精品解析：湖南省桃源县第一中学2026-2027学年高二上学期第一次模块考试数学试题

2026年下学期桃源一中高二年级第一次模块考试数学试题 时量：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合A中的一元二次方程得到集合A的元素，再根据并集的定义计算即可. 【详解】由，因式分解得，解得或，因此. 因为，所以. 2. 已知，是虚数单位，若复数是纯虚数，则（ ） A. -1 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】若复数是纯虚数，则，解得. 3. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， 在上的投影向量为． 4. 在长方体中，，，点，分别是，的中点，则点到直线的距离为（ ）. A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，根据空间中点到直线的距离公式计算出结果即可. 【详解】以为原点，建立空间直角坐标系，则，，， 所以，， 所以点到直线的距离为：， 即点到直线的距离为， 故答案为：D. 5. 过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将与椭圆焦点相同的椭圆的方程设为，再将点代入，求得的值，即可得出椭圆标准方程. 【详解】设所求椭圆方程为， 将点代入，可得，解得（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 故选：D. 6. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件对变量进行转化，通过统一为一个变量利用基本不等式计算最小值． 【详解】因为，将代入可得，等号不成立，故； 可得， 因为，故，所以 则， 即，当且仅当时，即，时，等号成立； 故的最小值是． 7. 已知点，若直线与线段不相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，分别求出、所在直线的斜率，则答案可求． 【详解】解：直线过点，如图所示， ，， 又直线与线段不相交， 由图可知，直线的斜率的取值范围为． 故选：C. 8. 已知实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取点、、，可得，数形结合可知当为线段与圆的交点时，取最小值，结合平面内两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为实数、满足，则， ， 取点、、，则， ， 即， 当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，即的最小值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线必过点 B. 直线与圆必相交 C. 圆：与圆有3条公切线 D. 当时，直线被圆截得的弦长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由直线方程确定过定点，判断定点与圆位置关系判断A、B；根据两圆圆心距离与半径间的关系判断C；应用点线距离及弦长的几何求法求弦长. 【详解】A：由：，则必过定点，正确； B：将定点代入圆，有， 故点在圆内，即直线与圆必相交，正确； C：由题设且半径为，而且半径为， 所以，即两圆外切，故两圆有3条公切线，正确； D：当时，，则到直线的距离， 故直线被圆截得的弦长为，错误. 10. 如图，在正四棱锥中，为，的交点，为侧棱的中点，为侧棱上一点（异于P，B两点），若，且，则（ ） A. B. 存在点，使得平面 C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线与所成角的余弦值的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，由，故 ; 选项B，利用反证法，假设存在这样的 ，然后推出矛盾；选项C， ,先求 , 从而得到；选项D，取 的中点 ，因此异面直线 与 所成的角等于 与 的夹角，即 , 由余弦定理得, 求出的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】正四棱锥 底面是边长为 2 的正方形， 为底面中心, 对角线 ，故 ；又 ，所以高 ； 侧棱 ，故 ； 于是 、 均为边长 2 的正三角形. 选项A, 在 中，，，，故 ，A 正确； 选项B, 反证法，假设存在这样的 , 因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；又 平面 。因为 ，故 与 是过点 的两条不同直线，且都在平面 内；于是平面 平面 ,但两平面都过点 ，必相交,矛盾,故不存在这样的点, B 错误; 选项C, 为 的中点， 为公共底面，点 与 到平面 的距离之比为 ， 故, 而, 所以, C 错误; 选项D,取 的中点 ，连接 、, 是 的中位线，所以 ，； 因此异面直线 与 所成的角等于 与 的夹角，即 , 设 （）,由 、 均为边长 2 的正三角形，且 , ，分别由余弦定理得： , , 故 ， 是等腰三角形, 在 中用余弦定理：, 又,所以 ， 从而, 当（此时点 满足题意）时取到最大值 ， D 正确. 11. 京剧脸谱艺术深受广大戏曲爱好者喜爱，是中国传统文化的标志之一．某校戏曲社团在研究中发现，如图的“脸谱”图形可近似地看作由半圆和半椭圆组成的曲线．其中，半圆的方程为（），半椭圆的方程为（），则下列说法正确的是（ ） A. 曲线内部（不含边界）有12个整点（横、纵坐标均为整数） B. 曲线上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为6 C. 若点，在曲线上，且，则面积的最大值为3 D. 若，，是半椭圆上的一个动点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用给定的曲线方程，列出符合要求的整点判断A；利用圆及椭圆性质计算判断B；求出面积最大值判断C；利用余弦定理及椭圆定义，借助基本不等式求出最小值判断D. 【详解】对于A，由曲线与，知，， 当时，令，得曲线内部（不含边界）的整数点为，，，，，，，，，，，，有 12 个，A 正确； 对于B，曲线中，当时，，此时曲线上的点到原点的距离为2，椭圆的长短半轴长分别为3，2，该椭圆上的点到原点距离最大值为3，最小值为2，因此曲线上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5，B错误； 对于C，当点在半圆弧上时，； 当点之一在半圆弧上时，不妨令点在半圆弧上，则，； 当点是半椭圆顶点时，； 当点在半椭圆上（不是顶点），设直线，则直线， 设横坐标分别为，由，得， 同理得.， 令， ，因此，C正确； 对于D，点，恰为椭圆的两个焦点，而点在半椭圆上， 则，当点不共线时， 由余弦定理得 ， 当且仅当时取等号，当点共线时，，D正确. 【点睛】分段曲线问题要分区域拆解图形，分别利用圆、椭圆的几何性质分析距离、整点、面积；椭圆焦点三角形求余弦最值，优先用椭圆定义结合余弦定理、基本不等式消元求范围；原点与曲线上两点构成三角形面积，可联立直线与曲线方程，换元转化为二次函数求值域. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 【答案】 【解析】 【详解】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 设，则， 因为，所以，所以. 13. 已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 【答案】或 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】的斜率为，所以其倾斜角为， 如图，直线恒过点,若直线与直线的夹角为， 则的倾斜角为或者，所以斜率为或． 14. 已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将圆上存在两点使得为等边三角形，转化为圆心到点的距离满足几何不等式；利用切线构造直角三角形，结合三角函数建立的范围，代入坐标解二次不等式得到横坐标取值范围. 【详解】由圆，可得圆心为，半径， 点在直线上，设. 因为圆上存在两点使为等边三角形，由图形对称性可得， 过作圆的切线，切点为，连接、，则， 又，则，即， 也即， ，整理得， 解得， 即点的横坐标的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点圆：． （1）设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程． 【答案】（1） 或 （2） 最短长度为，此时的方程为 【解析】 【分析】（1）由弦长可得直线到圆心距离，结合点到直线距离公式可得答案； （2）要使弦长最短，则圆心到直线距离最长，据此可确定直线斜率，可得答案. 【小问1详解】 当时，点坐标为，圆圆心为，半径为. 已知弦长为，由弦长、半径、弦心距的关系得直线到圆心距离为. 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为，即. 圆心到直线的距离， 两边平方得，解得，代入得直线方程为. 综上，直线的方程为或； 【小问2详解】 由弦长，直线到圆心距离，圆半径三者关系知： 为使弦长最短，应使最大.注意到， 当且仅当时取等号.则弦长最短时，. 则直线方程为：. 16. 已知，其中，，． （1）求的周期和对称中心； （2）求在上的值域． 【答案】（1） 周期为 ，对称中心为 ； （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积坐标表示结合三角函数恒等变换知识可得答案； （2）由（1）结合正弦函数单调性可得答案. 【小问1详解】 由题意可得：         .所以  的最小正周期 ． 令 ，解得 ， 所以  的对称中心为 ； 【小问2详解】 因为 ， 所以 ， 所以 ． 因在上单调递增，在上单调递减， 则， 所以  在  上的值域为 ． 17. 如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． （1）证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：在中，点为的中点，且，； 又；且，平面；平面； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，根据所给的垂直关系，和直角三角形斜边的性质得到两个垂直条件； （2）根据梯形边长可证明，可得三条两两垂直的直线，建立空间直角坐标系求二面角的正弦值即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ，； ，，； ，； 由（1）可知，平面； 故以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； ，，，则； ，，； 取为平面的法向量； 设与平面所成角为， 则， 整理可得，解得； ，，； 设为平面的法向量， 则，即，令， 则； 设为平面的法向量， 则，即，解得； 令，则 则； 设二面角的平面角为， 则． 18. 在中，内角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理进行求解； （2）由三角形的面积公式及余弦定理得，再由基本不等式求解． 【小问1详解】 因为， 所以：， 即， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 因为， 所以，解得， 由余弦定理得，即， 设 ，则 ， 由基本不等式：，故， 解得，故， 又 ，所以， 因此. 19. 已知圆，圆()． （1）证明圆与有公共点； （2）求两圆公共点的轨迹C的方程； （3）设O为坐标原点，过点的直线与轨迹C交于A，B两点（A，B不在x轴上），若，延长AO交轨迹C于点E，求四边形ADBE的面积取得最大值时直线AB的方程． 【答案】（1）圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 两圆圆心距，且 ，， 由，得，即 ，满足两圆有公共点的条件，得证； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过判断两圆圆心距和半径和与差之间的大小关系即可判断两圆位置关系； （2）由椭圆定义可得两圆公共点的轨迹C是以为焦点的椭圆，即可得到轨迹方程； （3）分割四边形ADBE的面积为3个三角形面积，通过韦达定理表示三角形面积，再通过换元转化成分式求最值，即可得到四边形ADBE的面积取得最大值时直线AB的方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设两圆公共点为，由在两圆上得： ，， 故， 根据椭圆定义，的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，，， 因此轨迹的方程为： ； 【小问3详解】 设直线的方程为，，， 由椭圆中心对称性得，由得， 将代入椭圆方程整理得： ， 由韦达定理：​，， 则： ，三角形面积为 四边形的面积由平行四边形和三角形组成，平行四边形面积等于2倍的三角形面积， 三角形面积等于三角形面积， 所以四边形ADBE的面积得， 令，则，代入得： ， 函数在时单调递增， 故（即）时，最小，最大， 此时直线的方程为：  第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期桃源一中高二年级第一次模块考试数学试题 时量：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是虚数单位，若复数是纯虚数，则（ ） A. -1 B. 1 C. D. 0 3. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在长方体中，，，点，分别是，的中点，则点到直线的距离为（ ）. A. B. 3 C. D. 5. 过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，若直线与线段不相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线必过点 B. 直线与圆必相交 C. 圆：与圆有3条公切线 D. 当时，直线被圆截得的弦长为 10. 如图，在正四棱锥中，为，的交点，为侧棱的中点，为侧棱上一点（异于P，B两点），若，且，则（ ） A. B. 存在点，使得平面 C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线与所成角的余弦值的最大值为 11. 京剧脸谱艺术深受广大戏曲爱好者喜爱，是中国传统文化的标志之一．某校戏曲社团在研究中发现，如图的“脸谱”图形可近似地看作由半圆和半椭圆组成的曲线．其中，半圆的方程为（），半椭圆的方程为（），则下列说法正确的是（ ） A. 曲线内部（不含边界）有12个整点（横、纵坐标均为整数） B. 曲线上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为6 C. 若点，在曲线上，且，则面积的最大值为3 D. 若，，是半椭圆上的一个动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 13. 已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 14. 已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点圆：． （1）设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程． 16. 已知，其中，，． （1）求的周期和对称中心； （2）求在上的值域． 17. 如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． （1）证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值． 18. 在中，内角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围. 19. 已知圆，圆()． （1）证明圆与有公共点； （2）求两圆公共点的轨迹C的方程； （3）设O为坐标原点，过点的直线与轨迹C交于A，B两点（A，B不在x轴上），若，延长AO交轨迹C于点E，求四边形ADBE的面积取得最大值时直线AB的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $