精品解析：江苏省东海高级中学2025-2026学年高二上学期9月学分认定考试数学试题

2025-2026学年第一学期高二年级9月份学分认定考试 数学试题 一､单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知点在直线上，点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 3. 直线与曲线的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 圆与圆的位置关系是． A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 5. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 6. 若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与直线平行，则平行线间的距离是 C. 经过定点的直线都可以用方程表示 D. 点关于直线的对称点是 10. 椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 若，则的最大值为 11. 已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 存在点，使得四边形为平行四边形 B. 线段的最小值为 C. 直线过定点 D. 的外接圆恒过两个定点 三､填空题：共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 过，斜率为的直线方程为__________. 13. 已知的三个顶点为，，，则外接圆的标准方程为__________. 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，则的内切圆的半径为__________. 四､解答题：共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点A，B的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是， （1）求动点M的轨迹C的方程； （2）设点，点P为曲线C上任一点，求的最大值. 16. 圆，过点作直线， （1）若直线为圆的切线，求直线的方程； （2）若直线与圆交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程. 17. 已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求的面积. 18. 已知点，的坐标分别为，，将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线. （1）求曲线方程； （2）上关于原点对称的两点，，射线，分别与圆交于，两点，记直线和直线的斜率分别为，. ①求与的斜率的乘积； ②问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由. 19. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴， （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点，点在直线上，满足x轴. ①证明直线过定点； ②设定点坐标为，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二年级9月份学分认定考试 数学试题 一､单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】. 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为150°. 故选：D 2. 已知点在直线上，点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离即可求解. 【详解】由于点不在直线上，所以当与直线垂直时，取最小值，， 故选：C 3. 直线与曲线的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】联立方程后考虑方程组的解，从而可得交点的个数. 【详解】联立直线方程和曲线方程可得可得， 即，解得或，故方程组的解为或. 故选：C 4. 圆与圆的位置关系是． A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】C 【解析】 【详解】圆，即，圆心为(-2,2)，半径为1； 圆，即，圆心为(2,5)，半径为4. 圆心距为：，故两圆外切. 故选C. 5. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得直线到圆心距离，然后由弦长公式可得答案. 【详解】到圆心距离为：. 又圆半径为：，则弦长为：. 故选：C 6. 若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【详解】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故选：B. 7. 已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据可整理得到结果. 【详解】由题意知：， 设，则， ，整理可得：， 即点的轨迹方程为：. 故选：D. 8. 设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，求得，根据椭圆的离心率为，求得，再由斜率公式，化简得到，即可求解. 【详解】由椭圆，可得， 设，由，可得， 因为椭圆的离心率为，可得，解得， 又因为，可得. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与直线平行，则平行线间的距离是 C. 经过定点的直线都可以用方程表示 D. 点关于直线的对称点是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线在轴上截距的定义知A错误；由平行关系可求得，结合平行直线间距离公式可求得B正确；当直线斜率不存在时，无法用方程表示，知C错误；采用待定系数法，根据点关于直线对称点的求法可构造方程组求得D正确. 【详解】对于A，直线过点，则其在轴上的截距为，A错误； 对于B，由两直线平行可得：，解得：， 则直线的方程可化为：， 两直线间的距离，B正确； 对于C，当经过的直线斜率不存在时，即方程为时，无法用方程来表示，C错误； 对于D，设关于直线的对称点为， 则，解得：，即关于直线的对称点为，D正确. 故选：BD. 10. 椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 若，则的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆方程可得离心率，知A错误；当为椭圆短轴端点，面积最大，知B正确；结合椭圆定义可将化为关于的二次函数，根据的范围可求得C正确；利用椭圆定义可知，由此可求得D错误. 【详解】对于A，由椭圆方程知：长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆离心率，A错误； 对于B，设，则， 当为椭圆短轴端点时，面积取得最大值，B正确； 对于C，由椭圆定义知：， ； ，， 当时，；当或时，； 的取值范围为，C正确； 对于D，由椭圆定义知：， （当且仅当三点共线时取等号，即位于图中处时取等号）， 又，，即的最大值为，D错误. 故选：BC. 11. 已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 存在点，使得四边形为平行四边形 B. 线段的最小值为 C. 直线过定点 D. 的外接圆恒过两个定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过求解圆心到直线的距离可确定，知此时四边形为平行四边形，知A正确；利用面积桥可求得B错误；根据过圆外一点作圆的切线，切点弦所在直线方程的结论可证得C正确；通过四点共圆可知所求外接圆即为以为直径的圆，通过求解圆的方程可确定D正确. 【详解】由圆的方程可知：圆心，半径. 对于A，当时，，， 此时，则，即，又，； 又，， 当时，四边形为平行四边形，A正确； 对于B，，， ， 则当取得最小值时，取得最小值， 当时，，，B错误； 对于C，若点为圆上一点，则， 当点处的切线斜率存在时，切线斜率， 切线方程为，整理可得：； 当点处切线斜率不存在时，也满足， 则在圆上一点处的切线方程为. 设， 则直线方程为：；直线方程为：； 满足方程组， 即坐标满足直线方程，即直线方程为：； ，则，整理可得：， 由得：，直线恒过定点，C正确； 对于D，，，四点共圆， 则的外接圆即为的外接圆，又， 的外接圆是以为直径的圆， 设，则圆心为，半径为， 的外接圆方程为：， 整理为：， 由得：或， 的外接圆恒过定点和，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 过，斜率为的直线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由点斜式可得直线方程. 【详解】由题，直线方程为：. 故答案为：. 13. 已知的三个顶点为，，，则外接圆的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆的一般方程，代入顶点坐标待定系数法可解出，再转化为圆的标准方程即可. 【详解】设圆的方程为， 把的顶点坐标，，代入可得， 解得， 故所求的的外接圆的方程为， 化为标准方程可得：. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，则的内切圆的半径为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设内切圆的半径为，由题可得与，然后由可得答案. 【详解】由题，. 将直线与椭圆联立，可得， 消去得：，判别式为：. 设，由韦达定理，，. 则， 从而. 又，设内切圆的半径为， 则. 故答案为： 【点睛】 四､解答题：共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点A，B的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是， （1）求动点M的轨迹C的方程； （2）设点，点P为曲线C上任一点，求的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）设，由题可得，， 化简后可得答案； （2）设，由题可得，，然后由两点间距离公式可得答案. 【小问1详解】 设，则，， ，整理得， 所以方程C为； 【小问2详解】 因为点P为C上任一点，设，，则， ， 所以时，取得最大值为. 16. 圆，过点作直线， （1）若直线为圆的切线，求直线的方程； （2）若直线与圆交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】（1）或. （2）或 【解析】 【分析】（1）由条件讨论直线斜率存在和不存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径，即可得到答案； （2）由题意结合三角形面积公式可得，所以圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可求得. 【小问1详解】 由圆，得其标准方程为， 所以圆心为，半径为. 当直线垂直于轴时，即满足条件. 当直线不垂直于轴时，可设直线方程为，即， ，则直线方程为. 切线的方程为或. 【小问2详解】 由直线与圆相交于M，N两点，设C到直线距离为，则 ，当且仅当时等号成立， 所以圆心C到直线的距离，解之得或. 则直线的方程为或 17. 已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求的面积. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）设，则线段的中点坐标为，因为线段的中点在直线上，代入计算即可求解； （2）设点关于直线的对称点为，由角平分线性质可知在直线上，求出坐标后即可确定直线的方程，再联立直线的方程求出点的坐标，最后利用面积公式求解. 【小问1详解】 因为直线CD的方程为， 设，又，线段的中点坐标为， 因为线段的中点在直线上， 所以，整理得，即，所以； 【小问2详解】 因为是的一条角平分线， 所以点关于直线的对称点在直线上， 设，则，解得， 故，所以， 所以直线的方程为，整理得， 联立直线与直线的方程， ，解得，即， 所以， 点到直线的距离， 所以. 18. 已知点，的坐标分别为，，将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线. （1）求曲线方程； （2）上关于原点对称的两点，，射线，分别与圆交于，两点，记直线和直线的斜率分别为，. ①求与的斜率的乘积； ②问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）①；②为定值 【解析】 【分析】（1）设是曲线上任意点，在圆上的对应点为，根据中点得到与的关系，代入计算即可； （2）①设出M、N坐标，运用点M、N在椭圆上进行等量代换及斜率公式计算即可； ②设出直线AM与直线AN的方程，联立直线AM方程与椭圆方程可得、，进而求得，联立直线AM方程与圆方程可得、，同理可得、，进而求得，代入计算可得结果. 【小问1详解】 设是曲线上任意点，在圆上的对应点为， 则，即，将其代入圆方程得，即， 所以曲线的方程为：. 【小问2详解】 ①设，，，则， ､在椭圆上，，即， 直线与直线的斜率存在且不为， ， 则直线与直线的斜率的乘积为. ②设，则直线的方程为， 联立 由韦达定理，，则，， 则， 同理，设，则点， 直线的斜率，， 由①知，所以， ， 由轨迹方程，得，代入得 因此， 于是 故为定值. 19. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴， （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点，点在直线上，满足x轴. ①证明直线过定点； ②设定点坐标为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）①由x轴，则直线斜率不为0，设直线方程为，，， 联立方程组，整理得， 则 ，，则 直线， 令，则 ②. 【解析】 【分析】（1）由题可得右焦点为，结合点在椭圆上，可得，据此可得答案； （2）①设直线方程为，，，将直线与椭圆方程联立可得，结合韦达定理，可得.注意到直线方程为：，令，可得，利用化简可得定点坐标； ②由①可得，令，，，随后利用单调性可得最值. 【小问1详解】 由题可得椭圆右焦点为，则， 由已知得：，解得，， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②， 令，，，设， 则， 即，在上单调递增， 则当时，，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $