧交AB于E: (2)解：如图：过C作CH⊥AB于H, ·AC=4,BC=3,∠ACB=90°， .AB=V32+42=5, ,2SABc=AC·BC=AB.CH, :CH=4C-BC=4x312 AB55 CD-14B-5 2 2 .DH=CD2 -CH2 CD=CE,CH⊥AB, :EHI =DH=7 10: :.DE=DH+EH-7 7 ·DE的长为5： (3)解：如图，作Rt△ABC的中线CD, D B C :.CD=AD=BD=1AB=5 2 2 则点D在以C为圆心，CD为半径的圆上运动， 当⊙C与线段4B相切时，则斜边AB上只存在一个点到点C的距离等于2 AB,此时CD⊥AB :.BC=CD+BD 当OC与过点B时，则CD=BC, ·.AD=BD=CD=BC=S 2 当BC≥且BC+5时，线段B存在两个点到C的距离等于方 2 当0<BC<,线段AB只存在一个点到C的距离等干24B, 综上，BC-2成0<BC< 题型8：圆内动点几何条件探究压轴题 1.(25-26九年级下湖南长沙期中)已知：△ABC内接于⊙0，AB=AC,点E是 ⊙0上的一个动点· (1)如图1，若∠BAC=45°，⊙0的半径为2，求BC的长： (2)如图2，点E在劣弧AC上（不与点A、C重合），连接AE,CE,BE.若 BE=AE+CE,求∠BAC的度数： (3)如图3，已知AB=V0,BC=2,点E在劣弧BC上（不与点B、C重合）， AE与BC交于点D,在BC延长线上取一点G,连接AG,交OO于点H,CE=CH. 11 请判断cDCG的结果是否为定值，若是请求出其定值，若不是请说明理由. E 0 B B 图1 图2 图1 111 【答案】(1)22；(2)∠BAC=60:(3)解：结论：CDCG-5,理由如下： 连接AO,并延长AO交BC于点N B G 设CD=a,CG=b, .AB=AC, AN LBC, BN=NC=IBC=1. 2 在R△MNB中，AB=V10,BN=1, AW=3, 在Rt△ANG中，WG=1+b, AG2=AW2+NG2=9+1+b)2, ①若AE与AN不共线时， 在Rt△ANWD中，AD2=AW2+DN2=9+(a-1) CE=CH ∴.∠EAC=∠GAC, 过点C作CO⊥AG于点O,CH⊥AE于点H, .CH=CO 1 ADXCH ICD×AN :.ScG AG×CQ CGX AN AD CD AGCG” .AD2 CD2 9+(a-12_a2 1C-CC·即g++6, .10b2+a2b2-2ab2=a2b2+2ba2+10a2, 10(d-b2)+2ab(a+b)=0,又a+b≠0， 111 65 111 ∴cDcG-5 ②若AE与AN共线时， M B AN CN 同理AGCG' AN2 CN2 ·4-cG2, 1 ÷9+1+b}F, .462-b-5=0, 解得6=-1（舍），b= 4 .1_1=1 :a b5' 111 CD CG5: 111 综上，CDCG5 【分析】(1)连接OB,OC,根据圆周角定理可得∠BOC=90°，即可求解： (2)在BE上截取BF=CE,连接AF,证明△ABF≌aACE(SAS),可得 ∠BAF=∠CAE,AF=AE,再证明△AEF为等边三角形，可得∠FAE=6O°，从而得到 ∠FAC+∠CAE=60°，即可解答： (3)连接AO,并延长A0交BC于点N.设CD=a,CG=b,根据等腰三角形的性质可得 BN=C=号BC=L,在RuaANB和R△AG中，分别求出AN=3”AG=9++b,然后 分两种情况：若AE与AN不共线时；若AE与AN共线时，即可求解. 1)解：连接OB,OC,如图， B .∠BOC=2∠BAC,∠BAC=45° .∠BOC=90° ⊙0的半径为2， ..OB=OC=2. ∴在等腰R1aBOC中，BC=V2OB=22: (2)解：在BE上截取BF=CE,连接AF,如图， O AE=AE. .∠ABE=∠ACE, 在△ABF和△ACE中， AB=AC ∠ABE=∠ACE BF=CE ∴.△ABF≌△ACE(SAS), ∠BAF=∠CAE,AF=AE .BE=AE+CE=BF+EF=CE+EF, :EF =AE, .'AF=EF=AE, ∴.△AEF为等边三角形， .∠FAE=60°， ∴.∠FAC+∠CAE=60° ∠FAC+∠BAF=60°，即∠BAC=60°； (3)略 2.(2026浙江衢州一模)已知：在⊙0中，点E是弦BD上的动点（不与点B,D 重合)，过点E作AC⊥BD交OO于点A,C,连接AB,BC,CD,AD,过点B作 BF⊥AD于点F,交AC于点G. (1)如图1，若BF经过点O. ①求证：BG=BC. ②若an∠GAF= 2,AG=V5,求o0的半径. AG BE (2)如图2，若4C=BD,设GE= ,那y,求y关于，的函数表达式 O. E 图1 图2 【答案】(I)①证明：，AC⊥BD,BF⊥AD, ∴.∠BEG=∠AFG=90°， .∠BGE=∠AGF, .∠GBE=∠GAF, .∠CBD=∠GAF, ∴.∠GBE=∠CBD. .∠BEG=∠BEC=9O°，BE=BE, ·△BEG≌aBEC(ASA), :BG=BC: ②⊙0的半径为2.5 2或ys、1 (2)y=+1 x+2 【分析】(1)①证明△BEG≌aBEC(ASA),即可得到BG=BC: ②连接OD,推出BF垂直平分AD,设GF=a,AF=2a,利用勾股定理求得a=1,在 Rt△ABF中，求得BF=4,在Rt△OFD中，利用勾股定理求解即可： (2)分①当点E靠近点D时，当点E靠近点B时，两种情况讨论，即可求解， 解：(1)①略 ②解：连接OD, BF⊥AD,BF经过点O, .AF =DF, ∴.BF垂直平分AD, .∠ABF=∠DBF, :tan∠GAF=2: 1 tan∠GaF=GF-1 AF 2' 设GF=a,AF=2a, GF2+AF2=AG2,即a+(2a}=(5, 解得a=1, .GF=1,AF=2, ,∠ABF=∠DBF=∠GAF, 在Rts4BF中，tan∠ABF=C=! ΓBF2 .BF=4, 令OB=r,则OF=4-r,DF=AF=2, ∴在Rt△OFD中，由勾股定理得22+(4-r=r2, 解得r=2.5; (2)解：①当点E靠近点D时， O。 ..AC=BD. ∴.BD=AC.∴.BC=AD, ∴.∠BAE=∠DBA=∠EDC=∠ECD. :AC⊥BD,.∠AEB=∠CED=90°， .△ABE和△CDE均为等腰直角三角形， .AE=BE,DE=CE. BG=BC, 又，BE⊥GC, ∴.GE=CE, ..GE=CE=DE, 设GE=CE=DE=a,则AG=a, ..AE=AG+GE=ax+a, .BE=AE=ax+a, .BD=BE+DE=ax+2a, :ys BE ”_am+ax+1 BD ax+2a x+2: ②当点E靠近点B时， A 同理可证△BEC和△AED均为等腰直角三角形， 令BE=CE=EG=a, .AG=ax,AE=DE=ax+a, .'.BD=BE+DE=ax+2a, 1 .y= BD ax+2a x+2: +2或y≤1 六综合上得：y=+ x+2· 题型9：一元二次方程与反比例函数参数综合探究解答题 1.(25-26八年级上江苏盐城期末)如图1，已知点A(-2,0),B(0,4),平行四边 形ABCD的边AD与y轴交于点E(O,4),且E为D的中点，双曲线y=x经过C、D 两点. (1)求反比例函数表达式： (2)点P在双曲线y上，点Q在x轴上，若以点4、B、R、Q为顶点的四边形 是平行四边形，求满足要求的所有点Q的坐标： (3)以线段AB为对角线作正方形AFBH(如图3)，点P为对角线AB上一动点， 连接PH,过点P作PM⊥PH.交BF于点M,以PH、PM为邻边作矩形PMNH, 连接BN,试探究：BP+BN的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请 求出BP+BN值的范围. YA B 图1 图2 图3 【答案】(4)y=16 (2)Q(6,0)或(6,0)或(2,0)：(3)是，BP+BN=2√5· 【分析】(1)求解n=2,设D(2,),结合DC∥AB,可得C(4,1-4),可得21=4(-4)， 进一步可得答案： (2)如图，当AQ为对角线时，四边形ABQP为平行四边形：如图，当AP为对角线时，四边 形AQPB为平行四边形，如图，当P为对角线时，四边形ABPO为平行四边形，进一步结合 平移性质与平行四边形的性质求解即可： (3)如图，作PO⊥BF于O,PG⊥BH于G,证明四边形POBG为正方形，可得 ∠QPG=90°，证明△POM≌aPGH(ASA),可得PM=PH,证明矩形PMNH为正方形，证明 △AHP≌aBHN(SAS),可得AP=BN,再进一步求解即可. (1)解：：A(-2,0),B(0,-4),E为AD中点， xn=2, 设D(2,), 又DC∥AB, .C(4,t-4). k :点C(4,t-4),D(2,)都在双曲线y=上， .21=4-4), .1=8, .k=2×8=16: ÷反比例函数表达式为：y=16 (2)解：如图，当A0为对角线时，四边形ABP为平行四边形： AB∥P2,AB=PQ, x+2=m 164=0解得： x=4 m=6 2(6,0) 如图，当AP为对角线时，四边形AQPB为平行四边形， .AB∥PO,AB=P, g(m,0) x-2=m 40 解得： x=-4 m=-6 .0(-6,0), 如图，当P巴为对角线时，四边形ABPO为平行四边形， AP∥BQ,AP=B2, P9)ea.0 「-2-x=m 0-16=0-(4解得：任=4 m=2 (2,0), 综上：(6,0)或(-6,0)或(2,0) (3)解：如图，作P⊥BF于O,PG⊥BH于G, B :点P是正方形AFBH对角线上的点， ∴.∠FBH=90°，LPBQ=LPBG=45°， :.PQ=PG. ,∠PQB=∠QBG=∠PGB=90°、 :四边形PBG为正方形， .∠0PG=90°， .PM⊥PH, ∴.∠MPH=90°， .∠OPM+∠MPG=∠MPG+∠HPG=90° .∴.∠QPM=∠HPG. :∠PQM=∠PGH=90°， .aPOM≌aPGH(ASA), .PM=PH, ∴，矩形PMNH为正方形， “正方形AFBH和正方形PMNH, .AH=BH,PH=NH,∠AHB=∠PHN=90°， .∠AHP=∠BMHN, .:AAHP≌aBHN(SAS), :.AP=BN, .BP+BN=BP+AP=AB=V22+42=2V5是定值. 【点拨】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行四边形的性质，矩形的性质， 正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本 题的关键 2.(25-26九年级上全国期末)如图1，一次函数y=x+bk≠0)与反比例函数 y=”(m≠0，x<0)的图象相交于点4-1m,与x轴交于点B,与y轴交于点C,已知 OB=-OC=2 2 (1)求反比例函数与一次函数的解析式： (2)若直线D过点0》， 且与反比例函数交于点D,点F是y轴上的一个动 点，点P是直线BD上的一个动点，当AP+亏PB最小时，求AF+FP的最小值及此时 点F的坐标： (3)如图2，若点D(-2,3),连接AD,将线段AD以点D为圆心，逆时针旋转90°， 得到线段DN,连接CN,在反比例函数图象上存在一点O,使得 ∠CND+∠QC0=90°，直接写出所有符合条件的点0的坐标， 图1 图2 【答案】山y=-2x+4,y=6 :(2)最小值为22，点F的坐标为(0,5)；(3)点0 的坐标为(6+32,2+V2)或(-6-3V2,2-V2) 【分折】（山由0B0C=2可得A、C两点的坐标，利用特定系数法即可求出一次函数的 解析式；再由点A在反比例函数的图象上，由待定系数法即可求出反比例函数的解析式： ②易得直线0的解折式武子x+8作PG销于点G轴于点H,交直酸 DF点设Pa子a+。则Ga0,则回表示GGp2从圈 PG-号PB,则AP+PB=AP+G,当A,卫，G在同-直线上，且AG⊥x轴时， P+PB的值最小，此时最小值为A的长。作点A关于轴的对称点为A”连接4P交y 轴于点F',则可得A'(6),FA=FA,当A,F,P三点共线时，AF+FP的值最小，且可 求得最小值：再由待定系数法求得直线A'P的解析式为y=x+5,即可求得点F的坐标： (3)过点D作y轴的垂线l,过点A,N作直线I的垂线，垂足分别为U,T,则由AAS易证 △NDT≌aDAU,从而得DU=NT=l,DT=AU=3,从而得到N-5,④)，并求得直线DN的解 析式为一+子。由此可得点R的坐标，特定系数法求得直线CR的解折式。与反比制函数 1 联立，求得x的值，即可求解， (1)解：OB=5OC=2, 2 .0C=4, B(2,0)C(0,4) 「2k+b=0 把上述两点坐标分别代入一次函数y=:+b中，得b=4, k=-2 解得： b=4 .一次函数的解析式为y=-2x+4, 将A(-1,nm)代入y=-2x+4,得n=-2×(-)+4=6, .A(-1,, 把点4的坐标代入y=” 中，得6= -19 .m=6, 反比例函数的解析式为y=-6 ②)解：设直线BD的解析式为y=+8 把点B的坐标代入得：2火+8=0，解得：《=号 3 3 ∴直线BD的解析式为y=号x+兮 48 如图1，作PG⊥x轴于点G,AH⊥x轴于点H,交直线BD于点P', E G HO 图1 4,8 -a+ 3, 则G(a,0)' 易知所求点P在点B的左侧. +a-2y-32-d, 4 8 -a十 33 5 :PG-4PB, 5 :.AP+4PB-AP+PG, 5 当4，R,G在同-一直线上，且AGL:精时。MP+号PB的值最小，此时最小值为AH的长。 A(-1,6, P'(-1,4④， 如图1，作点A关于y轴的对称点为A',连接A'P交y轴于点F', 由轴对称的性质可得A'(,6),FA=FA, .当A,F,P三点共线时，AF+FP的值最小，最小值为V(-1-)2+(4-62=22 由待定系数法得直线AP'的解析式为y=x+5, 当x=0时，y=5, .F'(0,5),即此时点F的坐标为(0,5)， (3)解：如图2，过点D作y轴的垂线1，过点A,N作直线1的垂线，垂足分别为U,T, 则∠NTD=∠AUD=90°， .∠TWD+∠NDT=∠NDT+∠ADU=90, .∠TND=∠ADU, 由旋转知DN=AD, ∴.△NDT≌aDAU(AAS), .DU=NT,DT=AU :D(-2,3)A(-1,6, .DU=1,AU=3, .'DU=NT=1,DT=AU=3. .N(-5,4), :直线DN的解析式为y=+子。 设直线OC与直线DN交于点R. N(-5,4),C(0,4). .CN⊥y轴， .∠NC2+∠QC0=90° 又，∠CND+∠QC0=90° .∠NC2=∠CNR, .RC=RN, 作K1CN于点K则CK=Cv 2 5 ∴.点R的横坐标为2： 当x=时=引}8即8） ∴直线CR的解析式为y=3x+4 1 y= -x+4, 3 联立了 6解得x=-6+32或x=6-3V2, y=-一 y=2+2y=2-V2 ∴点0的坐标为(6+3V2,2+V2)或(-6-3V2,2-√2). 图2 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定与性质、旋转的性 质、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、两点间的距离公式等知识点，熟练 掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键。 题型10：反比例函数与圆图像、线段面积综合压轴题 1(2026江苏徐州三模)如图，在平面直角坐标系O中，反比例函数y=(x>0) 1 的图象与矩形OABC相交于D、E两点，点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点B 的坐标为(8,6).连接DE. (1)连接OE,若△EOA的面积为8，则k= (2)连接AD,当k为何值时，△AED的面积最大，最大面积是多少？ (3)连接AC,当k为何值时，以DE为直径的圆与AC相切 B 1200 【答案】(1)16：(2)24；6：(3) 49 【分析】(1)利用三角形的面积公式与反比例函数关系式即可求得k值. (2)利用反比例函数的关系式求出点D、点E的坐标，再表示出△AED的底边AE与AE边的 高DB的长度，即可表示出△AED的面积表达式，最后利用二次函数的极值求法可得出答案. (3)以DE为直径作圆，与直线AC相切时，圆心到AC的距离等于DE长度的一半，依此建 立方程即可求解， 解：(1)连接OE,如下图. :E点在反比例函数的图像上，且横坐标为8， B点纵坐标为8· 即AE=8 Sam4=2×8x8=8 .∴.k=16 (2)连接AD,如下图. y ,D在反比例函数图像上， ·D点的横坐标为6· BD=8- 6 即8m+--+-46 96 2 96 .当k=24时，△AED的面积最大，最大面积是6. (3)如下图，连接AC,以DE为直径的圆与AC相切时，设圆心为O,切点为N,自点D作 AC的垂线，垂足为M. B -3-2-1123456789x 为计算方便，设反比例函数系数k=48b(0<b<),则E点坐标为(8,6b),D点坐标为(8b,6). .BD=8-8b,BE=6-6b 由勾股定理得：DE=VBD2+DE2=[8(1-b)]+[61-b)]=10(1-b) ÷0D=DE=51-b) BD 8-8b 4 BC 8 4 :BE=6-663’BA63 BD BC ∴BEBA' .DEl AC 由O为圆心，N为⊙0与AC切点可知，ON⊥AC. 又DM⊥AC,ON⊥AC,OD=ON, ,四边形ODMN为正方形. ..OD=DM. 由an∠DCM=DM、AB CD AC' :.DM=ARxCD-6x=24b AC 10 5 由OD=5(1-b),OD=DM得， 51-b)=246 5 :b25 49 ∴.k=48b=48× 251200 4949· 当k=1200 49时，以DE为直径的圆与AC相切 【点拨】本题考查反比例函数、二次函数的极值、圆的切线性质、正方形的判定与性质等相关 知识点，解题的关键是巧设点的坐标， 2.(25-26九年级上·吉林长春·阶段检测)如图，边长为1的正六边形OABCDE可绕 原点0旋转，若反比例函数)-与这个正六边形有交点，则的最大值为《) B 3-2 C.5 D.2 【答案】D 【分析】连接AD,BE,OC,交于点I,连接OD,OB,可得OC>OB,OC>BC=OA,故当反比 例函数图象经过点C时，k会取得最大值，然后求出OC=2,设C(m,n),由两点间距离公式 得到(m-0)2+(n-0=4,那么m2+n2=4≥2mm,可得mn≤2，故k≤2. 解：连接AD,BE,OC,交于点I,连接OD,OB 由题意得点A,E在以O为圆心，OA为半径的圆上运动，点B,D在以O为圆心，OB为半径的 圆上运动，点C在以O为圆心，OC为半径的圆上运动， ,正六边形OABCDE, BC-1C84-218120-2B40:40-4R 6 .∠ABO=∠AOB=30° .∠OBC=∠ABC-∠ABO=90°， ..OC>OB,OC BC=0A, ∴.当反比例函数图象经过点C时，k会取得最大值， :正六边形OABCDE. 1C=B,∠C1B=360 =60°， 6 “△CB为等边三角形， .IC=BC=1. .0C=2, 设C(m,n), (m-0)2+(n-0}2=4, .m2+n2=4, :(m-n2≥0， m2+n2=4≥2mn, .mn≤2， .k≤2， 故选：D 【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合，圆与正多边形的性质，两点之间距离公式，等边 三角形的判定与性质，完全平方公式等知识点. 3.(25-26九年级上·福建福州阶段检测)如图，在平面直角坐标系x0少中，反比例 函数y=冬cx>0)的图象与半径为10的O0交于AB两点，若∠AOB=60°，则k的值 是 V B 【答案】25 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，圆的性质，两点间的距离公式，判断出△OAB是 等边三角形是解本题的关键.先设点A(a,b),根据对称性质得B(b,a),再证△OAB是等边三角 形，用两点间的距离公式列出等式，再求解即可得出结论. 解：设点A(a,b), 反比例函数y-冬(x>0)的图象与半径为10的O0交于AB两点， 所以A,B两点关于直线y=x对称， ..B(b,a) :⊙0的半径为10， .OA=OB=10. .OA=100,即a2+b2=100, :∠AOB=60°. ∴.△OAB是等边三角形， ..AB=OA=OB=10. AB2=100,即∴(a-b)2+(b-a2=100, 化简得：a2+b2-2ab=50, ∴.100-2ab=50 .ab=25 :4a,)在反比例画数y-女(x>0)的图象上， ∴.k=ab=25 故答案为：25 4.(25-26八年级下·江苏盐城期中)定义：如图1，点M、N把线段AB分割成 AM、MN和BN,若以AM、N、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N 是线段AB的勾股点. (I)【直接应用】如图1，已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM=2,N= 4,则BN= (2)【知识迁移】如图2，点C,D是线段AB的勾股点(CD>BD),以CD为直 径画⊙O,点P在⊙O上，AC=CP,连接PA,PB,若∠A=2∠B,求∠B的度数. 2 (3)【拓展应用】如图3，点P(a,b)是反比例函数=：(x>0)上的动点， 直线y=-+2与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为 C、D,且交线段AB于E、F两点.证明：点E、F是线段AB的勾股点. B 图1 图2 图3 【答案】(1)2W3或2W5;(2)15°；(3)见解析 【分析】(1)分两种情况讨论，由勾股定理可求解： (2)如图2，连接PD,根据新定义可得AC2+BD2=CD,由圆周角定理可知∠CPD90°， 由勾股定理得：PC2+PD=CD,得PD=BD和各角之间的关系，从而计算∠A的度数，得出 结论； (3)先分别表示B、F、E、A的坐标，根据两点的距离公式计算BF,EF,AE的长，最后根 据新定义可得结论 (1)解：'点MN是线段AB的勾股点， .BN=VAM2+MN2=4+16=25BN=VMN2-AM2=16-4=213. ∴.BN的长为2V5或2V3: 故答案为：2V5或2V3. (2)解：如图2，连接PD, B 图2 .AC=PC. ∴.∠A=∠APC, .∠PCD-2∠A, :C,D是线段AB的勾股点，且CD>BD,CD>CP=AC .AC2+BD2 CD2. .PC2+BD2 CD2, CD是⊙O的直径， .∠CPD=90°， .PC2+PD2=CD2, ∴.PD=BD, ∴.∠PDC=2LB, .∠A=2∠B, ∴.∠PDC=∠A, 在Rt△PCD中，，∠PCD+∠PDC-90°， ∴.2∠A+∠A=90°， 解得∠A=30°， 则∠B-2∠A=15. 2 (3)证明：：点P(a,b)是反比例函数y=二(x>0)上的动点， 图3 2 ∴.b=9 ,直线一x+2与坐标轴分别交于A、B两点， .点B的坐标为(0,2)，点A的坐标为(2,0)， 当=a时，-x+2=2-a, ∴.点E的坐标为(a,2-a), 2 2 当厂a时，有x+2 a 2 解得：=2- 22 ∴.点F的坐标为(2 aa ar-2-名0+后2球-ae-子.r-e-名日-o-2-a2 ,AE=V2-a)2+[0-(2-a)=V2(2-a）, :B2+4E=16+2a2-8a+8-16=EF, d a ∴.以BF、AE、EF为边的三角形是一个直角三角形， ∴.E、F是线段AB的勾股点. 【点拨】本题是反比例函数和一次函数的综合题，考查了新定义勾股点的理解和运用、一次函 数图象上点的坐标、勾股定理、两点间的距离公式以及解无理方程，熟练掌握勾股定理和运用 两点的距离公式表示线段的长是解题的关键. 期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 （苏科版九年级上册：期中核心考点） 一、专题定位 本专题面向九年级优生培优拔高，整合第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆（3.1-3.4）单章难点与多章节跨模块综合压轴考点。聚焦数形结合、分类讨论、几何建模、动态探究四大核心数学思想，精准对标江苏新版苏科九上期中多问压轴大题。重点训练学生挖掘题干隐含条件、拆解复杂综合题型、处理参数问题与几何动态探究问题的能力，攻克参数分类讨论、函数几何综合、代数几何联动、动态存在性等高难度拉分题型。适配期中第三轮培优冲刺、压轴专项讲评、优生拔高限时训练，助力学生突破高分瓶颈。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 一元二次方程 含参数一元二次方程多情况分类讨论；一元二次方程在几何背景下的线段、半径长度求解；以一元二次方程为核心代数工具，完成函数、几何问题的参数分析与条件推导 反比例函数 反比例函数与几何图形多问面积、线段综合探究；反比例函数图像性质复杂应用与参数分析；动点背景下反比例函数几何关系推导与计算 圆（3.1-3.4） 圆内多问角度、线段综合证明与计算；圆背景下等腰三角形、直角三角形存在性探究；圆内动点轨迹与几何条件分析；结合分类讨论思想解决圆的多情况综合问题 三、压轴与拓展 题型1：含参数一元二次方程分类讨论综合题 1.（26-27九年级上·江西上饶·阶段检测）已知关于的方程 有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若试求实数的值． 2.（26-27九年级上·山东日照·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 3.（26-27九年级上·江西上饶·阶段检测）已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且实数，则的整数值为_________． 4.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）求证：取任何实数值，方程总有实数根； （2）若直角的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的值． 题型2：一元二次方程几何背景线段求值综合题 1.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在中，，，． （1）如图，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．如果点，分别从点，同时出发，经过几秒，的面积等于？ （2）在（1）的条件下，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． （3）若点沿射线方向从点出发，以的速度运动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，点同时出发，问：经过几秒，的面积为？ 2.（26-27九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，四边形是边长5的菱形，对角线的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则（     ） A．7 B．3 C．9.6 D．4.8 3.（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是____． 4.（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图所示，在梯形中，，，，，若，求的长． 题型3：反比例函数与几何图形面积综合压轴题 1.（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，点在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，若与的距离为5，求的值． 2.（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）如图，平行四边形的顶点，在函数的图象上，边与轴交于点，轴于点．若，则平行四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结，若的面积为18，则的值为__________． 4.（2026·河南周口·模拟预测）如图，反比例函数与函数交于，两点，射线交轴于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数解析式； （2）若点在轴上，连接，，求当的值最小时的面积． 题型4：反比例函数动点存在性探究解答题 1.（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，已知． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）一次函数的图象与x轴交于点C，点D（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点D的坐标； （3）若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，是否存在点M，N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2.（25-26九年级上·河南商丘·期中）在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（　　） A．是“乾坤点” B．函数的图象上存在2个“乾坤点” C．函数是“乾坤函数” D．若“乾坤函数”（，为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为 3.（24-25九年级上·四川成都·期中）定义：若实数，满足，，且（为常数），则称点为“友好点”，若有一个函数满足，其上存在“友好点”，则的取值范围是________． 4.（25-26九年级上·重庆南岸·期中）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接PM，PN． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若的面积为，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得四边形是平行四边形?若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 题型5：圆内多问角度、线段综合证明计算题 1.（24-25九年级上·湖南长沙·期末）定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形． （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”） ①平行四边形一定不是“等对”四边形； （    ） ②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；（   ） ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形；（   ） （2）如图1，已知四边形既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶点都在上，连接四边形的对角线，交于点P． ①记，，四边形的面积分别为，，求证： ； ②如图2，点为的中点，连接并延长交于点N，若 ，求的半径（用含，的式子表示）． 2.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 3.（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知矩形内接于，，，点是上一点，连结，将沿着直线折叠，交线段于点． （1）半径__________； （2）连接，若，则__________． 4.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，与是的两条弦，，，垂足分别是E，F．，分别叫作弦，的弦心距． （1）若，求证：． （2）若，求证：，． （3）用语言文字把上述结论表述出来． 题型6：圆背景下等腰三角形存在性探究题 1．（2026·浙江温州·二模）如图，在中，，，，，分别是边，上的动点，以为直径构造交于点（异于点）．在点，的运动过程中，始终满足． （1）求证：． （2）如图，连接，当时，求的直径． （3）设为的中点，连接，在，的运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． （1）当时，求的长； （2）求证： ； （3）是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 题型7：圆背景下直角三角形存在性探究题 1．（2026·山东日照·二模）（1）【问题提出】如图1，在矩形中，，，点E为的中点，点P为矩形内以为直径的半圆上一点，则的最小值为 ． （2）【问题探究】如图2，在中，为边上高，且，点P为内一点，当时，求的最小值； （3）【问题解决】李伯伯家有一块直角三角形菜园，如图3，米，，，李伯伯准备在该三角形菜园内取一点P，使得，并在内种植当季蔬菜，边的中点D为菜园出入口，为了种植方便，李伯伯打算在边上取点E，并沿、修两条人行走道，为了节省时间，要求人行走道的总长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）背景知识： 我们在八年级用折叠和数学推理的方法得到结论“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”，进一步研究“在斜边上是否只有中点到直角顶点的距离等于斜边的一半?” 问题： （1）若在中，，是斜边上的中线，则有，请利用尺规作图的方法在斜边AB上另找一点E，使（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下, 求的长． （3）若在中，，斜边上只存在一个点到点C的距离等于试求边的取值情况． 题型8：圆内动点几何条件探究压轴题 1．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知：内接于，，点E是上的一个动点． （1）如图1，若，的半径为2，求的长； （2）如图2，点E在劣弧上（不与点A、C重合），连接．若，求的度数； （3）如图3，已知，，点E在劣弧上（不与点B、C重合），与交于点D，在延长线上取一点G，连接，交于点H，．请判断的结果是否为定值，若是请求出其定值，若不是请说明理由． 2．（2026·浙江衢州·一模）已知：在中，点是弦上的动点（不与点，重合），过点作交于点，，连接，，，，过点作于点，交于点． （1）如图1，若经过点． ①求证：． ②若，，求的半径． （2）如图2，若，设，，求关于的函数表达式． 题型9：一元二次方程与反比例函数参数综合探究解答题 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图1，已知点，平行四边形的边与y轴交于点，且E为的中点，双曲线经过C、D两点． （1）求反比例函数表达式； （2）点P在双曲线上，点Q在x轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点Q的坐标； （3）以线段为对角线作正方形（如图3），点P为对角线上一动点，连接，过点P作．交于点M，以、为邻边作矩形，连接．试探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出值的范围． 2．（25-26九年级上·全国·期末）如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）若直线过点，且与反比例函数交于点D，点F是y轴上的一个动点，点P是直线上的一个动点，当最小时，求的最小值及此时点F的坐标； （3）如图2，若点，连接，将线段以点D为圆心，逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数图象上存在一点Q，使得，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 题型10：反比例函数与圆图像、线段面积综合压轴题 1.（2026·江苏徐州·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形相交于D、E两点，点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为．连接． （1）连接，若的面积为8，则______； （2）连接，当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ （3）连接，当k为何值时，以为直径的圆与相切 2.（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，边长为1的正六边形可绕原点旋转，若反比例函数与这个正六边形有交点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 3.（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与半径为10的交于两点，若，则k的值是_________． 4.（25-26八年级下·江苏盐城·期中）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点． （1）【直接应用】如图1，已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝2，MN＝4，则BN＝　　　． （2）【知识迁移】如图2，点C，D是线段AB的勾股点（CD＞BD），以CD为直径画⊙O，点P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数． （3）【拓展应用】如图3，点P（a，b）是反比例函数y＝（x＞0）上的动点，直线y＝﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F两点．证明：点E、F是线段AB的勾股点． 学科网（北京）股份有限公司 $