精品解析：陕西省榆林中学2026-2027学年高二上学期第一次单元过关练习数学试卷

榆林中学2026-2027学年度高二年级第一学期第一次单元过关练习 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，总分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 如图，在四面体中，是的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若异面直线的方向向量分别是，，设异面直线与的夹角为θ，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 过三点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 直线过点且在两坐标轴上截距相等，则直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. 或 D. 或1 7. 设，若点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则的长等于（ ） A. 4 B. C. 6 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线l过点 B. 直线l与直线垂直 C. 直线l的一个方向向量为 D. 原点到直线的距离为1 10. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 11. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆与圆有四条公切线 C. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 D. 当时，为圆上任意一点，则的最大值为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 方程表示圆，则的取值范围为___________ 13. 一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为______________. 14. 数学之美，美在简洁而深刻，它用代数的严谨推算抵达几何的直观图景，以方程刻画关系，以图形映照意义，让抽象在数形结合中变得可见、可感、可解．已知，且，则的最大值为_________． 四、解答题 15. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 16. 已知圆，点，且直线经过点P. （1）求圆C的圆心坐标和半径； （2）若直线与C相切，求直线的方程. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． （1）求F点到的距离； （2）求点F到平面的距离. 18. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切，直线 （1）求圆的方程； （2）求直线被圆截得的最短弦长及此时的值. 19. 如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC边上的高AD折叠，使得二面角为，如图2所示，设M为CD的中点． （1）证明：平面． （2）求平面和平面的夹角的余弦值． （3）在线段AC（含端点）上是否存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林中学2026-2027学年度高二年级第一学期第一次单元过关练习 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，总分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】直线的斜率为， 则直线的倾斜角是. 2. 如图，在四面体中，是的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性关系即可求解. 【详解】, 故选：C 3. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易知两直线斜率存在，利用两直线平行斜率相等即可求得的值. 【详解】由可知，其斜率为， 又两直线平行，所以可得，解得. 故选：B 4. 若异面直线的方向向量分别是，，设异面直线与的夹角为θ，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式计算求解即可. 【详解】∵，， ∴， ， 则. 故选：B. 5. 过三点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】待定系数法求出圆的方程. 【详解】设圆方程为， 则， 解得， 所以圆的方程为． 故选：D． 6. 直线过点且在两坐标轴上截距相等，则直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. 或 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】分截距为零和不为零两种情况，截距为零可直接求出斜率，截距不为零，设直线方程为，再结合题设条件，即可求解. 【详解】若截距为零，此时直线过原点， 又因为直线过点， 所以直线的斜率为； 若截距不为零，设直线方程为， 因为直线过点， 所以， 解得， 所以直线方程为， 此时直线斜率为， 综上，直线的斜率为或. 故选：C. 7. 设，若点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系求式子的取值范围. 【详解】如图： 问题转化为过点的直线与线段有公共点时，直线斜率的取值范围. 因为，， 且当倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大； 当倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大. 所以斜率的取值范围是：或. 故选：C 8. 如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则的长等于（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为二面角等于，又 所以可得， 又， 所以 ， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线l过点 B. 直线l与直线垂直 C. 直线l的一个方向向量为 D. 原点到直线的距离为1 【答案】AB 【解析】 【分析】由直线方程易于判断A项；将其化成斜截式，易得其斜率，利用两直线垂直的充要条件易判断B项；利用直线的方向向量和斜率的关系即可判断C项；由点到直线的距离公式可判断D项. 【详解】对于A，直线显然经过点，故A正确； 对于B，由可得，直线的斜率为，而直线的斜率为1，故直线l与直线互相垂直，故B正确； 对于C，若直线l的一个方向向量为，则其斜率应该是，显然错误，故C错误； 对于D，由原点到直线的距离为，故D错误. 故选：AB. 10. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 11. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆与圆有四条公切线 C. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 D. 当时，为圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于选项A，由化简得，当时，，解得，所以A正确； 对于选项B，圆圆心为，半径为，圆变形为，可得圆心为，半径为， 则两圆心距离为，半径和为5，所以两圆外切，则有3条公切线，所以B错误； 对于选项C，当时，直线，则圆心，到直线的距离为，则， 所以圆上恰有两个点到直线的距离等于1，选项C正确； 对于选项D，当时，直线， 到直线的距离为，圆心，到直线的距离为， 所以圆上一点到直线的最远距离为，即的最大值为， 所以的最大值为，所以D正确. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 方程表示圆，则的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】将方程化为，根据其表示圆列不等式求参数范围. 【详解】由题设表示圆，则，即. 故答案为： 13. 一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由反射光线所在直线与入射光线所在直线关于轴对称，可知反射光线所在直线经过点关于轴对称的点，由此求出反射光线所在直线的方程. 【详解】由入射光线和反射光线的对称性可知，反射光线所在直线经过点关于轴对称的点， 由和确定反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 14. 数学之美，美在简洁而深刻，它用代数的严谨推算抵达几何的直观图景，以方程刻画关系，以图形映照意义，让抽象在数形结合中变得可见、可感、可解．已知，且，则的最大值为_________． 【答案】36 【解析】 【分析】由题设可得，则点为以原点为圆心，4为半径的圆上的一点，进而求解即可. 【详解】由，， 则 ， 则点为以原点为圆心，4为半径的圆上的一点， 而表示点与之间的距离，且， 则的最大值为， 所以的最大值为36， 检验：此时，即， 又，， 解得，或， 因此，的最大值36能取到. 综上所述，的最大值为36. 四、解答题 15. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. 【小问2详解】 直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 16. 已知圆，点，且直线经过点P. （1）求圆C的圆心坐标和半径； （2）若直线与C相切，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程即可； （2）按照直线的斜率存在性讨论，结合圆心到直线的距离等于半径求解. 【小问1详解】 可化为， 故圆的圆心坐标为，半径为； 【小问2详解】 因为，所以点在圆外， 若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，则设，即， 则圆心到直线的距离为，得， 此时切线方程为. 综上，直线的方程为或. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． （1）求F点到的距离； （2）求点F到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到直线距离公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式进行求解. 【小问1详解】 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； 【小问2详解】 设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 18. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切，直线 （1）求圆的方程； （2）求直线被圆截得的最短弦长及此时的值. 【答案】（1） （2）最短弦长为，此时 【解析】 【分析】（1）由圆心在直线上，设出圆心坐标，然后利用圆与直线相切，且过点，得出圆心到直线的距离为圆心到点的距离且为圆的半径列出方程，解出，然后求出圆心和半径即可； （2）先求直线恒过的定点，画出图形，分析得出直线被圆截得的弦长最短时的位置，然后利用几何法求出最短弦长以及此时对应的值. 【小问1详解】 因为圆的圆心在直线上，设圆的圆心为， 因为圆与直线相切，且过点， 所以有：，整理得， 解得，所以圆心，半径， 所以圆的方程为：. 【小问2详解】 ， 即， 由，得， 所以当，时，无论取何值，方程都成立， 即直线恒过定点， 如图，当时，直线被圆截得的弦长最短， 因为，所以当直线被圆截得的弦长最短时，直线的斜率为， 由直线， 斜率，即，解得：， 此时，， 所以弦长为：， 故当时，直线被圆截得的弦长最短， 最短弦长为，此时. 19. 如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC边上的高AD折叠，使得二面角为，如图2所示，设M为CD的中点． （1）证明：平面． （2）求平面和平面的夹角的余弦值． （3）在线段AC（含端点）上是否存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：在图1的等腰直角中，D为的中点，可得， 所以在图2中，可得． 因为，且，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形 因为M为的中点，所以． 又因为，且AD，平面，所以平面． （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1） 由线面垂直的判定定理证明平面，从而；由已知条件证明，再根据线面垂直的判定定理证得平面； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法，可求得平面和平面的夹角的余弦值； （3）假设存在点Q满足题意，且，根据线面角的向量求法，列出方程，求解可得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为坐标原点，在平面内作垂直于DC的直线为x轴，DC，DA所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则， 则． 设平面的法向量为，则 则，取，可得，所以． 设平面DAB的法向量为，则 则，取，可得，所以． 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为． 【小问3详解】 假设在线段AC上存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为． 由（2）得， 设，则． 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 化简得，解得或（舍去）， 所以存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为． 当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $