精品解析：陕西渭南市澄城县城关中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

城关中学高二年级2026-2027学年上学期高二第一次月考数学试题 一、选择题 1. 过点和点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点先求出直线斜率，然后根据斜率与倾斜角关系求得倾斜角. 【详解】由已知直线的斜率， 设直线倾斜角为，则， 所以. 故选：B. 2. 已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出BC的中点D的坐标，利用两点间的距离公式求出BC边上的中线长. 【详解】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长. 故选：B 3. 已知椭圆的一个焦点是，则（ ） A. B. 3 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为椭圆的一个焦点是， 所以焦点在x轴上，则，， 所以，则. 4. 圆与圆的公切线共有 A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【解析】 【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线． 【详解】 圆心坐标为（2，0）半径为2； 圆心坐标为，半径为1， 圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条． 故本题选D. 【点睛】本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数．解决的方法就是利用圆的标准方程求出圆心坐标以及半径，比较圆心距与两圆半径和差的关系． 5. 若直线：与：（）平行，则与间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行关系求出，再由平行线间的距离公式求解． 【详解】因为与平行，所以，得， 所以：， 所以与间的距离为． 故选：C． 6. 已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用椭圆定义和焦距性质可解. 【详解】根据题意，焦距，.根据椭圆定义，周长为，解得. 则离心率为. 故选：C 7. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，根据圆的方程判断得到此定点在圆内，即可得到直线与圆的位置关系. 【详解】直线即，过定点， 因为圆的方程为， 则， 所以点在圆内，则直线与圆相交. 故选：C 8. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 二、多项选择题 9. 若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出直线与两坐标轴的交点坐标，再依次判断四个选项的焦点坐标和顶点坐标，得到答案. 【详解】中令得，令得， 故与两坐标轴的交点坐标为， A选项，的两焦点坐标为，又为一个顶点，A正确； B选项，的两焦点坐标为，B错误； C选项，的两焦点坐标为，且为一个顶点，C正确； D选项，的两焦点坐标为，D错误. 故选：AC 10. 已知椭圆：()的左右焦点分别、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，若为直角三角形，则该椭圆的离心率（ ）. A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】 分两类：和，设，由的斜率求得中其他两边，得，即可得离心率． 【详解】当时，设，则由于，∴，， ∵，，∴椭圆的离心率为， 当时，设，则由于，∴，， ∵，，∴椭圆的离心率为， 故选：CD. 【点睛】易错点睛：本题考查求椭圆的离心率，已知条件是为直角三角形，解题时需要对哪个角是直角分类讨论，否则易出错． 11. 已知直线与圆，设点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在直线上，则直线与圆相切 B. 若点在圆外，则直线与圆相离 C. 若点在圆内，且异于原点，则直线与圆相离 D. 若点在圆上，则直线与轴，轴围成的三角形面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系得到关于的等式或不等式，再通过圆心到直线的距离与半径的大小判断A，B，C；表示出三角形面积后利用基本不等式求面积的最小值判断D. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离， 选项A：点在直线上，则，此时，直线与圆相切，故A正确. 选项B：点在圆外，则，此时，直线与圆相交，故B错误. 选项C：点在圆内，则，此时，直线与圆相离，故C正确. 选项D：点在圆上，则.直线与轴交于（），与轴交于（）， 围成三角形的面积为.由，得，故， 当且仅当时取等号，面积最小值为1，故D正确. 三、填空题 12. 已知三条直线，，相交于一点，则____________. 【答案】3 【解析】 【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【详解】由和联立，解得， 由点在直线上，得，所以. 故答案为：3 13. 唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出点关于直线对称点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为： 14. 过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为圆的圆心在轴上， 所以设圆C的圆心C坐标为，半径设为r, 因为圆过原点，所以有，即. 因为圆与圆外切，所以有， 所以有， 两边同时平方得：， 即， 当时，，即，不成立，舍去. 当时，，即， 则， 所以圆的标准方程为. 四、解答题 15. 已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上. （1）求AD边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD外接圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率关系，再应用点斜式求出直线方程； （2）根据矩形求出外接圆的圆心及半径得出圆的标准方程. 【小问1详解】 因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直， 所以直线AD的斜率为 又因为点在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为， 即 【小问2详解】 由，解得点A的坐标为 因为矩形ABCD两条对角线的交点为 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． 又， 从而矩形ABCD外接圆的方程为 16. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程. （3）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【小问1详解】 直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 【小问2详解】 依题意，设直线的方程为，而直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 依题意，边的中点，因此边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 17. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）若圆与圆相交于A、两点，求. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设切线方程为，根据圆心到直线距离等于半径即可求解； （2）利用两圆方程消去求得公共弦所在直线方程，再由弦长公式可解. 【小问1详解】 圆方程可化为， 则圆心，半径为2， 由，可知点在圆外， 由图可知，过点的直线斜率存在， 设的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得或， 的方程为或. 【小问2详解】 由消去， 整理得直线方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， 所以. 18. 如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． （1）求圆C的方程； （2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】（1） （2）该船没有触礁的危险． 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【小问1详解】 依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． 【小问2详解】 因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 19. 已知以点为圆心的圆与直线相切. （1）求圆A的方程； （2）过点的直线l与圆A相交与M，N两点，当时，求直线l方程； （3）已知实数x，y满足圆A的方程，求的取值范围. 【答案】（1）; （2）或; （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意知到直线的距离为圆半径，由点到直线的距离公式即可求解； （2）求得圆心到直线的距离，分斜率是否存在两种情况计算可得结论； （3）求得圆心到的距离的最小值的平方，即可得结论. 【小问1详解】 由题意知点到直线的距离为圆的半径， 由点到直线的距离公式可得, 所以圆的方程为. 【小问2详解】 因为直线与圆相交与两点，且，利用垂径定理和勾股定理， 可得圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直到直线的距离为，符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由题意可得，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. 【小问3详解】 表示点到的距离的平方， 又圆心到的距离为， 所以点到的距离的最小值为，最大值为 所以的最小值为，最小值为， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城关中学高二年级2026-2027学年上学期高二第一次月考数学试题 一、选择题 1. 过点和点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 3. 已知椭圆的一个焦点是，则（ ） A. B. 3 C. 5 D. 4. 圆与圆的公切线共有 A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 若直线：与：（）平行，则与间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 8. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、多项选择题 9. 若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆：()的左右焦点分别、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，若为直角三角形，则该椭圆的离心率（ ）. A. B. C. D. 11. 已知直线与圆，设点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在直线上，则直线与圆相切 B. 若点在圆外，则直线与圆相离 C. 若点在圆内，且异于原点，则直线与圆相离 D. 若点在圆上，则直线与轴，轴围成的三角形面积的最小值为 三、填空题 12. 已知三条直线，，相交于一点，则____________. 13. 唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 14. 过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 四、解答题 15. 已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上. （1）求AD边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD外接圆的标准方程. 16. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 17. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）若圆与圆相交于A、两点，求. 18. 如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． （1）求圆C的方程； （2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 19. 已知以点为圆心的圆与直线相切. （1）求圆A的方程； （2）过点的直线l与圆A相交与M，N两点，当时，求直线l方程； （3）已知实数x，y满足圆A的方程，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $