精品解析：湖南衡阳市衡阳县第一中学2026-2027学年高二上学期入学考试数学试题

高二数学入学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．时量120分钟．满分150分． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（ ） A. 若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B. 估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C. 用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D. 估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 6. 已知函数满足，若，，，则关于m的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两个正四棱锥组成的八面体EABCDF所有顶点都在同一个球面上，正方形ABCD边长为4，，则从点A出发沿着该八面体表面到点C的最短路程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的正切值为 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 随着居民收入水平提高，大众旅游时代全面来临．暑假期间，甲、乙两名同学独立地从龙岩、漳州、厦门、泉州四个城市中等可能地随机选择一个作为短途旅游目的地．设事件“甲选择龙岩”，事件“乙选择龙岩或厦门”，事件“两人选择的城市相同”，事件“至少有一人选择龙岩”，则（ ） A. 事件A与事件C相互独立 B. 事件A与事件D相互独立 C. 事件B与事件C相互独立 D. 事件B与事件D相互独立 11. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列说法错误的是（ ） A. 平面 B. 到平面的距离为定值 C. 与平面夹角的最大值是 D. 二面角正切值的取值范围是 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则________． 13. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为_____． 14. 已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校测绘社团测量湘江对岸一栋地标建筑AB的高度时，由于建筑底部B无法直接到达，测量小组在岸边选取了两个观测点C，D进行测量．首先在点C处测得A的仰角为45°，然后沿河岸步行400米到达点D处，在点D处测得A的仰角为30°．已知，且观测点与B都在同一水平面内． （1）求的大小； （2）求AB的高度； （3）若从观测点C向后（沿BC的延长线）退至点E，要使在E处测得A的仰角为15°，求后退距离．（结果保留根号） 16. 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多40辆． （1）求a，b的值； （2）现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前30%的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是与的交点，，，平面，，是棱上的一点． （1）当为中点时， （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积． （2）若二面角为直二面角，求的长． 18. 已知函数. （1）求函数的对称中心与对称轴； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为.若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围. 19. 反函数是指一对图象关于直线对称的函数，如函数与函数，判定反函数的条件是对定义域内任意的x都有．现定义“半反函数”：若函数与函数满足对定义域内任意的x都有成立，则称函数为函数的“半反函数”；如与，满足，故函数为函数的“半反函数”．已知，． （1）判断下列命题是否为真命题，并说明理由： ①函数为函数的“半反函数”； ②函数为函数的“半反函数”． （2）判断在上的单调性，并用定义法证明． （3）已知存在两个零点，，存在两个零点，，请比较与的大小关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学入学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．时量120分钟．满分150分． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， ， 所以并集. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将复数 的分母实数化，求出 ，再根据复数模的定义计算 . 【详解】分母实数化，得 所以 ． 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】． 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 4. 如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】在平行四边形中， ，，， 则，， ， 解得，，，所以，． 5. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（ ） A. 若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B. 估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C. 用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D. 估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 【答案】D 【解析】 【详解】设年月到该地旅游的游客总人数为． 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为． 对于A，，解得，即一共调查的游客人数是人，故A正确； 对于B，估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的，故B正确； 对于C，设中年人应抽取人，依题意得，解得，即中年人应抽取人，故C正确； 对于D，因为年月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误． 6. 已知函数满足，若，，，则关于m的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意判断函数的对称性和单调性，将函数不等式转化为一元二次不等式，进而求解. 【详解】由知的图象关于直线对称； 由，，， 知在上单调递增， 所以在上单调递减． 又，始终在递增区间，故分两类： 当，即时， 由，得， 所以，解得． 当，即时， 利用对称性，且． 由， 得，即， 所以． ，所以无解． 综上所述，关于m的不等式的解集为． 7. 如图，两个正四棱锥组成的八面体EABCDF所有顶点都在同一个球面上，正方形ABCD边长为4，，则从点A出发沿着该八面体表面到点C的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多面体外接球与几何体表面最短路径，先利用外接球性质求出侧棱长，再通过侧面展开，将空间表面路径转化为平面两点间线段，结合等腰三角形与三角公式计算最短距离. 【详解】由对称性可知八面体外接球直径为EF，则， 设EF与平面ABCD交于点O，则， 又，所以，， 可得，由正四棱锥的性质得， 在等腰中，底边AB上的高为， 所以，故BE边上的高为， 从点A出发沿着该八面体表面到点C的最短路程为． 8. 如图，是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的正切值为 【答案】D 【解析】 【分析】首先需要设定基本长度关系，设则故由全等性：且为等边三角形， 故然后逐项验证选项. 【详解】对于A，由条件得，根据正弦定理有，即，A正确； 对于B，不妨设，则，，又， 由余弦定理得，所以，B正确； 对于C，根据对称性，有，， 所以 ， 化简得，C正确； 对于D，不妨设，则， 故， ， 所以，则， ，D错误． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，所以A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，所以B错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，所以C正确； 对于D，， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，当且仅当时等号成立. 所以D正确． 10. 随着居民收入水平提高，大众旅游时代全面来临．暑假期间，甲、乙两名同学独立地从龙岩、漳州、厦门、泉州四个城市中等可能地随机选择一个作为短途旅游目的地．设事件“甲选择龙岩”，事件“乙选择龙岩或厦门”，事件“两人选择的城市相同”，事件“至少有一人选择龙岩”，则（ ） A. 事件A与事件C相互独立 B. 事件A与事件D相互独立 C. 事件B与事件C相互独立 D. 事件B与事件D相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可得出答案. 【详解】甲乙两人各从4个城市选一个，则有（龙岩，龙岩），（龙岩，漳州），（龙岩，厦门），（龙岩，泉州）， （漳州，龙岩），（漳州，漳州），（漳州，厦门），（漳州，泉州），（厦门，龙岩），（厦门，漳州）， （厦门，厦门），（厦门，泉州），（泉州，龙岩），（泉州，漳州），（泉州，厦门），（泉州，泉州）16种等可能的情况. 甲选龙岩共有（龙岩，龙岩），（龙岩，漳州），（龙岩，厦门），（龙岩，泉州）4种，. 乙选择龙岩或厦门共（龙岩，龙岩），（龙岩，厦门），（漳州，龙岩），（漳州，厦门），（厦门，厦门）， （厦门，龙岩），（泉州，龙岩），（泉州，厦门）8种，. 两人选同城市共（龙岩，龙岩），（漳州，漳州），（厦门，厦门），（泉州，泉州）4种情况，. 至少一人选龙岩，共（龙岩，龙岩），（龙岩，漳州），（龙岩，厦门），（龙岩，泉州），（漳州，龙岩）， （厦门，龙岩），（泉州，龙岩）共7种情况，. 选项A.是"甲选龙岩且两人同城市"，即（龙岩，龙岩），，， 满足，正确. 选项B.，，不相等，错误. 选项C.是"乙选龙岩/厦门且两人同城市"，即（龙岩，龙岩）、（厦门，厦门），， ， 满足，正确. 选项D.共5种，即乙选龙岩时4种加乙选厦门甲选龙岩1种，，， 不相等，错误. 11. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列说法错误的是（ ） A. 平面 B. 到平面的距离为定值 C. 与平面夹角的最大值是 D. 二面角正切值的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A利用线面垂直的判定定理求证；B利用等体积思想判断；C利用线面角的定义判断；D记点在平面上的射影分别为，设，求出，结合函数单调性求. 【详解】对于A，由正方体性质得且平面， 因为平面，所以， 又平面，所以平面，故A正确； 对于B，由到平面的距离与的面积都为定值， 由等体积可知，三棱锥的体积为定值， 又的面积随点F的运动改变，故到平面的距离会改变，B错误； 对于C，到平面的距离为， 在边长为的等边中，的最小值为， 故与平面夹角的正弦值，C错误； 对于D，记点在平面上的射影分别为， 因为，所以二面角的平面角为， 因为，，所以， 设，则， 故在上单调递减， 所以二面角正切值的取值范围是，D错误． 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则________． 【答案】 【解析】 【详解】角终边过，P到坐标原点的距离为， 故，，， 又，，， 原式. 13. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】 用等体积法将三棱锥A1﹣MBC1的体积转化为三棱锥的体积即可. 【详解】∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5， ∴A1C1⊥AA1，AC2+AB2＝BC2，∴A1C1⊥A1B1， ∵AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面A1MB， ∵M是AA1的中点，∴3， ∴三棱锥A1﹣MBC1的体积： 4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查等体积法求三棱锥的体积，考查学生转化与化归的思想，考查学生基本计算能力，是一个常考点. 14. 已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，判断其奇偶性与单调性，将原不等式转化为三角恒成立问题，再对参数分情况讨论求解. 【详解】设， 则，都有，故为奇函数， 又，，， 即，所以，即， 在区间上单调递减，故奇函数在上单调递减， 不等式即， 由奇函数的性质得，即， 化简得在区间上恒成立， 当时，，由，得 当时，解得，当时，解得，当，时，无解； 当时，恒成立； 当时，，由，解得； 综上所述，a的取值范围是. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校测绘社团测量湘江对岸一栋地标建筑AB的高度时，由于建筑底部B无法直接到达，测量小组在岸边选取了两个观测点C，D进行测量．首先在点C处测得A的仰角为45°，然后沿河岸步行400米到达点D处，在点D处测得A的仰角为30°．已知，且观测点与B都在同一水平面内． （1）求的大小； （2）求AB的高度； （3）若从观测点C向后（沿BC的延长线）退至点E，要使在E处测得A的仰角为15°，求后退距离．（结果保留根号） 【答案】（1） （2）400米． （3）米． 【解析】 【分析】（1）利用仰角写出关于楼高的表达式，在中用正弦定理求出；（2）由角度相等得到，直接得到楼高；也可代入余弦定理解方程求出高度；（3）在中确定各个内角，使用正弦定理计算长度，得到后退距离. 【小问1详解】 设AB高度为h米， 则米，米， 在中，由正弦定理得，即， 故，又，所以． 【小问2详解】 由（1）得， 在中，由余弦定理得， 即，解得； （或由，知米，所以米）． 即AB的高度为400米． 【小问3详解】 由（2）得米， 在中，由正弦定理得， 又，，代入上式解得米． 16. 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多40辆． （1）求a，b的值； （2）现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前30%的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率． 【答案】（1），． （2）85分． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，结合两组车辆数量差建立方程组，联立求出； （2）A等车是前 30%，对应求第 70 百分位数，先分段累加频率定位区间，再用百分位数公式算出分数线； （3）先分层抽样确定两组抽取数量，列举全部基本事件，统计符合条件事件数，用古典概型计算概率. 【小问1详解】 由直方图的数据得①， 由评分在的快递车比内的多40辆，得 ，解得②， 联立①②，解得，． 【小问2详解】 达到前30%时的分数线，等价于求第70百分位数．从低分段累计频率： ， 第70百分位数落在区间， 设分数线为x，则， 解得，估计A等车的分数线为85分． 【小问3详解】 分层抽样：评分超过80分的车辆组80辆，组20辆=100辆． 按比例抽取5辆：组：辆，组：辆． 编号：将组4辆车记为，，，；组1辆车记为． 列举所有等可能基本事件（5选2，无序）： 用列表法穷举： — √ √ √ √ — — √ √ √ — — — √ √ — — — — √ 共10种等可能基本事件， 找出“两车评分均不超过90分”的事件（即两车都来自组，不含）： ，，，，，共6种， 两车评分均不超过90分的概率：． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是与的交点，，，平面，，是棱上的一点． （1）当为中点时， （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积． （2）若二面角为直二面角，求的长． 【答案】（1）（ⅰ）因为底面为菱形，是与的交点，所以为中点. 又为中点，所以是的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面． （ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用线面平行的判定定理即可；（ⅱ）利用点到平面的距离为的一半即可得三棱锥的高，再利用三棱锥的体积公式即可. （2）由二面角为直二面角可证明，从而在直角三角形中计算即可. 【小问1详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由为菱形，，， 得. 又为中点，平面，故三棱锥的高. 三棱锥的体积． 【小问2详解】 在平面内作于. 因为二面角为直二面角，即平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为底面为菱形，所以，. 因为平面，平面，所以. 又，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为，平面，所以平面. 又因为平面，所以. 在菱形中，，，则. 在中，，则 所以. 在中，. 18. 已知函数. （1）求函数的对称中心与对称轴； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为.若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）对称中心为；对称轴为； （2）和； （3）或. 【解析】 【分析】（1）将原函数恒等变换化简后再利用正弦函数的对称轴和对称中心解出即可； （2）利用正弦函数的对称区间解出即可； （3）先将函数平移变换后再结合正弦函数的对称性把问题转化为方程在上仅有一个实根，然后令结合二次函数的性质解出即可. 【小问1详解】 ∵ ， 令，解得， 所以对称轴为； 令，解得， 所以对称中心为. 【小问2详解】 由（1）得， 令， 得， 又因为， 所以的单调递增区间为和. 【小问3详解】 将的图象向左平移个单位后，得，又因为，则， 则的函数值从0递增到1，又从1递减回0. 令，则， 依题意得在上仅有一个实根. 令，因为， 则需或， 解得或. 19. 反函数是指一对图象关于直线对称的函数，如函数与函数，判定反函数的条件是对定义域内任意的x都有．现定义“半反函数”：若函数与函数满足对定义域内任意的x都有成立，则称函数为函数的“半反函数”；如与，满足，故函数为函数的“半反函数”．已知，． （1）判断下列命题是否为真命题，并说明理由： ①函数为函数的“半反函数”； ②函数为函数的“半反函数”． （2）判断在上的单调性，并用定义法证明． （3）已知存在两个零点，，存在两个零点，，请比较与的大小关系． 【答案】（1）①为假命题，理由如下： 判断是否为的“半反函数”， 即验证对定义域内任意x，是否有． 的定义域为． ． 分类讨论：当时，：； 当时，：. 故不是的“半反函数”． ②为真命题，理由如下： 即验证对定义域内任意x，是否有． 的定义域为. . 函数为函数的“半反函数”． （2）在上单调递增， 证明：，， 分子有理化有， . 因为，， 所以，又，所以， 故在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）利用“半反函数”的定义即可. （2）利用定义法证明函数单调性即可. （3）利用半反函数性质，建立零点与零点之间的关系，得到两组零点满足的平方等式，再因式分解，变形得到要比较的分式等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，，， 由零点存在定理知. 因为在上单调递增， 所以在上单调递增，故，至多只有一个正数． 记，则，， 当时，，故，即， 故为的一个正零点，即，所以； 当时，，故， 又， 则， 所以为的一个负零点，即，； 故，即， 化简得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $