福建省福州第一中学2027届高三第一学期第二次质量检测数学试题

福州一中2027届高三第一学期第二次质量检测 高三数学试卷参考答案 完卷时间：120分钟 满分：150分 1—8.【答案】DBDA BCBA 9.BCD 10.AC 11.ABC 12.(-0,-1]U(2,+∞) 13.-4,-114.20. 14解：由302+402=50°，可得△A8C是直角三角形，其面积S=x30×40=600, 不妨设AC=30,BC=40,AB=50, ①若D,E在AC,AB上，如图： 设A0=B=n4=季oA=房 测有50油A号n=30,解得70. 1 DE2=x2+y2-2 xy cos A>2xy-2 xy cosA=600,即DE≥10√6，当且仅当x=y=5V30时等号成立： ②若D,E在AC,BC上，如图：设CD=x,CE=y, D 则有Sm=2w=300,解得w=600, DE2=x2+y2≥2xy=1200,即DE≥20√3，当且仅当x=y=10√6时等号成立； ③若D,E在BC,AB上，如图： 设D=气B丽=到mR-号8户写 则有S.=号ysin B=,w=300,解得w=1000、 DE2=x2+y2-2 y cos B≥2xy-2 xy cos B=400,即DE≥20， 当且仅当x=y=10W10时等号成立： 因为20<10√6<205，所以DB的最小值为20，即水管的最短长度为20米.故答案为：20. 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边为a,b,c,已知b2+c2-a2=√2bc, 2sin(C-A)=sin B. (1)求sinC; (2)设BC=10,求BC边上的高. 解：（1)因为82+c2-a2=V2c,所以cosA-B+c-d-V2c-V2 2bc 2bc-2 因为A∈(0，)，所以A= 41 第1页 因为2sin(C-A)=sinB, 所以2sin(c-牙)=sin3 4 - 整理得：isnc-6os0)号(co,Crm9,所以血c-3oC. 又因为sim2C+cos2C=1,且simc>0,所以sinc=30 10 BC AB (2)由正弦定理得： sinA sinC' 所以AB= BC xsinc=103v1 V210 =6W5 sin A 2 由得，mc-mc>0,C- 10, 所以sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos AsinC= 25 5 设BC边上的高为h,则h=AB×smB=65×25-12,所以BC边上的高为12. 5 16.(15分)己知函数f(x)=x2+asinx+b,曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=2x-1. (1)求a,b; (2)若函数8)-)-水在区间学药上单润递增，求女的取值范国。 解：(1)已知f(x)=x2+asinx+b,求导得f'(x)=2x+acosx, 曲线在点(0，f(0)处的切线方程为y=2x-1,切线斜率k=f'(0)=2,且f(0)=-1, 代入计算：f'(0)=2×0+acos0=a=2,f(0)=02+asim0+b=b=-1, 故a=2,b=-1. (2)由(1)得f(x)=x2+2sinx-1,则g(x)=fx)-=x2+2simx-a-1, 求导得g'(x)=2x+2c0sx-k, 因为会在原草上单调递增，所以g≥0在[原孕上恒成立，即2x+2csx在听泸上恒成 立， 令0=2+2,5.求号得0)=2-2m, 因为原领时，me月刘，所以以国=20-血0，红导经上单河选。 因此h=h经=2x年+2csF-g+5, 42 放k≤号+万，即的取值范周为m+同。 2 第2页 17.(15分)已知数列a,}的前n项和S,满足S=a+Q-m,neN,t为常数，且 a2=4+2. (1)求t的值： (2)证明：{a}为等差数列： (3)若n<Sn<(n+1)?对任意n∈N恒成立，求a4的取值范围. 解：(1)数列a}的前n项和S,满足三=a+-rn∈N,t为常数， 可得Sn=na.+n(1-n)t,即有41+a2=2a2-2t, 由a2=a1+2,可得2-2t=0,解得t=1: (2)证明：由t=l,可得Sn=nan+n(1-n), 当n>2时，an=S-Su-1=nan+n1-m)-(n-1)a-1-(n-1(2-n), 化为(-1)a-(n-1)a-1=2(n-1),即为a-a-1=2, 可得{a}是公差为2的等差数列； (3)若<8<a+1，neN,即为若北<m+201-0×2<+0, 化为0<n(a1-1)<2n+1, 自1<4<3+0，可得1<43 n 综上，可得a的取值范围是1,3]. 18.（17分)已知函数f=r2-x+2. (1)若a=1,求函数f(x)的单调区间； (2)设8(x)=f(x)+(2-a)x有且仅有一个极值点，求a的取值范围： (3)若函数f(x)存在2个极值点，，(：<x),且满足x2≥，求证：1<，<2. 解：(1)当a=1时，f=m-x-x+2, f'(x)=lx+1-x-1=hx-x,h(x)=f(x)=Inx-x, h0w=-1=-x, 1 令h(x)>0得h(x)的增区间是x∈(0，)， 令(x)<0得h(x)的减区间是x∈(L,+o), 所以h(x)x=-1)=lml-1=-1<0, 所以对任意x∈(0，+o),函数f"(x)<0恒成立， 第3页 所以f(x)的单调递减区间是(0，+)；无单调递增区间. (2)g6=/+2-a=Nwm5a2+a-0r+26c>0, g'(x)=hx+1-ax+1-a=hx+2-ax-a, 法一：设h()=g'()=Inx-ax+2-a,则h'()=是-a=1, g(x)有且仅有一个极值点，等价于g'(x)=0有且仅有一个变号零点。 ①当a≤0时， 1-ax>0恒成立，所以h'(x)>0, 所以h(x)=g'(x)=nx-ax+2-a在(0，+o)上单调递增， 且h(1)=g'(1)=n1-a+2-a=2-2a≥0， 且h(e2a-3)=ne2a-2-ae2a-2+2-a=a0-e2a-3)<0 【左边取点思路：不妨限制在0<x<I时取点，因为a≤0，所以-x<-a, 所以hx)=nx-ax+2-a<nx-a+2-a=nx+2-2a=0,解得x=e2a-2<1】 所以h(x)=g'(x)=0有唯一变号实数根x。∈(e2a-,1), 且x∈(0，xo)时h(x)=g'(x)<0,x∈(xo,+o)时h(x)=g'(x)>0, 所以g(x)有且仅有一个极小值点，符合题意。 ②当a>0时：令h)=0得x=后 h(x)=g'(x)在(0，)上单调递增，在（任，+∞）上单调递减， 最大值h(月)=ln(月)-a(月+2-a=1-a-lna, 令p(a)=1-a-lna，p(a)在(0，+o)单调递减，并且p(1)=1-1-nl=0, 所以a≥1时φ(a≤0：0<a<1时φ(a>0, 0若a≥1，p(@)≤0，(x)=h白≤0，h(=gx)无变号零点，不满足题意， 0若0<a<1,9(a>0,(x)x=h(白)>0， 取e<1<Me-<0, 取h)>0, 结合h(x)=g)(0,)上单调递增，在（台，+∞）上单调递减， 所以)=g)在(，，(，e)上分别存在一个变号零点，g冈有2个极值点，不符合题意。 第4页 【左边x→0取点思路：因为0<a<1,x>0,所以-x<0, 所以x)=nx-ax+2-a<nx+2-a=0,解得x=ea-?<1<1】 【右边x→+n取点思路：先证明x<√x>),在x>上>1时取点， a 因为0<a<1,所以-a<0丢掉放缩， 所以)=ln-ae+2-a<1nx+2-a=血e2x-a<V6x-ar=0,解得x=(台2>】 综上所述，a的取值范围是(-∞，0]。 x+1，令h()=m+2 法二：由g)=0可得a=m+2, x+1,x>0, 则(x)= La+)-ax+2)-hr-1 (x+1)2 (x+1)2 令tw)=1-hr-1,tx)在x∈(0，+)上单调递减，且t(1)=0, 则当x∈L,+o)时，t(x)<t(1)=0,h(x)<0,即h(x)在1，+∞)上单调递减， x∈(0，)时，t(x)>t(1)=0,则(x)>0,即h(x)在(0,1)上单调递增， 又因为h(e2)=0,且x>e2时，hx)>0;且x→+时，h(x)→0， x→0时，h(x)→-0， 要使得a=低+2有且只有一个变号根，故aE(0,0]: x+1 (3)证明：由f"(x)=hx+1-x-1=h-=0,可得a= 令=匹，则=一，由)<0，得x>e,由s>0得0<<e, 故s(x)在(e,+∞)上单调递减，在(0，e)上单调递增，且s（(1)=0,当x→+∞时，s(x)→0*， 因s()=a>0,对于x>1,有s()>0,1<<e<x,故x3>e,e>e, 则由x2≥e台s(x2)≤s(e),又s(x)=s(),故s()≤s(e1), 令w=we)g兰o,则r因11。产 x2e 因l“,0。<0,则>0，枚Pe国在0上单调选增， 又P@⑩-0F@-是->0，r)s0, ee°e 则F(x)=0在x∈(L,)上存在唯一解，.￥≤x, 第5页 又F(1)<0, F(2)-mn22m2-4 mei4 e43e-42(e2-6,0? 2e2-2e2 2e2 e 则有x<2,故1<≤x<2, 故可得1<x<2. 19.分离函数的思想在现代数学的不少分支如凸分析、拓扑学等中有很多体现，在应用数 学如信号理论、数据聚类与分类分析等分支中也有不少运用.在初等数学中，若有三个互不 相同的函数f(x),(x),(x),当在某个区间上恒有(x)≥(x)≥5(x)成立时，(x)可 以作为(x)和(x)在该区间上的分离函数. （1)试判断y=4x是否可以作为y=2x2+2和y=-x2+4x在区间(-o∞，+o)上的分离函数，请 说明理由； (2)请直接写出一个二次函数g(x),使得它是函数f(x)=e和函数f(x)=(x+1)+1在区 间[0，+o)上的分离函数，并证明你的结论： (3)若存在实数k和b,使得函数y=x+b可以作为函数y= [2x2-4x,x20 和函数 2x2+4x,x<0 y=4x2-16在区间[m,m]上的分离函数，且满足[m,n[-2,2],求n-m的最大值. 【小问1详解】可以，理由如下： 因为2x2+2-4x=2(x-1)}≥0恒成立，且4x-（-x2+4x)=x220恒成立. 所以y=4x可以作为y=2x2+2和y=-x2+4x在区间(-0，+0)上的分离函数 【小问2详解】 函数g9=】x+x+1【答案不唯一，g(9=r2+x+lae0,匀都可以】 ①先证e≥)x+x+1,令M的=2 +xl,xe0+m).则0-l. e )=。s00在xc0+o)单谓递减，≤0=1，所以e≥r++1 ②再证号x2+x+1≥ln(x+1)+1 令P()=x2+x+1-m(x+1)+1=x2+x-n(x+1),定义域x≥0。 第6页 求导：P四=X+1-品--泾-2 x+1 x+1 因为x≥0，所以x≥0，x+2>0,x+1>0,故P'(x)≥0恒成立。 所以P(x)在[0，+o)上单调递增，P(x)≥P(0)=0-0=0。 所以号x2+x+1-n(x+1)+1]≥0，即x2+x+1≥n(x+1)+1成立。 【小问3详解】 由各函数在区间-2,2上的函数值大小关系， 记(x)= 2x2-4x,x≥0 2x2+4x,x<0 5()=4-16, 则根据函数形态可以画出草图如下. (x -16 =(x) 由于f(x)和(x)都是偶函数，图像关于y轴对称，要使y=x+b为f(x)和(x)在[-2,2] 的某个子区间上的分离函数，且当x∈[-2,2]时，(x)≥(x)恒成立， 所以存在b使得直线y=a+b。与f(x)的图像相切，并且切点的横坐标t∈[，2]， 在[0,2]上，对(x)求导得，f(x)=4x-4, 则当t∈[1,2]时，f(x)的图像在(22-41)处的切线方程为y-(22-41)=(41-4)(x-), 即y=(4t-4)x-2,于是k=4t-4,b=-2. 设直线y=x+b与5(x)的图像交于点(x,),(x,2), y=kx+b 由 y=4x2-1 得4--16-b=0, 则+场年5=-16+， k 41 所以，x-x=x+广-4x名6 +16+b' +16+b≤i6 第7页 k2 (41-4)2 V6+16+,=V16 +16-22=V-2-2t+17. 由二次函数-t2-2t+17在t∈1,2时单调递减， 因此当t=1时，x-x2取得最大值4. 其几何意义为，当直线y=c+b为水平线y=-2时， y=c+b作为分离函数的区间长度达到最大值，n-m即直线y=-2与(x)在两个交点的距离. 综上，n-m最大值√14. 第8页福州一中2027届高三第一学期第二次质量检测 高三数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合M={x-2<x<0,N={xly=lg(x+I)},则M∩(CRN)=（) A.{x|x<-2 B.{x|-2<x<-1}C.{x|-1≤x<0}D.{x-2<x≤-} 2.“x>y”是“10g026x>1og2026y的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递减的是() A.y=x2 B.y= log C.y=- D.= 一一 3 4.若正数x,y满足x2-2xy+2=0,则x+y的最小值是() A.6 B.2W2 C.4 D.3 5.已知函数f(x)的定义域是R,f(-1)=0,函数y=xf(x+3)是奇函数，函数y=(x+)f(x) 的图像关于直线x=-1轴对称，则() A.f(x)是偶函数 B.f(x-1)是奇函数 C.f(x+8)=f(x) D.f(1)=0 6.已知函数f(x)=x3-6x2+12,若函数g(x)=f(x-m)+n为偶函数，则() A.m=2,n=-4 B.m=2,n=4 C.m=-2,n=4 D.m=-2,n=-4 7.已知实数，y满足(2024x+)+2024x=- （2026y-2-2026r-19.则( ) A.2024x=2026y-1 B.2024x=2026y+1 C.2024x=-2026y-3 D.2024x=2026y+3 试卷第1页，共4页 8.一条直线与函数y=1nx和y=e的图像分别相切于点P(x,)和点Q(x,y),则 1-x)1+x)的值为() A.2 B.2e C.0 D.In2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知a,b>0,a+b=1,则下列选项中正确的有() A.Ina>0 B.2>1 19 C.-+≥16 b.a+b2≥2 a b 10.设函数f(x)=x4-a2-4cosx+2,则下列结论正确的有() A.对任意a∈R,函数y=f(x)的图像存在对称轴 B.曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=2 C.当a=0时，函数f(x)的最小值为-2 D.当a>2时，x=0是函数f(x)的极小值点 11.已知a,b,c均为大于1的实数，若1og。b+log。c+log a<log6a+log。b+log。c,则a,2b,3c 的大小关系可能是() A.a<2b<3c B.2b<a<3c C.3c<a<2b D.3c<2b<a 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数y= x+I 的定义域为 Vx-2 13已知两数/（创为偶码数，且满足/(+x-2)=-0,当xe[33]时， f(x)=x2+ax+3,则实数a=,f(2026)= 14.某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为△4BC),点D, E在△ABC的边上，线段DE把草坪分成面积相等的两部分，如果沿DE铺设灌溉水管，则水 管的最短长度为 米. 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)记△4BC的内角A,B,C的对边为ab,c,已知b+c2-a2=√2bc, 2sin(C-A)=sin B. (1)求sinC: (2)设BC=10,求BC边上的高. 16.(15分)已知函数f(x)=x2+asinx+b,曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y=2x-1. (1)求a,b; （2)若函数g)f)-c在区间写为上单调递增，求的取值花围。 17.(15分)已知数列a,}的前n项和S满足S=,+Q-0n∈N,t为常数，且 a=a+2. (1)求t的值： (2)证明：{a}为等差数列： (3)若n<Sn<(n+1)对任意neN恒成立，求a的取值范围. 18(17分》已知两数f)-xa-x+2. (1)若a=1,求函数f(x)的单调区间； (2)设g(x)=f(x)+(2-a)x有且仅有一个极值点，求a的取值范围： (3)若函数f()存在2个极值点x,5(:<5),且满足x,≥e1,求证：1<<2. 19.(17分)分离函数的思想在现代数学的不少分支如凸分析、拓扑学等中有很多体现， 在应用数学如信号理论、数据聚类与分类分析等分支中也有不少运用.在初等数学中，若有 三个互不相同的函数f(x),(x),(x),当在某个区间上恒有(x)≥(x)≥(x)成立时， （x)可以作为f(x)和∫(x)在该区间上的分离函数. （1)试判断y=4x是否可以作为y=2x2+2和y=-x2+4x在区间(-o,+o)上的分离函数，请 说明理由： (2)请直接写出一个二次函数g(),使得它是函数(x)=e和函数(x)=(x+1)+1在区 试卷第3页，共4页 间[0，+∞)上的分离函数，并证明你的结论： 2x2-4x,x≥0 (3)若存在实数k和b,使得函数y=+b可以作为函数y= 和函数 2x2+4x,x<0 y=4x2-16在区间[m,n上的分离函数，且满足[m,ns[-2,2],求n-m的最大值. 试卷第4页，共4页