精品解析：广东东莞市众美中学2026-2027学年度高一上学期第一次月考数学试卷

2026～2027学年度第一学期第一次月考 高一数学 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的元素个数为（    ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】集合，包含的互异元素为1、2，合计2个，因此集合A的元素个数为2. 2. 将集合且用列举法表示正确的是　(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合条件逐一列举合乎题意的元素，即得结果. 【详解】因为且 故选：C 【点睛】本题考查列举法，考查基本分析求解能力，属基础题. 3. 已知，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若“，”，能推出“”，满足充分性； “”，则“，”或“，”，不满足必要性， 故“，”是“”的充分不必要条件． 4. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以，即，故C正确； 对于D，因为，所以，故， 所以，故D错误. 5. 已知集合，，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合相等的定义，即可求解. 【详解】由可知，. 故选：A 6. 下列命题中为全称量词命题的是（    ） A. 有些实数没有倒数 B. 矩形都有外接圆 C. 过直线外一点有一条直线和已知直线平行 D. ，x2+x≤2 【答案】B 【解析】 【详解】选项A.存在量词命题，故错误； 选项B.全称量词命题，故B正确； 选项C.存在量词命题，故C错误； 选项D.存在量词命题，故D错误. 7. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】因为正数满足， 则， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值是8. 故选：A. 8. 设全集，集合A满足，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可求得，从而可判断各选项. 【详解】因为，，所以. 对于A，，A正确； 对于B，，B不正确； 对于C，，C不正确； 对于D，，D不正确. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A：符号表示元素和集合的从属关系，是集合，并非集合的元素， 正确关系应为 ，故A错误； 选项B：集合具有无序性，两个集合的元素完全一致，因此集合相等，故B正确； 选项C：若集合A的所有元素都属于集合B，则，两个集合元素完全相同， 任意集合都是其本身的子集，故C正确； 选项D：是集合，不是集合的元素，正确关系应为，故D错误. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】A选项：当时，当时，，若，则，故A正确； B选项：当时，故B错误； C选项：若，则，但，故C错误； D选项：若，则，即，故D正确. 11. 已知，，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，若，，则，， 不满足； 对于B，若，，则，不满足； 对于C，若， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； 对于D，若， 则， 当且仅当，即时等号成立，不满足. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是______． 【答案】， 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】因为命题“，”是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题，即，， 故答案为：， 13. 已知 ，则 的最小值为 ______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】已知 ，根据基本不等式可得， 当且仅当，即 时取等号. 故答案为：4. 14. 已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合法，将是的必要不充分条件转化为两集合间真包含关系，列出关于的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】因为，，且是的必要不充分条件， 所以是的真子集，且不是空集. 所以且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为:. 【点睛】解决根据充分条件和必要条件条件求参数取值范围的问题：一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系，列出关于参数的不等式(组)求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解方程： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） ，. （2） ，. （3） ，. 【解析】 【分析】（1）通过因式分解即可求解； （2）通过因式分解即可求解； （3）通过求根公式即可求解. 【小问1详解】 由于，解得. 【小问2详解】 由于，解得. 【小问3详解】 已知，因为， 由求根公式可得，即. 16. 设，，，求，，. 【答案】 ，，. 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算直接求解即可. 【详解】已知，，， 则，，. 17. （1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【答案】（1）； （2）因为，所以， 又，所以，所以， 所以，即， 又，所以. 【解析】 【分析】（1）作差比较即可； （2）利用不等式性质推导可得. 【详解】（1）因为， 所以. （2）略 18. （1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是. 【解析】 【分析】 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为. （1）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论； （2）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论. 【详解】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为. （1）由已知得，由，可得，所以， 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为； （2）由已知得，则，矩形菜园的面积为. 由，可得， 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题. 19. 为了促进黄花园校区与张家花园校区之间的便利往来，学校计划在明德楼旁修建电梯.根据公司的报价，购买并安装电梯的费用为25万元，每年在电力､安保等常规管理支出为3万元，使用年时，电梯保养的总维护费用为万元. （1）设电梯的年平均使用费用为万元，求关于的表达式（注：年平均使用费用，单位：万元/年）； （2）考虑到电梯使用年限和经济效益，这部电梯使用多少年后，年平均使用费用最少？ 【答案】（1） （2）15年. 【解析】 【分析】（1）根据题意，即可求得年平均使用费用y关于x的表达式； （2）由，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，电梯安装费用是25万元，使用年时，管理支出为万元，电梯的保养修费用为万元， 所以关于的表达式为. 【小问2详解】 . 当且仅当，即时等号成立. 则这部电梯使用15年后，年平均使用费用最少. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期第一次月考 高一数学 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的元素个数为（    ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 将集合且用列举法表示正确的是　(　　) A. B. C. D. 3. 已知，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. 2 6. 下列命题中为全称量词命题的是（    ） A. 有些实数没有倒数 B. 矩形都有外接圆 C. 过直线外一点有一条直线和已知直线平行 D. ，x2+x≤2 7. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 8. 设全集，集合A满足，则（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知，，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是______． 13. 已知 ，则 的最小值为 ______． 14. 已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解方程： （1）； （2）； （3）. 16. 设，，，求，，. 17. （1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 18. （1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 19. 为了促进黄花园校区与张家花园校区之间的便利往来，学校计划在明德楼旁修建电梯.根据公司的报价，购买并安装电梯的费用为25万元，每年在电力､安保等常规管理支出为3万元，使用年时，电梯保养的总维护费用为万元. （1）设电梯的年平均使用费用为万元，求关于的表达式（注：年平均使用费用，单位：万元/年）； （2）考虑到电梯使用年限和经济效益，这部电梯使用多少年后，年平均使用费用最少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $