精品解析：北京市通州区潞河中学2026-2027学年第一学期阶段性检测高一数学试题

潞河中学2026－2027学年度第一学期阶段性检测高一数学 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，且，则实数的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 或3 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是任意实数，则“”是“且”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图所示，矩形的边靠在墙上，另外三边是由篱笆围成．围成所需要的篱笆长度为4，则围成的矩形的面积的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 若命题：，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 设集合，.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．） 11. 命题 ，的否定是__________________． 12. 已知函数，则_____. 13. 若正数，满足：，则的最小值为__________． 14. 若集合，． ①则集合____________． ②若是的充分不必要条件，则实数取值范围是____________． 15. 已知全集，若集合，且对任意，均存在，使得：，则称集合为“对称对点集”.给出如下集合： （1）； （2）； （3）； （4）. 其中是“对称对点集”的序号为__________（写出所有正确的序号） 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 已知集合，． （1）求，； （2）求，． 17. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 18. （1）已知，求函数的最大值； （2）已知，求函数的最小值． 19. 解下列关于的不等式： （1）； （2） 20. 已知函数，不等式的解集为. （1）求函数的解析式； （2）已知函数，命题，恒成立，命题，使得成立．若命题、一真一假，求实数的取值范围． 21. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潞河中学2026－2027学年度第一学期阶段性检测高一数学 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 已知，，即. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件列不等式组求函数定义域. 【详解】要使函数有意义，则且. 所以所求函数的定义域为. 故选：C 3. 已知集合，且，则实数的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】由或求得并代入集合检验． 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或， 当时，集合，满足题意； 当时，集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． 综上所述，． 故选：C． 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质判断. 【详解】A. 当时，，故错误； B. 当时，，故错误； C. 当时，，故错误； D.因为 ，所以，则，故正确， 故选：D 5. 已知，是任意实数，则“”是“且”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式性质及充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可得. 【详解】当，满足，但不满足且，故充分性不成立， 当且，必有，故必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 6. 如图所示，矩形的边靠在墙上，另外三边是由篱笆围成．围成所需要的篱笆长度为4，则围成的矩形的面积的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件建立关于篱笆长度的关系式，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】设米，米，则， 所以，解得， 当且仅当，即时取等号， 所以围成的矩形的面积的最大值为2． 7. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，且方程的根为，利用韦达定理求出，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以，且方程的根为， 故，则，， 故不等式等价于， 即，解得或， 所以关于的不等式的解集是. 故选：B. 8. 若命题：，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知命题是假命题，则其否定为真命题。 由于，化简得， 因为，当且仅当时等号成立， 则，故取值范围为. 9. 设集合，.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，利用函数的性质，确定中恰含的一个整数为2，所以且，解不等式组即可求解. 【详解】或. 因为函数图象的对称轴为，，， 根据对称性可知，要使中恰含有一个整数，则这个整数为2， 所以有且，即，即，即. 故选：B. 10. 若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的新定义先确定集合，而要想取得最大值，则要最小，从而确定，即可求解 【详解】因为， 所以为 又且为互斥集， 所以为， 要想取得最大值， 则要最小，此时， 不妨令，则， 故选：C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．） 11. 命题 ，的否定是__________________． 【答案】 【解析】 【详解】全称命题的否定是特称命题，需将“”改为“”，并否定结论. 原命题：，否定为： 12. 已知函数，则_____. 【答案】6 【解析】 【分析】令代入求解即可. 【详解】令得：， 故答案为：6 13. 若正数，满足：，则的最小值为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】化简，再利用基本不等式求解. 【详解】解：由题得. 当且仅当时取等. 所以的最小值为9. 故答案为：9 14. 若集合，． ①则集合____________． ②若是的充分不必要条件，则实数取值范围是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①利用集合的补集运算求解； ②集合是集合的真子集，再分类讨论即可. 【详解】①由题意得：，所以或，即：； ②因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，. ， 即：，令，得，， ①当时，，即：解集为：， 若集合是集合的真子集，则需满足，且等号不同时成立，无解，不符合题意； ②当时，，即：解集为空集，不符合题意； ③当时，，即：解集为：， 若集合是集合的真子集，则需满足，且等号不同时成立，解得：，符合题意. 综上所述，实数取值范围是. 15. 已知全集，若集合，且对任意，均存在，使得：，则称集合为“对称对点集”.给出如下集合： （1）； （2）； （3）； （4）. 其中是“对称对点集”的序号为__________（写出所有正确的序号） 【答案】（1）（4） 【解析】 【分析】对于（1）（4）直接根据集合新定义说明即可；对于（2）（3）举反例说明即可. 【详解】对于（1），显然，且对任意，取，此时， 且，故（1）符合题意； 对于（2），若，，则， 所以与同号，而同号的两个数相加不可能等于0，故（2）不符合题意； 对于（3），若，，而当时，， 此时如果有，就意味着，但事实上，故（3）不符合题意； 对于（4），显然，且对任意，即，取， 此时有，即，且满足，故（4）符合题意. 故答案为：（1）（4）. 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 已知集合，． （1）求，； （2）求，． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【小问1详解】 对于集合可以解得，对于集合，，因此. 【小问2详解】 ，， ，， 17. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解出集合，然后根据，对集合，进行分类讨论即可； （2）先由，得出，即，然后对集合，进行分类讨论即可. 【小问1详解】 由， 当时， ，解得：，此时满足； 当时，若，则或， 即或，解得：或， 综上所述，若，则实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为，所以，即， 当时， ，满足， 当时，若，则，即，解得， 综上所述，若，实数的取值范围为. 18. （1）已知，求函数的最大值； （2）已知，求函数的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出，然后对函数的解析式进行变形，最后利用基本不等式求解即可； （2）对函数解析式变形，然后根据已知条件利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 则函数， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最大值为； （2）因为，所以， 则函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 19. 解下列关于的不等式： （1）； （2） 【答案】（1）; （2）当时，则不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可；（2）将原不等式变形为，对分情况讨论得出解集. 【小问1详解】 将原不等式移项得：，化简可得， 所以，解得. 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 , 当时，不等式可化为，则不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为. 综上：当时，则不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 20. 已知函数，不等式的解集为. （1）求函数的解析式； （2）已知函数，命题，恒成立，命题，使得成立．若命题、一真一假，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数、二次方程及二次不等式的关系可得函数解析式. （2）分别讨论真假与假真时参数的取值范围. 【小问1详解】 由已知函数，不等式的解集为， 则， 即和为二次方程的两根，且， 即，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 当命题为真命题时，，即在上恒成立， 分离参数可得， 又当时，函数，当且仅当，即时等号成立， 即当时，， 所以， 又恒成立，所以； 当命题为真命题时，，使得成立，即， 又当时，取得最小值为，所以； 由命题、一真一假， 当真假时，，即； 当假真时，，此时无解； 综上所述，命题，一真一假时，. 21. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到； （2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5； （3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，. 【小问1详解】 ，故， ， 故； 【小问2详解】 是由4个正实数构成的集合， 不妨设， 因为，故中的元素个数大于等于5， 当时，此时， 故中元素个数最小值为5； 【小问3详解】 由条件可知，对于一个4元集合， 中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数， 同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数， 由此知，的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别为与， 最大与次大的两个数分别为与， 从而必有， 于是， 所以， 当时，，解得， 又为有理数，不合要求，舍去， 当，解得，满足要求， 易得或， 经检验，均满足要求，故， 集合中的所有元素之和为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $