精品解析：广东省揭阳市榕城区华美实验学校2025-2026学年九年级上学期12月月考试数学题卷

2025-2026学年度九年级第一学期第二次综合训练 数学科试题卷 （温馨提示：本卷满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数，解答即可． 本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是反比例函数，其余都不是， 故选：B． 2. 将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（ ） A. 5，1 B. ， C. ， D. ，1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，将方程移项化为一般形式，再比较系数即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， 故选：D． 3. 下列线段能成比例线段的是（ ） A. 、、、 B. 1cm、、、4cm C. 、、、1cm D. 、、、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段．依次对每组的四条线段长度按从小到大顺序排列好，然后分别计算前两项的比值和后两项的比值，如果两个比值相等，则说明四条线段成比例，否则不成比例． 【详解】解：A、，故四条线段是不成比例线段，不符合题意； B、，故四条线段是成比例线段，符合题意； C、，故四条线段是不成比例线段，不符合题意； D、，故四条线段是不成比例线段，不符合题意； 故选：B． 4. 如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，从左面看到的这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同角度看立体几何图形，掌握立体几何的特点是解题的关键．根据图示，从不同角度看立体几何图形的特点即可求解． 【详解】解：从左面看到的图形为． 故选：C． 5. 如图，不能判定和相似的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：A、由知，且， 可判断和相似，故选项A不符合题意； B、，且， 可判断和相似，故选项B不符合题意； C、，且， 可判断和相似，故选项C不符合题意； D、由，缺少条件，无法判断和相似，故选项D不符合题意； 故选：D． 6. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 7. 《感动中国2024年度人物颁奖盛典》节目上线后，第一天的播放量为135万次，第三天的播放量增长到228万次．设该节目播放量的日均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据日均增长率的定义，每天播放量是前一天的倍，因此从第一天到第三天的增长倍数为，据此即可获得答案． 【详解】解：设日均增长率为x，则第二天播放量为，第三天播放量为， ∵ 第三天播放量为228万次， ∴可得． 故选：A． 8. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查特殊四边形的关系，熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键． 根据四边形的判定定理进行判断即可． 【详解】A．对角线相等的平行四边形是矩形，则（1）处可填， 选项A正确，不符合题意； B．邻边相等的矩形是正方形，是对边，不能得到矩形是正方形， 选项B错误，符合题意； C．邻边相等的平行四边形是菱形，则（3）处可填，选项C正确，不符合题意； D．由四边形是菱形，则， 当时，解得，有一个角是直角的菱形是正方形，故D正确，不符合题意． 故选：B． 9. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题要结合一次函数和反比例函数图象的性质，通过分析比例系数的符号对两个函数图象的影响，逐一排查选项． 【详解】解：．由的图象位于第一、三象限，得； 则，所以一次函数图象应该位于第一、二、四象限，与选项图象矛盾，不符合题意； ．由的图象位于第二、四象限，得； 则，所以一次函数图象应该位于第一、三、四象限，与选项图象矛盾，不符合题意； ．由的图象位于第一、三象限，得； 则，所以一次函数图象应该位于第一、二、四象限，与选项图象矛盾，不符合题意； ．由的图象位于第二、四象限，得； 则，所以一次函数图象应该位于第一、三、四象限，与选项图象一致，符合题意； 故选． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图象性质，解题关键是根据的符号，分别分析两个函数的图象特征：反比例函数的象限分布、一次函数的增减性和与 轴的交点位置，通过逻辑推理逐一排除不符合的选项． 10. 如图，正方形ABCO和正方形CDEF的顶点B、E在双曲线y=（x＞0）上，连接OB、OE、BE，则S△OBE的值为（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】A 【解析】 【分析】先证明CE∥OB，从而由等底同高的三角形的面积相等可得S△OBE=S△OBC，再由反比例函数和正方形的性质可求BC=OC=2，然后可求出S△OBE的值. 【详解】连接CE． ∵四边形ABCO，四边形DEFC都是正方形， ∴∠ECF=∠BOC=45°， ∴CE∥OB， ∴S△OBE=S△OBC， ∵BC=OC，点B在y= 上， ∴BC=OC=2， ∴S△OBE= ×2×2=2， 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等底同高的三角形的面积相等，反比例函数k的几何意义，证明S△OBE=S△OBC是解答本题的关键. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是一元二次方程的解，则___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据题意，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：将代入方程得， ∴． ∴． 故答案为：． 12. 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是6，8，则这个直角三角形的面积是______． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出斜边长，再利用面积公式求解，熟练掌握直角三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长是8， ∴斜边长为． ∵斜边上的高是6， ∴这个直角三角形的面积是． 故答案为：48． 13. 如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，直接根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点． ， 反比例函数图象在第二、四象限， ． 故答案为：． 14. 如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘，．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配成紫色的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键.将转盘，的红色部分和黄色部分分别等分成两部分，分别记为红₁，红₂，黄₁，黄₂，并画出树状图，得到所有等可能性的结果数，再找到可配成紫色的结果数，最后依据概率计算公式求解即可. 【详解】解：将转盘，的红色部分和黄色部分分别等分成两部分，分别记为红₁，红₂，黄₁，黄₂， 画树状图如下： 由树状图可知一共有种等可能性的结果，其中可配成紫色的结果数有种， 所以配成紫色的概率是 ． 故答案为： ． 15. 如图，若线段将边长为6、8、的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则__________． 【答案】2或6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、三角形的面积等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 延长相交于点，则是直角三角形，根据线段将边长为6、8、的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：如图，延长相交于点， 则是直角三角形， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∴m为2或6， 故答案为：2或6． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 17. 如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上． （1）画出位似中心点O； （2）以点P为位似中心，在点P右侧的网格中再画一个，使它与的位似比为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查位似图形的作图，根据位似的性质确定位似中心位置，并按照位似比作出位似图形是解题的关键． （1）根据在位似图形中，对应点连线的交点就是位似中心，据此求解即可； （2）以点为位似中心，延长到，使，延长到，使，延长到，使，然后顺次连接、、得到． 【小问1详解】 解：分别延长和，延长线的交点即为位似中心点，如图： 【小问2详解】 解：以点为位似中心，延长到，使，延长到，使，延长到，使，然后顺次连接、、得到，此时，使它与的位似比为，如图： ． 18. 为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为的四张卡片（如图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为________； （2）小聪从4张卡片中随机抽取1张不放回，小明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家为国家乃至全世界做出卓越贡献的事迹，请用画树状图或列表的方法，求小聪、小明两人中恰好有一人讲述物理学家杨振宁事迹的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，掌握运用了列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图， 共有12种等可能的结果数，其中小聪、小明两人中恰好有一人讲述杨振宁事迹的有6种结果， ∴小聪、小明两人中恰好有一人讲述杨振宁事迹的概率为． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，中，，点是线段上一点，连接，． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由等边对等角得，由三角形外角的性质可得，又由可得，进而可得． （2）根据相似三角形对应边成比例列比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 20. 如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 四边形是正方形，理由如下： 由（）知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（）证明得，进而得，得到四边形是平行四边形，再根据即可求证； （）先证四边形是平行四边形，得到，可得，进而得到，即可得，得到，即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务． 设计合适的盒子 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）． 素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是． 素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是． 问题解决 任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高． 任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高． 任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 【答案】任务一：该长方体盒子的高为；任务二：该长方体盒子的高为；任务三：每个有盖盒子应降价元或元. 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用； 任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，可得，再解方程并检验即可； 任务二：设剪去的正方形的边长为，可得，再解方程并检验即可； 任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，可得，再解方程即可. 【详解】解：任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，则 ， 整理得：， 解得：，， 经检验：不符合题意舍去， ∴， ∴该长方体盒子的高为； 任务二：设剪去的正方形的边长为，则 ， 整理得：， 解得：，， 经检验：不符合题意舍去， ∴， ∴该长方体盒子的高为； 任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，则 ， 整理得：， 解得：，， 答：每个有盖盒子应降价元或元. 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第24题14分，共27分） 22. 如在平面直角坐标系中，点A、B是反比例函数的图像上的两点，且点A与点关于原点对称，直线经过点，设点A、B的横坐标分别为． （1）若，． ①求函数的表达式； ②求的面积； （2）若，求的值． 【答案】（1）①，②15 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数图象上的点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）①先求出点，，然后用待定系数法求出函数的表达式即可； ②设直线与x轴交于点M，直线交x轴于N，则，求解即可； （2）先求出，，，当是直角三角形时，只能是，则即代入计算即可得出结论． 【小问1详解】 解：①点A、B是反比例函数的图像上的两点， 时，， ， 当时，，解得：， ， 把代入， 得，解得： ； ②令，则， ． 设直线与x轴交于点M，直线交x轴于N， ． 点与点关于原点对称， ， 设直线解析式为，把，代入， 得，解得： 直线解析式为． 令，则， ． ； 【小问2详解】 由题意，当时，， ， 当时，， ， 点与点关于原点对称， ， ， ， ， 又， ， ， 整理得：， ， ， ． 23. （1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：； （2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点． ①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； ②如图3，求证MN2=DM·EN． 【答案】（1）在△ABQ和△ADP中， ∵DP∥BQ， ∴△ADP∽△ABQ， ∴， 同理在△ACQ和△APE中，， ∴； （2）①； ②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°， ∴∠B=∠CEF， 又∵∠BGD=∠EFC， ∴△BGD∽△EFC， ∴， ∴DG•EF=CF•BG， 又∵DG=GF=EF， ∴GF2=CF•BG， 由（1）得， ∴， ∴， ∵GF2=CF•BG， ∴MN2=DM•EN． 【解析】 【分析】（1）易证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出； （2）①根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长．从而，由△AMN∽△AGF和△AMN的MN边上高，△AGF的GF边上高，GF=，根据 MN：GF等于高之比即可求出MN； ②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1），从而得出结论． 【详解】（1）略 （2）①作AQ⊥BC于点Q． ∵BC边上的高AQ=， ∵DE=DG=GF=EF=BG=CF ∴DE：BC=1：3 又∵DE∥BC ∴AD：AB=1：3， ∴AD=，DE=， ∵DE边上的高为，MN：GF=：， ∴MN：=：， ∴MN=． 故答案为：． ②略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级第一学期第二次综合训练 数学科试题卷 （温馨提示：本卷满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（ ） A. 5，1 B. ， C. ， D. ，1 3. 下列线段能成比例线段的是（ ） A. 、、、 B. 1cm、、、4cm C. 、、、1cm D. 、、、 4. 如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，从左面看到的这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，不能判定和相似的条件是（　　） A. B. C. D. 6. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 《感动中国2024年度人物颁奖盛典》节目上线后，第一天的播放量为135万次，第三天的播放量增长到228万次．设该节目播放量的日均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 9. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCO和正方形CDEF的顶点B、E在双曲线y=（x＞0）上，连接OB、OE、BE，则S△OBE的值为（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是一元二次方程的解，则___________． 12. 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是6，8，则这个直角三角形的面积是______． 13. 如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值是______． 14. 如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘，．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配成紫色的概率为___________． 15. 如图，若线段将边长为6、8、的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则__________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： 17. 如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上． （1）画出位似中心点O； （2）以点P为位似中心，在点P右侧的网格中再画一个，使它与的位似比为． 18. 为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为的四张卡片（如图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为________； （2）小聪从4张卡片中随机抽取1张不放回，小明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家为国家乃至全世界做出卓越贡献的事迹，请用画树状图或列表的方法，求小聪、小明两人中恰好有一人讲述物理学家杨振宁事迹的概率． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，中，，点是线段上一点，连接，． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 20. 如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 21. 综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务． 设计合适的盒子 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）． 素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是． 素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是． 问题解决 任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高． 任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高． 任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第24题14分，共27分） 22. 如在平面直角坐标系中，点A、B是反比例函数的图像上的两点，且点A与点关于原点对称，直线经过点，设点A、B的横坐标分别为． （1）若，． ①求函数的表达式； ②求的面积； （2）若，求的值． 23. （1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：； （2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点． ①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； ②如图3，求证MN2=DM·EN． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $