精品解析：安徽省六安市霍邱县第一中学城南分校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

霍邱一中城南分校2025~2026学年度高二年级十二月份段考 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 3. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点为抛物线的焦点，为的准线，为上一点，过作的垂线，垂足为M．若，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 6 6. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为坐标原点，点，，，都在椭圆：上，若，且直线，的斜率之积为，则的长轴长是（ ） A. 5 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知曲线（、为常数）则（ ） A. 若，，则曲线为椭圆 B. 若，则曲线为双曲线 C. 对任意实数、，曲线都不会是拋物线 D. 存在实数、，使得曲线是由直线组成的图形 9. 如图，在棱长为2的正方体中，E为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 当E为的中点时，平面 D. 当E为的中点时，与平面所成角的正弦值为 10. 已知点F是抛物线C：的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. k的取值范围为 B. C. 若，则或 D. 点M关于x轴的对称点在直线NF上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 12. 过点与圆相切的直线方程为__________. 13. 已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 15. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合． （1）求抛物线的标准方程； （2）若过双曲线的右顶点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，求线段的长度． 16. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 17. 如图，已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面都是菱形，，. （1）证明：； （2）求的长； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 18. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. （1）求的方程； （2）求证：的值为定值； （3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 霍邱一中城南分校2025~2026学年度高二年级十二月份段考 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A. 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线定义和方程即可得解. 【详解】由题意知，所以焦点到准线的距离为3. 故选：B. 3. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的几何性质求解． 【详解】由题意，得，，， 所以，， 离心率. 故选：C. 4. 已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理得到，进而得到，根据待定系数法求解即可. 【详解】由题意可知，若，，，四点共面，则，， 即， 所以， 又，所以，，， 可得，即，所以. 故选：A. 5. 已知点为抛物线的焦点，为的准线，为上一点，过作的垂线，垂足为M．若，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线定义及已知条件知△为等边三角形，进而可求. 【详解】由抛物线的定义知：，又 为等边三角形，， 因为抛物线方程为：，则. 故，故 故选：D. 6. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件先计算出的值，然后通过联立求得点的坐标，利用的坐标表示出，由此可求的值，则渐近线方程可知. 【详解】易知点，关于轴对称，令，， ，， ，(负值舍去)， 由，可得，则， ，渐近线方程为. 故选：B. 7. 已知为坐标原点，点，，，都在椭圆：上，若，且直线，的斜率之积为，则的长轴长是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，根据已知条件列出等式并化简，即可求得. 【详解】因为，所以为中点， 设，，则，， 所以， 直线，的斜率之积为， 所以，由点在上得， 所以，所以，故的长轴长. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知曲线（、为常数）则（ ） A. 若，，则曲线为椭圆 B. 若，则曲线为双曲线 C. 对任意实数、，曲线都不会是拋物线 D. 存在实数、，使得曲线是由直线组成的图形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线、直线方程的形式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若，则曲线为圆，A错； 对于B选项，若，则曲线为双曲线，B对； 对于C选项，对任意实数、，曲线中的、都无一次项， 即曲线不会是拋物线，C对； 对于D选项，取，，可得，此时，曲线表示两条平行直线，D对. 故选：BCD. 9. 如图，在棱长为2的正方体中，E为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 当E为的中点时，平面 D. 当E为的中点时，与平面所成角的正弦值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AC；利用等体积法求出体积判断B；利用线面角的向量求法求解判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于A，，，不垂直，A错误； 对于B，三棱锥的体积，B正确； 对于C，，，而， 即不垂直于，而平面，因此不垂直于平面，C错误； 对于D，，设平面的法向量，则， 取，得，与平面所成角的正弦值，D正确. 故选：BD 10. 已知点F是抛物线C：的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. k的取值范围为 B. C. 若，则或 D. 点M关于x轴的对称点在直线NF上 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点、准线方程，将直线的方程与抛物线方程联立，由判别式判断A；利用抛物线的定义结合几何图形推理判断B；利用韦达定理求出判断C；利用斜率坐标公式、结合韦达定理求解判断D. 【详解】抛物线C：的焦点，准线，点，直线， 对于A，由消去得：，依题意，， 解得且，因此k的取值范围为，A正确； 对于B，过作准线的垂线，垂足分别为，则， 因此，即，B正确； 对于C，由，得，设， 则，而，联立解得，C错误； 对于D，直线的斜率，直线的斜率， ， 令点M关于x轴的对称点为，则直线的斜率， 而直线与直线有公共点，因此点在直线上，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：作出几何图形，利用平行线分线段成比例，结合抛物线定义是判断选项B的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由线面平行得到，再由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】由题可得， 所以. 故答案为：2 12. 过点与圆相切的直线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】直接分两类：一类切线斜率存在时待定系数法可得，二类斜率不存在时验证直线是不是切线即可. 【详解】易知圆心，半径，且点在圆外， 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，故切线方程为. 当直线斜率不存在时，且过，此时直线为，圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相切. 故所求切线方程为或. 故答案为：或. 13. 已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为______. 【答案】36 【解析】 【分析】利用双曲线的定义先求出的值，由此即可求出的周长. 【详解】由已知，，则，所以是双曲线的右焦点，，，则 ， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. 【小问2详解】 直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 15. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合． （1）求抛物线的标准方程； （2）若过双曲线的右顶点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，求线段的长度． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线与抛物线下的定义计算求抛物线标准方程即可； （2）利用弦长公式计算即可. 【小问1详解】 设双曲线的实轴长、短轴长、焦距分别为， 由可得，，所以，解得， 所以双曲线的右焦点为， 所以可设抛物线的标准方程为，其焦点为， 所以，即， 所以抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 由，得双曲线的右顶点为， 因为直线过点且斜率为2，所以直线的方程为， 设，，联立直线与拋物线的方程， 消去，得，所以，， 所以． 16. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点、，根据中点坐标公式化简得出，代入等式化简可得出点的轨迹方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得答案. 【小问1详解】 设点、， 因为点是线段的中点，则，所以， 因为点在圆上，则，即， 化简得， 故点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 17. 如图，已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面都是菱形，，. （1）证明：； （2）求的长； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 易知， 因为， 所以， 所以，故. （2） （3） 如图，取的中点，连结，则，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设， 则 由得 解得， 所以，则. 设平面的法向量为， 由即 取，则， 设平面的法向量为， 由即 取，则， 设二面角的大小为，因为，所以. 所以， 整理得， 解得或(舍去). 故线段上存在满足题意的点，且点为线段的中点. 【解析】 【分析】（1）把问题转化为证明即可； （2）证明出，利用勾股定理即可求解； （3）建立空间直角坐标系，用表示出点的坐标，然后计算出平面的一个法向量和平面的一个法向量，最后利用二面角的向量公式列出方程即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，因为，所以， 所以. 【小问3详解】 略 18. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. （1）求的方程； （2）求证：的值为定值； （3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明：由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时， ，（或，），此时. 若直线与直线的斜率都存在时，如图： AI 设直线的方程为，，， 由，得， 所以，. 所以 因为，将换成，得， 所以. 综上所述，的值为定值. （3）证明：由（2）得，， 因为是的中点，所以， 将换成，得，即 若直线的斜率存在，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点 若直线的斜率不存在，则，解得， 此时直线的方程为，直线也过定点. 综上，直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据条件列式求，再根据的关系求，可得椭圆的标准方程. （2）分直线有无斜率，利用弦长公式表示，化简即可. （3）利用直线的斜率表示出点的坐标，进而得到直线的方程，化成点斜式，可得定点坐标. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则由题意得，解得. 所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $