期中复习专题4——中考真题专项训练- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

期中复习专题4——中考真题专项训练 苏科版新教材：一元二次方程、反比例函数、圆（3.1-3.4） 1. 基础层 掌握一元二次方程的概念、一般形式及四种解法（直接开平方、配方法、公式法、因式分解法）的基本计算；理解反比例函数的概念与图像所在象限，能根据函数值求比例系数k；掌握圆、弦、弧、圆心角、圆周角等基本概念，能运用垂径定理、圆周角定理进行直接计算。 2. 进阶层 熟练运用根的判别式判断一元二次方程根的情况，运用根与系数关系（韦达定理）进行代数式求值；掌握反比例函数k的几何意义，会求函数图像与坐标轴围成的图形面积，能比较不同区间函数值的大小，会求一次函数与反比例函数的交点；能综合运用垂径定理与勾股定理进行线段、弦长计算，进行圆心角、圆周角之间的角度推理与换算。 3. 拔高层 能对含参数的一元二次方程进行分类讨论，运用方程思想求解几何背景下的线段、半径长度；掌握反比例函数与几何图形的综合面积问题、与一次函数的综合探究；能在圆背景下完成多问角度、线段综合证明与计算，结合数形结合、分类讨论思想解决中考压轴题型。 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·河北沧州·中考真题）一元二次方程化成一般形式后，发现二次项系数为1，则一次项系数为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将方程化为一般形式，进而解题． 解：∵ 原方程， 展开得， 移项得， 此时二次项系数为1，一次项系数为2， ∴ 一次项系数为2． 故选：B． 2．（2026·河北·中考真题）在对一元二次方程计算时，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式．熟练掌握一元二次方程的一般形式： ，其中，，分别为二次项系数，一次项系数和常数项，是解题的关键．将方程转化为一般形式，进行判断即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 3．（2026·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．（2026·河南商丘·中考真题）已知关于x的方程的一根为0，另一根不为0，则m的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．以上均不对 【答案】A 【分析】首先将根为0代入方程解得的值，然后利用根的判别式进行判断的范围，再根据二次项系数不能为0，从而得到所求的的值． 解：关于的方程的一根为0， ， 即， 解得：或． 当时，方程为， 解之得，，符合题意； 当时，方程为， 方程只有一个根，不符合题意； ∴， 故选：A． 【点拨】本题主要考查一元二次方程的解和根的判别式的综合运用，关键是求到的取值范围． 5．（2026·福建·中考真题）下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算对应的y值，和点的纵坐标对比即可得出结论． 解：对于函数 A、当时，， 点在函数的图象上，此选项符合题意； B、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； C、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； D、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意． 6．（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的面积公式，得到一边a和高h之间的关系式，再结合的范围逐项判断即可． 解：由题意得， ∴a与h的函数关系式为， ∴此函数是一个以为自变量的反比例函数， 边上的高为， ∴， 故选：B． 7．（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，然后利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式求解即可． 解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为，即， ∴的长为． 8．（2026·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 解：∵半径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．（2026·河北沧州·中考真题）若一元二次方程的两根之和为，则反比例函数的图象在（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，反比例函数的图象性质，掌握韦达定理和反比例函数性质是解题关键． 利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和，再根据的符号判断反比例函数图象的象限． 解：∵方程中，， ∴两根之和， ∴反比例函数为， ∵， ∴反比例函数图象在第二、四象限． 故选：． 10．（2025·四川巴中·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可设点，则有，然后根据三角形面积公式可进行求解． 解：由题意可设点， ∵轴， ∴， ∴； 故选A． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·西藏林芝·中考真题）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是___________． 【答案】4 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，解题关键是掌握一元二次方程的解的意义． 将代入方程求解m． 解：把代入方程， 得， 解得：， 故答案为：4． 12．（2026·河北沧州·中考真题）如图，在下面的数学魔术盒中输入，得到，则二次函数的顶点坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，二次函数的顶点坐标，理解并运用魔术盒的输入输出规则是解题关键． 先将代入魔术盒运算规则，列出关于的方程，解得后确定二次函数表达式，再通过配方法求出顶点坐标． 解：根据题意，可知当输入时，输出， 即，解得， 则二次函数为， 可变形为：， 则二次函数的顶点为． 答：． 13．（2026·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案． 解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为， 时，， ，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为， ． 故答案为：． 14．（2026·陕西西安·中考真题）如图，是的直径，，是上的两点，过点作，垂足为．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，已知是的直径且，则，则可证明　，根据同弧所对圆周角相等可求． 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（2024·广东·中考真题）设为两相异实数．满足的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及分式的化简求值，先得出是一元二次方程的两个不相等的实数根，进而得出，再将分式进行化简后代入求值即可． 解：为两相异实数．满足， 是一元二次方程的两个不相等的实数根， 一元二次方程可化为， ， ， 故答案为：． 16．（2026·陕西西安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，点的坐标是，连接，，，与轴平行，若的面积为3，则的值为_______． 【答案】 【分析】设点的纵坐标为，则AB的长度为，三角形的底边为，高等于点横坐标的绝对值，结合面积为3的条件，可列方程求解，得到点的坐标，将点坐标代入解析式即可求出的值． 解：∵与轴平行，， ∴点横坐标为， 设，在上， 则， 由图可知在上方，， ∴， ∵平行轴，原点到的水平距离为， ∴ 解得， ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 基础解答题（第17-19题） 17．（8分）（2026·广东潮州·中考真题）用适当的方法解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）用直接开平方法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可； （3）用因式分解法解方程即可； （4）用公式法解方程即可． （1）解： ， ； （2）解： 或 ； （3）解： ； （4）解： . 18．（8分）（2026·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． （2）当电阻R为时，求此时的电流I． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案． （1）解：设这个反比例函数的解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴这个反比例函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴此时的电流I为． 19．（8分）（2026·甘肃天水·中考真题）如图，△ABC中，AB＝AC． （1）用无刻度的直尺和圆规作△ABC的外接圆；（保留画图痕迹） （2）若AB＝10，BC＝16，求△ABC的外接圆半径． 【答案】（1）如图所示即为△ABC的外接圆 （2） 【分析】（1）用尺规作边AB和AC的垂直平分线，两线相交于点O进而作出△ABC的外接圆； （2）根据垂径定理和勾股定理即可求出外接圆的半径． 解：（1）略． （2）连接OB、OA，交BC于点D， ∵OB＝OA， ∴AD⊥BC， 根据垂径定理，得 BD＝DC＝BC＝8，∠ODB＝90°， 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得 在Rt△BOD中，根据勾股定理，得 OB2＝OD2+BD2， 即OB2＝（OB﹣6）2+82 解得OB＝ ． 答：△ABC的外接圆半径为． 【点拨】本题主要考查三角形外接圆，勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理及垂径定理是解题的关键. 综合提升解答题（第20-22题） 20．（9分）（2025·浙江·中考真题）已知函数． （1）求证：函数的图象与x轴一定有交点． （2）若方程的两个根均大于且小于1，求a的取值范围． 【答案】（1）证明：， ∴函数的图象与x轴一定有交点． （2） 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根的情况求参，二次函数图象与x轴的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和二次函数图象性质． （1）根据跟的判别式进行证明，证明出即可； （2）首先求出方程的两根，然后根据两个根均大于且小于1，求出a的取值范围． 解：（1）略 （2）解： 解得：，， ，解得． ∴， ． 21．（9分）（2026·江苏盐城·中考真题）小明利用数学画图软件，进行了如下操作： （Ⅰ）生成反比例函数的图像； （Ⅱ）过点生成轴的垂线，过点生成轴的垂线，分别交反比例函数的图像于点，，生成直线． 所得图形如图所示，根据信息，解答下列问题． （1）求，两点的坐标，以及直线的函数表达式． （2）在（1）的基础上，当在什么范围内时，反比例函数的值大于一次函数的值？（直接写出结果） 【答案】（1）点的坐标为；点的坐标为；；（2）或 【分析】（1）由题意得，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为，结合反比例函数解析式，即可求出坐标，再设直线的解析式为，并将A、B代入即可求解； （2）根据图象即可求解． （1）解：由题意得，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为， ∴将代入得，， ∴点的坐标为， 将代入得： 解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将、代入解析式中， 得， 解得 ∴直线的函数表达式为； （2）解：由图象可得，反比例函数图像在一次函数图像上方时，对应的取值范围为或． 22．（9分）（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； （2） 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 解：（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 压轴解答题（第23-24题） 23．（10分）（2026·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足：，且，求ab的值； （3）已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【答案】（1）；（2）2；（3）0 【分析】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 解：（1）依据题意， 将代入得， 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． （2）∵， ∴， 则． 又∵， ∴，是一元二次方程的两个根， 则， ∴． （3）∵，； ∴； 即； ∴． 又∵； ∴； 即． ∵，为两个不相等的实数， ∴， 则， ∴． 又∵， ∴， 即． 【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 24．（11分）（2026·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】（1），；（2）或；（3）当为直角三角形时，点P的坐标为或 【分析】（1）先得出，然后可得反比例函数解析式，进而联立函数关系式可得点B的坐标； （2）根据图象可直接进行求解； （3）由题意可设，则有，根据两点间距离公式可得：，，，然后可分当时，当时，进而分类进行求解即可． （1）解：由题意可把点代入直线得：， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：由图象及（1）可知：不等式的解集为或； （3）解：由题意可设， 把代入直线得：，解得：， ∴， ∵， ∴根据两点间距离公式可得：，，， 当为直角三角形时，则可分： 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：当为直角三角形时，点P的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题4——中考真题专项训练 苏科版新教材：一元二次方程、反比例函数、圆（3.1-3.4） 1. 基础层 掌握一元二次方程的概念、一般形式及四种解法（直接开平方、配方法、公式法、因式分解法）的基本计算；理解反比例函数的概念与图像所在象限，能根据函数值求比例系数k；掌握圆、弦、弧、圆心角、圆周角等基本概念，能运用垂径定理、圆周角定理进行直接计算。 2. 进阶层 熟练运用根的判别式判断一元二次方程根的情况，运用根与系数关系（韦达定理）进行代数式求值；掌握反比例函数k的几何意义，会求函数图像与坐标轴围成的图形面积，能比较不同区间函数值的大小，会求一次函数与反比例函数的交点；能综合运用垂径定理与勾股定理进行线段、弦长计算，进行圆心角、圆周角之间的角度推理与换算。 3. 拔高层 能对含参数的一元二次方程进行分类讨论，运用方程思想求解几何背景下的线段、半径长度；掌握反比例函数与几何图形的综合面积问题、与一次函数的综合探究；能在圆背景下完成多问角度、线段综合证明与计算，结合数形结合、分类讨论思想解决中考压轴题型。 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·河北沧州·中考真题）一元二次方程化成一般形式后，发现二次项系数为1，则一次项系数为（    ） A． B．2 C． D．3 2．（2026·河北·中考真题）在对一元二次方程计算时，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南商丘·中考真题）已知关于x的方程的一根为0，另一根不为0，则m的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．以上均不对 5．（2026·福建·中考真题）下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 6．（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．（2026·河北沧州·中考真题）若一元二次方程的两根之和为，则反比例函数的图象在（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 10．（2025·四川巴中·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·西藏林芝·中考真题）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是___________． 12．（2026·河北沧州·中考真题）如图，在下面的数学魔术盒中输入，得到，则二次函数的顶点坐标为_______． 13．（2026·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______． 14．（2026·陕西西安·中考真题）如图，是的直径，，是上的两点，过点作，垂足为．若，则的度数为________． 15．（2024·广东·中考真题）设为两相异实数．满足的值是___________． 16．（2026·陕西西安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，点的坐标是，连接，，，与轴平行，若的面积为3，则的值为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 基础解答题（第17-19题） 17．（8分）（2026·广东潮州·中考真题）用适当的方法解方程 （1） （2） （3） （4） 18．（8分）（2026·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． （2）当电阻R为时，求此时的电流I． 19．（8分）（2026·甘肃天水·中考真题）如图，△ABC中，AB＝AC． （1）用无刻度的直尺和圆规作△ABC的外接圆；（保留画图痕迹） （2）若AB＝10，BC＝16，求△ABC的外接圆半径． 综合提升解答题（第20-22题） 20．（9分）（2025·浙江·中考真题）已知函数． （1）求证：函数的图象与x轴一定有交点． （2）若方程的两个根均大于且小于1，求a的取值范围． 21．（9分）（2026·江苏盐城·中考真题）小明利用数学画图软件，进行了如下操作： （Ⅰ）生成反比例函数的图像； （Ⅱ）过点生成轴的垂线，过点生成轴的垂线，分别交反比例函数的图像于点，，生成直线． 所得图形如图所示，根据信息，解答下列问题． （1）求，两点的坐标，以及直线的函数表达式． （2）在（1）的基础上，当在什么范围内时，反比例函数的值大于一次函数的值？（直接写出结果） 22．（9分）（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 压轴解答题（第23-24题） 23．（10分）（2026·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足：，且，求ab的值； （3）已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 24．（11分）（2026·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $