期中复习专题2——综合运算与推理证明- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

期中复习专题2——综合运算与推理证明 （苏科版九年级上册：期中核心基础考点） 一、专题定位 本专题整合第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆（3.1-3.4）三章中档核心重难点，兼顾单章节综合运用与跨章节联动解题。重点强化方程综合运算、反比例函数图像性质应用、圆的推理证明与几何计算，规范学生解题步骤书写。侧重培养代数运算、函数性质与几何图形的转化思维，针对性解决学生中档题型思路模糊、步骤疏漏、知识割裂等高频失分问题。适配期中第二轮专题复习、课堂专项讲练、中档题型限时训练、阶段性检测组卷，是提升期中解答题得分率的核心关键专题。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 一元二次方程 利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况；运用根与系数关系（韦达定理）进行基础代数式求值；含参数一元二次方程的根的情况分类讨论；一元二次方程面积、增长率等场景实际建模与求解 反比例函数 掌握反比例函数k的几何意义，熟练求解函数图像与坐标轴围成的几何图形面积；能够判断不同区间内函数值的大小关系；掌握一次函数与反比例函数联立求交点坐标的方法；完成反比例函数简单实际问题建模与运算 圆（3.1-3.4） 熟练运用垂径定理进行线段、弦长综合计算；掌握圆心角、圆周角之间的角度推理与换算；能完成同弧、等弧相关的角度、线段证明与计算；理清圆的对称性在几何解题中的应用 跨章节中档综合 一元二次方程与反比例函数参数联动求值；以一元二次方程为代数工具，求解圆背景下线段长度、半径等几何量；反比例函数与圆的简单几何面积、线段综合计算 三、必考、常考题型 题型1：一元二次方程根的判别式应用 1.（26-27九年级上·江西上饶·阶段检测）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根．求证： 是正数． 2.（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 3.（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 4.（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，求该方程的解． 题型2：一元二次方程根与系数关系简单求值 1.（26-27九年级上·山东·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 2.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2023 B．2026 C．2029 D．4052 3.（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 4.（26-27九年级上·河南鹤壁·阶段检测）关于x的一元二次方程 的一个根是，求它的另一个根和q的值． 题型3：含参数一元二次方程根的讨论 1.（2026九年级上·全国·专题练习）当k满足什么条件时，关于x的方程有实数根？ 2.（25-26九年级上·山西临汾·期末）关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 3.（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）关于的方程有实数根，则实数的最小整数值为___________． 4.（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 题型4：一元二次方程面积、增长率实际应用 1.（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．如果围成矩形的面积为，求矩形的长和宽． 2.（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为100万人次，第四季度总浏览量为600万人次，如果浏览量平均每月增长率为，则应列方程是（    ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·山西长治·阶段检测）国产某品牌无人机凭借它在AI和精准飞控方面的强大技术优势，在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次方阵表演中的示意图如图所示，无人机原来排成3行4列，后又增加了258架，使得方阵增加的行数比增加的列数少2，求方阵增加了多少行？设方阵增加的行数为，则可列方程：__________． 4.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品． （1）据统计，该纪念品在此电商平台年月的销售量是万件，年月的销售量达到万件． 若月至月的销售量月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）某实体店该纪念品的进价为每件元，若售价定为每件元，每天可售出件，市场调研发现，每件商品的售价每降低元，每天销量可增加件，为配合“江南文化节”的推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若要使每天销售后获利元，每件商品的售价应降低多少元？ 题型5：反比例函数k的几何意义面积计算 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 2.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，反比例函数（）经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为20，面积为20，则的值为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 4.（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求S与n的函数关系式． 题型6：反比例函数函数值大小比较 1.（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）当时，求y的值； （3）当时，求y的取值范围． 2.（26-27九年级上·安徽·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，，是反比例函数图象上的三个点，若，则，，的大小关系为________．（用“”连接） 4.（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，是边长为的等边三角形，反比例函数的图象过点P． （1）求点P的坐标和k的值； （2）若在这个反比例函数的图象上有两个点，且，请比较与的大小． 题型7：一次函数与反比例函数求交点 1.（26-27九年级上·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 2.（25-26八年级下·河南周口·期末）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 3.（26-27九年级上·全国·单元测试）若点是函数和图象的一个交点，则的值为________． 4.（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，，）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点是线段上的点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，若点的坐标为，求线段的长． 题型8：反比例函数简单实际应用题 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某地区的人口为x，水资源总量为18亿立方米，水资源人均占有量为． （1）写出用x表示W的函数表达式． （2）如果该地区的人口为900万，那么该地区的水资源人均占有量为多少立方米？ 2.（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 3.（26-27九年级上·全国·期中）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是________． 4.（25-26八年级下·吉林长春·期末）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 （1）根据表中的数据，可以将与看成 函数关系，其函数表达式为 ； （2）汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 题型9：垂径定理综合计算题 1.（26-27九年级上·甘肃·期中）甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 2.（2026·安徽宣城·模拟预测）如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 3.（2025九年级上·全国·专题练习）已知A，B为上的两点，C为弦的中点，过点C的直径交于点D，E，若，，则的长为______． 4.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，弦与直径相交于点E，，且，，求的长． 题型10：圆周角、圆心角角度推理证明题 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，为的直径，为弦，A为的中点，，垂足为D，和相交于点E．求证：． 2.（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 4.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，是的外接圆，是的外角的平分线，与相交于点D．求证：为等腰三角形． 题型11：圆内线段长度中档计算题 1.（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，圆的直径长为，弦的长为，的平分线交圆于点； （1）求弦与弦的长． （2）求的长． 2.（2026·青海玉树·一模）如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． 3.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知矩形内接于，，，点是弧上一点，连接，将弧沿着直线折叠，交线段于点． （1）半径________； （2）连接，若，则________． 4.（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 题型12：一元二次方程与反比例函数简单参数求值解答题 1.（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集为_________，直接写出以反比例函数与一次函数图象交点横坐标为两根的一元二次方程_________； （3）若点为轴上一点，的面积为10，直接写出点的坐标． 2.（2026·浙江嘉兴·模拟预测）如图，双曲线与直线相交于A，B两点，将直线向上平移1个单位长度，所得的直线在第一象限内交双曲线于点C，则点C的横坐标是（    ） A． B． C．1 D． 3.（2026·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于，两点，则的值为______________． 4.（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）求点B的坐标； （3）观察图象，直接写出时，x的取值范围． 题型13：利用一元二次方程求解圆背景下线段长度中档解答题 1.（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的图解法 【材料】据欧几里得的《原本》记载，形如（为常数，且）的方程可以用图解法．如图1，画，使，，，以点为圆心，的长为半径在斜边上截取，则线段的长是方程的一个正根． 【证明】设，则． 根据勾股定理得，即， 整理得， 线段的长是方程的一个正根． 任务： （1）利用此图解法解方程时，可知图1中的，___________，___________． （2）小宣在利用图解法解关于的一元二次方程时，只画出了的斜边及以点为圆心，的长为半径的圆弧交于点（如图2）． ①请在图2中的虚线圆弧上作出直角顶点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若，直接写出的值． 2.（25-26八年级下·广西百色·期末）为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）Rt的两条直角边分别是一元二次方程的两根，则的外接圆半径为_____． 4.（第27章 圆（单元测试）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（华东师大版））工厂有一批长，宽的矩形铁片，在每一块上截下一个最大的圆铁片之后，再在剩余铁片上截下一个充分大的圆铁片，如图． （1）求与的半径、的长； （2）能否在第二次剩余铁片上再截出一个与同样大小的圆铁片，为什么？ 题型14：反比例函数与圆简单几何面积综合计算题 1.（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，与轴相切于点，与轴相交于点，．双曲线恰好经过圆心，求的值是多少？ 2.（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，函数：与函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆C上，Q是的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·河北石家庄·一模）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形的中心，轴，点E在双曲线（k为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为________． 4.（25-26九年级上·北京门头沟·期末）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的等积点．已知点． （1）在，，中，点M的等积点是 ； （2）如果点M的等积点N在双曲线上，求点N的坐标； （3）已知点，，的半径为1，连接，点A在线段上．如果在上存在点A的等积点，直接写出a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题2——综合运算与推理证明 （苏科版九年级上册：期中核心基础考点） 一、专题定位 本专题整合第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆（3.1-3.4）三章中档核心重难点，兼顾单章节综合运用与跨章节联动解题。重点强化方程综合运算、反比例函数图像性质应用、圆的推理证明与几何计算，规范学生解题步骤书写。侧重培养代数运算、函数性质与几何图形的转化思维，针对性解决学生中档题型思路模糊、步骤疏漏、知识割裂等高频失分问题。适配期中第二轮专题复习、课堂专项讲练、中档题型限时训练、阶段性检测组卷，是提升期中解答题得分率的核心关键专题。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 一元二次方程 利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况；运用根与系数关系（韦达定理）进行基础代数式求值；含参数一元二次方程的根的情况分类讨论；一元二次方程面积、增长率等场景实际建模与求解 反比例函数 掌握反比例函数k的几何意义，熟练求解函数图像与坐标轴围成的几何图形面积；能够判断不同区间内函数值的大小关系；掌握一次函数与反比例函数联立求交点坐标的方法；完成反比例函数简单实际问题建模与运算 圆（3.1-3.4） 熟练运用垂径定理进行线段、弦长综合计算；掌握圆心角、圆周角之间的角度推理与换算；能完成同弧、等弧相关的角度、线段证明与计算；理清圆的对称性在几何解题中的应用 跨章节中档综合 一元二次方程与反比例函数参数联动求值；以一元二次方程为代数工具，求解圆背景下线段长度、半径等几何量；反比例函数与圆的简单几何面积、线段综合计算 三、必考、常考题型 题型1：一元二次方程根的判别式应用 1.（26-27九年级上·江西上饶·阶段检测）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根．求证： 是正数． 【答案】证明：∵关于x的一元二次方程 （）有两个相等的实数根， ， ，即 ， ， ， 是正数． 【分析】根据一元二次方程根的情况得出，进而得出，即可得出结论． 解：略 2.（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】一元二次方程二次项系数不为0，且方程有实数根时，判别式，据此分析k的取值范围． 解：∵ ∴． ∵ ∴结合两个条件，可得k的取值范围是且． 3.（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；同时，方程有实数根需满足判别式非负，由此建立条件不等式组求解即可． 解：方程 是一元二次方程， ， 一元二次方程有实数根， ， 解得 ， 故 的取值范围是且 ． 4.（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，求该方程的解． 【答案】（1）的取值范围为；（2）该方程的解为， 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，结合判别式列不等式求解； （2）先确定符合条件的最小整数，代入方程后求根． （1）解：已知有两个不相等的实数根， 可得， 解得． （2）解：根据题意可知， 则方程为，即， 则， 可得或， 解得，． 题型2：一元二次方程根与系数关系简单求值 1.（26-27九年级上·山东·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再由，可得到关于m的方程，即可求解． （1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 解得：； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 由（1）得：， ∴m的值为1． 2.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2023 B．2026 C．2029 D．4052 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的定义得，再结合根与系数的关系代入计算即可． 解：是一元二次方程的两个实数根， ， ， ． 3.（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】0 【分析】利用一元二次方程根的定义，根与系数关系定理，求代数式的值即可． 解：是一元二次方程的两个实数根， ， ， ． 4.（26-27九年级上·河南鹤壁·阶段检测）关于x的一元二次方程 的一个根是，求它的另一个根和q的值． 【答案】另一个根为，的值是 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系求出方程的另一个根，继而再次利用根与系数的关系即可求出的值． 解：设方程的另一个根为，则， ， 又， ． 答：另一个根为，的值是． 题型3：含参数一元二次方程根的讨论 1.（2026九年级上·全国·专题练习）当k满足什么条件时，关于x的方程有实数根？ 【答案】 【分析】分方程为一元一次方程及一元二次方程两种情况讨论即可． 解：当时，方程是一元二次方程，要使方程有实数根，则， 即， 解得且； 当时，方程是一元一次方程，即， ∴方程有实数根． 综上所述，当时，关于x的方程有实数根． 2.（25-26九年级上·山西临汾·期末）关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到a的取值范围． 解：当时，方程化为， 解得， 当时，， 解得， 综上所述，a的取值范围为． 故选：A． 【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 3.（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）关于的方程有实数根，则实数的最小整数值为___________． 【答案】1 【分析】当时，方程有实数根；当时，根据即可求解． 解：当时，， 解得，方程有实数根； 此时； 当时， ∵有实数根， ∴， ∴， ∴实数的最小整数值为1． 故答案为：1． 【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别，掌握相关知识并正确计算是解题的关键． 4.（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】（1）证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． （2）或或 【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据平方的非负性判断方程总有两个实数根； （2）利用公式法求出，，再根据方程的两个实数根都是整数，即可求出正整数的值． 解：（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， 为正整数， ∴为4的正约数， 或或． 题型4：一元二次方程面积、增长率实际应用 1.（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．如果围成矩形的面积为，求矩形的长和宽． 【答案】矩形实验田的长为，宽为. 【分析】设矩形实验田垂直于墙的一边为，与墙平行的一边长，根据题意，列出一元二次方程，据此求解即可； 解：设矩形实验田垂直于墙的一边为，与墙平行的一边长， 根据题意，， 解得：． ， ， ， ， 此时矩形实验田的长为，宽为. 2.（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为100万人次，第四季度总浏览量为600万人次，如果浏览量平均每月增长率为，则应列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确第四季度包含3个月，总浏览量为三个月浏览量之和． 解：10月份浏览量为100万人次，11月份浏览量为万人次，12月份浏览量为万人次， ∵第四季度总浏览量为600万人次， ∴列方程为． 3.（26-27九年级上·山西长治·阶段检测）国产某品牌无人机凭借它在AI和精准飞控方面的强大技术优势，在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次方阵表演中的示意图如图所示，无人机原来排成3行4列，后又增加了258架，使得方阵增加的行数比增加的列数少2，求方阵增加了多少行？设方阵增加的行数为，则可列方程：__________． 【答案】 【分析】设方阵增加的行数为，则增加的列数为，增加后的行数为，列数为，无人机的总数量为，由此即可列方程． 解：根据题意列方程为 4.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品． （1）据统计，该纪念品在此电商平台年月的销售量是万件，年月的销售量达到万件． 若月至月的销售量月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）某实体店该纪念品的进价为每件元，若售价定为每件元，每天可售出件，市场调研发现，每件商品的售价每降低元，每天销量可增加件，为配合“江南文化节”的推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若要使每天销售后获利元，每件商品的售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为；（2）每件商品的售价应降低元． 【分析】（1）本题为增长率问题，由初始量最终量（为增长月数），列方程即可求出增长率； （2）由利润公式：单件商品利润销售量总利润，列方程解决问题，注意题目要求尽量减少库存，优先选择降价多的方案． （1）解：设月平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去） 答：月平均增长率为； （2）设每件商品的售价应该降低元，则每件商品的利润为元，每天的销量为件， 依题意可得：， 解得，（不符合题意，舍去） 答：每件商品的售价应该降低元． 题型5：反比例函数k的几何意义面积计算 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 【答案】的面积为5 【分析】过点作轴于点，则四边形为矩形，根据反比例函数值的几何意义，得到矩形的面积等于，再根据的面积是矩形面积的一半即可得解． 解：过点作轴于点， ∵轴，， ， ∴四边形为矩形， 设与轴的交点为，则四边形和四边形均为矩形， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， ∵为矩形的对角线， ∴的面积等于矩形的面积的一半，即：的面积等于5． 2.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，反比例函数（）经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为20，面积为20，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形周长求出边长，利用面积公式求出高，结合勾股定理确定点B的横坐标绝对值，根据图象所在象限确定点B坐标，代入反比例函数解析式求解. 解：过点B作轴于点， ∵菱形的周长为20， ∴， ∵菱形的面积为20， ∴， 解得， 在中，， 由图可知，点B在第二象限，A在轴负半轴，且点B在点A的左侧， ∴， ∴， ∴反比例函数（）经过点， ∴. 3.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 【答案】4 【分析】如图所示，连接、，可得，由反比例函数中的几何意义可得，，最后由即可得出结果． 解：如图所示，连接、， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 4.（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求S与n的函数关系式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． （1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 题型6：反比例函数函数值大小比较 1.（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）当时，求y的值； （3）当时，求y的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）的取值范围是或 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式，即可求解； （2）将代入已确定的反比例函数解析式，即可求解； （3）根据反比例函数的增减性，即可求解． （1）解：将点代入，得， 解得， ∴k的值为7． （2）解：由（1）得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴当时，y的值为． （3）解：当时，，当时，，且反比例函数在每个象限内，随的增大而减小， 当时，反比例函数的图象在第三象限， ∴， 当时，反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴当时，y的取值范围是或． 2.（26-27九年级上·安徽·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，确定反比例函数的解析式，再根据的符号判断增减性，结合自变量的取值范围，求出的取值范围． 解：把代入中得， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴在每个象限内，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，． 3.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，，是反比例函数图象上的三个点，若，则，，的大小关系为________．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据反比例函数比例系数小于0，判断函数图象所在象限和增减性，再结合三个点横坐标的范围，判断每个点所在象限，进而比较纵坐标大小． 解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 又∵， ∴和在第二象限，在第四象限， ∴ ，即． 4.（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，是边长为的等边三角形，反比例函数的图象过点P． （1）求点P的坐标和k的值； （2）若在这个反比例函数的图象上有两个点，且，请比较与的大小． 【答案】（1）点P的坐标为；；（2），理由如下： ， ∴在每一象限内，y随着x的增大而减小． ． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到点的坐标，根据待定系数法可求的值； （2）由的值大于，得到在每一个象限，随的增大而减小，利用增减性即可判断． （1）解：是边长为的等边三角形， 点P的坐标为． 反比例函数的图象过点P， ， 解得． （2）略 【点拨】此题考查了待定系数法确定反比例函数解析式，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 题型7：一次函数与反比例函数求交点 1.（26-27九年级上·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 【答案】（1），；（2）或 【分析】（1）首先求出，然后代入求出；然后联立和求出或6，然后将代入即可得到； （2）找出图象中直线在反比例函数图象上方时x的范围即可． （1）解：将代入得， ∴ ∴ 将代入得， ∴ ∴反比例函数的解析式为； 联立和得， 解得或6 ∴将代入得， ∴； （2）解：∵直线与反比例函数的图象交于、两点， ∴由图象得，当或时，直线在反比例函数图象上方， ∴不等式的解集为或． 2.（25-26八年级下·河南周口·期末）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 则时，的取值范围是或． 3.（26-27九年级上·全国·单元测试）若点是函数和图象的一个交点，则的值为________． 【答案】10 【分析】点是两个函数交点，因此坐标满足两个函数解析式，可得和的值，利用完全平方公式变形即可求出的值． 解：∵点是两个函数图象的交点， ∴点坐标满足两个函数解析式， ∴，即，同时，即， ∵， ∴代入，，得：． 4.（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，，）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点是线段上的点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，若点的坐标为，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把代入，得出，把代入，求出，即可得出答案； （2）把代入求出，把代入求出，即可求出的长． （1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点是线段上的点，点的坐标为， ∴， 解得， ∴， ∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点， ∴点纵坐标为， ∵反比例函数的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， ∴． 题型8：反比例函数简单实际应用题 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某地区的人口为x，水资源总量为18亿立方米，水资源人均占有量为． （1）写出用x表示W的函数表达式． （2）如果该地区的人口为900万，那么该地区的水资源人均占有量为多少立方米？ 【答案】（1）（）；（2）200立方米 【分析】（1）根据水资源人均占有量等于水资源总量除以人口总数解答； （2）将代入关系式，求出解即可． （1）解：根据题意，得； （2）解：当时，（立方米）， 所以该地区的水资源人均占有量为200立方米． 2.（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 【答案】D 【分析】根据题意求出加热阶段解析式及反比例函数解析式，逐一判断选项即可． 解：升温速率，初始温度， 设加热阶段解析式：， 令，，解得， 即加热分钟达到． 设反比例函数，代入： ，， 故降温阶段：． 令，，，即一个完整周期为． 选项A：水温从加热到，需要3min加热段， 令： ，，， 用时3分钟，A正确； 选项B：水温下降过程中，与的函数关系式是，B正确； 选项C：，处于降温阶段，代入： ，水温，正确； 选项D：分两段计算对应的范围： 加热段：， ，，加热段符合条件时长：． 降温段：， ，，降温段符合条件时长：． 总时长：，D错误． 3.（26-27九年级上·全国·期中）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是________． 【答案】 【分析】由待定系数法可求解反比例函数解析式，再令，可求得的值，结合图象即可得解． 解：∵近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系， ∴设， ∵点在此函数的图象上， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是． 4.（25-26八年级下·吉林长春·期末）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 （1）根据表中的数据，可以将与看成 函数关系，其函数表达式为 ； （2）汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 【答案】（1）反比例，；（2）不能到达乙地 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． （1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系， 设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵11时30分9时（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 题型9：垂径定理综合计算题 1.（26-27九年级上·甘肃·期中）甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 【答案】米 【分析】连接交于点，由题意得出，推出，由垂径定理得，最后用勾股定理解即可． 解：连接交于点， 点为水轮的最低点， ， ， 由题知，， ， ， 米． 2.（2026·安徽宣城·模拟预测）如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理得出，由，知是等边三角形，，从而得出，再由勾股定理计算得出即可． 解： ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ． 3.（2025九年级上·全国·专题练习）已知A，B为上的两点，C为弦的中点，过点C的直径交于点D，E，若，，则的长为______． 【答案】或 【分析】先根据垂径定理和勾股定理求得，再分类讨论，结合图形求解即可． 解：如图1，连接， ∵点C为弦的中点，是的直径，， ∴，， 又， ∴， ∴； 同理，如图2，则； 综上，长为或. 4.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，弦与直径相交于点E，，且，，求的长． 【答案】 【分析】先求解，过作于F，连接，进一步结合含的直角三角形的性质与勾股定理求解即可. 解：∵，， ∴，， ∴， 过作于F，连接，如图所示： ∴， ∵， ， ，， ∵， ， . 题型10：圆周角、圆心角角度推理证明题 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，为的直径，为弦，A为的中点，，垂足为D，和相交于点E．求证：． 【答案】证明：连接，， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵A为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】连接，，证明，即可得到结论． 解：略 2.（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 3.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 【答案】4 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 4.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，是的外接圆，是的外角的平分线，与相交于点D．求证：为等腰三角形． 【答案】证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【分析】根据圆内接四边形的性质结合平角的定义得到，角平分线的定义结合圆周角定理得到，进而得到，即可得证． 解：略 题型11：圆内线段长度中档计算题 1.（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，圆的直径长为，弦的长为，的平分线交圆于点； （1）求弦与弦的长． （2）求的长． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据圆周角定理得到，然后利用勾股定理可计算出；根据圆周角定理得到°，再根据角平分线定义得，则，于是可判断为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质即可求得； （2）作于，由（1）可得是等腰直角三角形，进而可得，，利用勾股定理求得，根据即可求得的长． （1）解：是的直径， ， 在中， ， 是的直径， ， 的平分线交于点， 是等腰直角三角形， （2）如图，作于， 是的直径， ， 的平分线交于点， ， 是等腰直角三角形， ， 在中， ， ． 2.（2026·青海玉树·一模）如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先利用直径所对的圆周角为直角确定为直角三角形，再结合角的性质与勾股定理计算的长度． 解：∵是的直径，点C在上， ∴，即是直角三角形． 在中，， ∴， ∴． 3.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知矩形内接于，，，点是弧上一点，连接，将弧沿着直线折叠，交线段于点． （1）半径________； （2）连接，若，则________． 【答案】 / 【分析】（1）利用矩形内接于圆的性质，矩形的对角线为圆的直径，结合勾股定理求出对角线长度，进而得到半径． （2）先由折叠性质推出，再证明弧的对称性得到，结合圆心角与圆周角的关系得出，最后在等腰直角三角形中用勾股定理求出，从而得到 解：（1）连接， ∵矩形内接于，，， ∴，，， ∴对角线为的直径， ∵，， ∴， ∴半径， （2）连接、、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弧沿折叠交于， ∴和关于直线对称，点的对称点为， ∴， ∵， ∴， ∵是圆周角， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴． 4.（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴． （2） 【分析】（1）由垂径定理，结合三角形中位线的性质，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，从而可得，，根据勾股定理可得，从而可得． 解：（1）略 （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型12：一元二次方程与反比例函数简单参数求值解答题 1.（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集为_________，直接写出以反比例函数与一次函数图象交点横坐标为两根的一元二次方程_________； （3）若点为轴上一点，的面积为10，直接写出点的坐标． 【答案】（1）y，y＝x＋1；（2）或；；（3）P的坐标是或 【分析】（1）根据反比例函数的图象经过，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式，进而求得的坐标，根据、点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据、的坐标，结合图象即可求得； （3）对于一次函数，令，求出点C的坐标，设，表示出的长，根据列出方程，求解即可． （1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴，即 ∴反比例函数的表达式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得，不等式的解集为或． 以，2为根的一元二次方程可以为，即． （3）解：对于一次函数，令，则，解得， ∴， ∵点为轴上一点， ∴设，则， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标是或． 2.（2026·浙江嘉兴·模拟预测）如图，双曲线与直线相交于A，B两点，将直线向上平移1个单位长度，所得的直线在第一象限内交双曲线于点C，则点C的横坐标是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的图象的交点问题，一次函数图象的平移，根据平移规则，得到新的直线的解析式为，联立直线与双曲线的解析式，求出点的横坐标即可． 解：将直线向上平移1个单位长度，得到新直线， 联立，得：， 解得：， ∵点在第一象限， ∴点C的横坐标是1； 故选C． 3.（2026·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于，两点，则的值为______________． 【答案】0 【分析】联立两个函数表达式得：，即，利用根与系数的关系得出，故． 解：联立两个函数表达式得： ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：0． 【点拨】本题考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，利用根与系数的关系是本题解题的关键． 4.（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）求点B的坐标； （3）观察图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】（1）将点A分别代入到两个函数解析式即可解答； （2）联立一次函数和反比例函数的表达式即可解答； （3）观察函数图象得出反比例函数在一次函数上方或相等时x的取值范围即可； （1）解：将点代入中得， ， ∴一次函数表达式为， 将点代入中得，解得：， ∴反比例函数表达式为； （2）解：联立与，得，即， 解得：或2， 经检验均是方程的解， 当时，， ∴点B的坐标为； （3）解：∵，， 根据函数图象可得，当时，或． 题型13：利用一元二次方程求解圆背景下线段长度中档解答题 1.（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的图解法 【材料】据欧几里得的《原本》记载，形如（为常数，且）的方程可以用图解法．如图1，画，使，，，以点为圆心，的长为半径在斜边上截取，则线段的长是方程的一个正根． 【证明】设，则． 根据勾股定理得，即， 整理得， 线段的长是方程的一个正根． 任务： （1）利用此图解法解方程时，可知图1中的，___________，___________． （2）小宣在利用图解法解关于的一元二次方程时，只画出了的斜边及以点为圆心，的长为半径的圆弧交于点（如图2）． ①请在图2中的虚线圆弧上作出直角顶点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若，直接写出的值． 【答案】（1）；；（2）①如图，点为所求． ② 【分析】（1）根据题意确定、，以及确定、、的值，在中，根据勾股定理得的值，从而确定的值； （2）①作线段的垂直平分线，结合直径所对的圆周角是确定直角顶点的位置； ②根据题意确定、、、、的值，在中，根据勾股定理得到关于的一元二次方程，解方程，结合实际意义得到的值． （1）解：， ，，且 ∴，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴； （2）①略 ②解：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得， 即， 整理得, 解得：，（舍）， ∴． 2.（25-26八年级下·广西百色·期末）为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形确定圆的半径与正方形边长的关系，利用“绿植面积圆面积正方形面积”列出方程即可． 解：设正方形水池的边长为米， 水池的每条边到圆周的距离均为米，且正方形中心到边的距离为边长的一半， 圆的半径． 绿植部分的面积为平方米， 圆面积正方形面积， 即． 3.（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）Rt的两条直角边分别是一元二次方程的两根，则的外接圆半径为_____． 【答案】2.5/ 【分析】根据题意先解一元二次方程，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案． 解：， ， 解得， Rt的两条直角边分别为3，4， 斜边长为， 直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点， 的外接圆半径为． 【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知直角三角形的外心是斜边的中点是解答此题的关键． 4.（第27章 圆（单元测试）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（华东师大版））工厂有一批长，宽的矩形铁片，在每一块上截下一个最大的圆铁片之后，再在剩余铁片上截下一个充分大的圆铁片，如图． （1）求与的半径、的长； （2）能否在第二次剩余铁片上再截出一个与同样大小的圆铁片，为什么？ 【答案】（1）；；（2）不能，理由： 因为， 所以剩余铁皮的宽小于8， 所以无法截出一个与同样大小的圆铁片． 【分析】本题考查的是相切两圆的性质、勾股定理及矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）连接，、，根据在中，由勾股定理列方程解决； （2）因为，所以剩余铁皮的宽小于8，所以无法截出一个与同样大小的圆铁片． （1）解：显然的半径是矩形的宽的一半，即． 设两圆和分别切于点，，连接，、，作于点G． ， 根据在中，由勾股定理，得： ， ，（不合题意舍去）． （2）略 题型14：反比例函数与圆简单几何面积综合计算题 1.（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，与轴相切于点，与轴相交于点，．双曲线恰好经过圆心，求的值是多少？ 【答案】 【分析】作辅助线构造直角三角形，应用勾股定理和垂径定理求得的长度，连接，利用切线的性质得到矩形，进而得到点的坐标． 解：过点作轴于点，连接，， ∵，， ∴， ∴由垂径定理可知：， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴四边形是矩形， ∵点， ∴， ∴在中，由勾股定理可知：， ∴， ∴的坐标为， ∴， 故． 【点拨】本题考查了反比例函数解析式的确定、垂径定理、切线的性质、矩形的性质、坐标计算等知识，解题的关键是作辅助线，用垂径定理和勾股定理计算点的坐标． 2.（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，函数：与函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆C上，Q是的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 先求出点A，B的坐标，连接并延长交于点D，过点B作轴，根据已知条件可得，所求长的最小值，即求的长最小，即点P运动到与圆的交点时，此时的长最小，由勾股定理可得，即可求解． 解：连接并延长交于点D，过点B作轴， 根据题意，联立，得， 解得，， ∴，， ∴点O为中点， ∵Q是的中点， ∴，， ∴若长最小，则的长最小， 即点P运动到与圆的交点时，此时的长最小， ∵，， ∴，， 由勾股定理，得， 即， ∴． 故选：A． 3.（2025·河北石家庄·一模）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形的中心，轴，点E在双曲线（k为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、反比例函数与几何综合，作轴与，连接，证明是等边三角形，得出，设，则，，得出，，根据平移的性质可得点在双曲线上，代入计算即可得解． 解：如图，作轴与，连接， ∵原点O为正六边形的中心， ∴，, ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上， ∴点在双曲线上， ∵点也在双曲线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 4.（25-26九年级上·北京门头沟·期末）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的等积点．已知点． （1）在，，中，点M的等积点是 ； （2）如果点M的等积点N在双曲线上，求点N的坐标； （3）已知点，，的半径为1，连接，点A在线段上．如果在上存在点A的等积点，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）、；（2）或；（3） 【分析】（1）根据等积点的定义进行判断即可； （2）先求出点M的等积点一定在直线，再根据点M的等积点N在双曲线上，求出直线与双曲线的交点坐标即可； （3）根据点M的等积点在直线上，点P的等积点在直线上，从而得出点A的等积点在直线和直线于第一象限交成的锐角的内部或边上，画出图形求出边界点的坐标，即可得出答案． （1）解：∵， ∴是M的等积点； ∵， ∴不是M的等积点； ∵， ∴是M的等积点； 故答案为：、； （2）解：设点M的等积点为，则， 即， ∴点M的等积点一定在直线， 又∵点M的等积点N在双曲线上， ∴联立， 解得：，， 点N的坐标为或． （3）解：根据解析（2）可知，点M的等积点在直线上， 设点P的等积点为，则，即， ∴点P的等积点在直线上， ∵点A在线段上， ∴点A的等积点在直线和直线于第一象限交成的锐角的内部或边上， 点Q在直线上，直线与的交点为，与直线的交点，与x轴的交点， ∴， ，， 如图，当正好与直线相切于点F时，上一定存在点A的等积点，当正好与直线相切于点E时，上一定存在点A的等积点，且圆心Q在与之间时，上一定存在点A的等积点， 连接，，则， ∵直线与相切于点E，直线与相切于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 此时， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 此时， ∴a的取值范围为． 【点拨】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，求直线与双曲线的交点坐标，切线的性质，勾股定理，坐标特点，解题的关键是理解题意，作出相应的图形，求出边界点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $