精品解析：江西南昌二中集团校2026-2027学年八年级上学期数学第一次学情自测卷

2026—2027学年度第一学期十月素质评估初二数学 一．选择题 1. 下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A. 是的角平分线 B. 为边上的高 C. 是边上的中线 D. 为的高线 5. 如图，，点D落在BC上，且，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 6. 在下列条件中：①；②；③；④中，能确定△是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题 7. 已知的两边长分别为，，则第三边长可能是______．（写一个即可） 8. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的____________块带去，就能配一块大小和形状与原来都一样的三角形． 9. 如图，与交于点，已知，，则___________． 10. 如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B=65°，则∠ADC的大小为___度． 11. 如图，在中，，平分交于点D．若，，则点D到的距离为__________． 12. 在平面直角坐标系中，已知，在平面内取一点（点是不同于点的点），若以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为___________． 三．解答题 13. 如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出的边上的高以及上的中线； （2）求出的面积． 14. 如图，交于点E，，．求证：． 15. 如图，点E、F在上，，，．求证：． 16. 如图，于点D，于点E，相交于点O． （1）当时，求证：； （2）当时，求证：． 17. 如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． （1）若，，求的面积； （2）试判断与之间的位置关系，并说明理由． 18. 如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线． （1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数； （2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式　 　． 19. 如图，是内一点，． （1）若，，求的度数． （2）若分别为的平分线，求的度数． 20. 如图，交于点是上一点，且． （1）试说明． （2）若，求的度数． 21. 如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，我们将这个模型称为“一线三直角”． （1）如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在第二象限，点坐标为，的坐标为，求点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； （3）等腰，，，点在轴正半轴上运动，点在轴上运动，点坐标为，请直接写出，，之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期十月素质评估初二数学 一．选择题 1. 下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 利用全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意； B、两个图形属于全等图形， 故此选项符合题意； C、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意； D、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系. 三条边均不相等的三角形是不等边三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；根据概念就可找到它们之间的关系. 【详解】解：根据各类三角形的概念可知，B可以表示它们彼此之间的包含关系.   故选：B ． 3. 如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，明确不能证明三角形全等是解题的关键． 由于，而为公共边，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵，， ∴A．当添加时，由可证明，故不符合题意； B．当添加时，由不能证明，故符合题意； C．当添加时，由可证明，故不符合题意； D．当时,，由可证明，故不符合题意． 故选B． 4. 如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A. 是的角平分线 B. 为边上的高 C. 是边上的中线 D. 为的高线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． 5. 如图，，点D落在BC上，且，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．熟记性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：， ，， ， ． 故选：C． 6. 在下列条件中：①；②；③；④中，能确定△是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形的判定方法．根据三角形内角和等于，结合已知求出最大角的度数，再由有一个角为的三角形，叫做直角三角形，进行即可判断． 【详解】解：①∵，，∴，∴，判定△是直角三角形，故①符合题意； ②由，得到，∴△是直角三角形，故②符合题意； ③由，得到，因此，判定△是直角三角形，故③符合题意； ④由，，求出，得到，判定△是锐角三角形，故④不符合题意． 能确定△是直角三角形的条件有①②③，共3个． 故选：C． 二．填空题 7. 已知的两边长分别为，，则第三边长可能是______．（写一个即可） 【答案】 (答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求解即可，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三边长为， 则， 即， ∴第三边长可以是， 故答案为： (答案不唯一)． 8. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的____________块带去，就能配一块大小和形状与原来都一样的三角形． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故答案为：2． 9. 如图，与交于点，已知，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得出． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 10. 如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B=65°，则∠ADC的大小为___度． 【答案】65 【解析】 【详解】解：∵以点A为圆心，以BC长为半径作弧；以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D， ∴AB=CD，BC=AD． 又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA（SSS）． ∴∠ADC=∠B=65°． 故答案为：65． 11. 如图，在中，，平分交于点D．若，，则点D到的距离为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查的是角平分线的性质．熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点D作于E，依据角平分线性质，即可得到．依据，求得的长，即可得出点D到的距离． 【详解】解：如图所示，过点D作于E． ∵平分，， ∴． ∵， ∴． ∵， ． 解得． ∴． 即点D到的距离为3． 故答案为：3． 12. 在平面直角坐标系中，已知，在平面内取一点（点是不同于点的点），若以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为___________． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的性质，全等三角形的判定，对称图形点坐标变化，取线段的垂直平分线，根据成轴对称的两个图形全等求解即可． 【详解】解：如图，取线段的垂直平分线，作关于直线的对称点，分别作和关于轴的对称点，， ∵， ∴线段的垂直平分线为， ∴和关于直线对称， ∵作关于直线的对称点， ∴，与关于直线对称， ∴，此时，  ∵关于轴的对称点是，关于轴的对称点是， ∴，， 综上所述，以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为，，， 故答案为：，，． 三．解答题 13. 如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出的边上的高以及上的中线； （2）求出的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求．即为所求． （2）4． 【解析】 【分析】此题考查了网格中作图和网格中求出三角形面积． （1）根据网格的特点、三角形的高和中线的定义作图即可； （2）根据三角形面积公式和三角形中线平分三角形面积计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵为的中线， ∴， ∵， ∴的面积为． 14. 如图，交于点E，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，直接根据“”进行证明即可． 【详解】略 15. 如图，点E、F在上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．根据，可得，易证，根据全等三角形的性质可得． 【详解】略 16. 如图，于点D，于点E，相交于点O． （1）当时，求证：； （2）当时，求证：． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，可得，可证明，即可求证； （2）先证明，可得，可证明，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． （1）若，，求的面积； （2）试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）96； （2） 解：． 理由：， ， ， ， ， ． ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ． 又， ． 又， ． ． 【小问2详解】 略 18. 如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线． （1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数； （2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式　 　． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，得到∠BAE的度数，求出∠AED的度数，根据AD是高线，求得答案； （2）根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，得到∠BAE的度数，求出∠AED的度数，根据AD是高线，求得答案． 【详解】（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC=， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=， ∴∠AED=∠B+∠BAE=, ∵AD是高线， ∴AD⊥BC， ∴∠DAE=； （2）∵∠B＝α，∠C＝β， ∴∠, ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE== ∴∠AED=∠B+∠BAE== ∵AD是高线， ∴AD⊥BC， ∴∠DAE==， 故答案为：． 【点睛】此题考查三角形的基础知识，三角形的角平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，直角三角形两锐角互余，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键． 19. 如图，是内一点，． （1）若，，求的度数． （2）若分别为的平分线，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键． （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再由，，得出，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）由（1）知，，根据，分别为，的平分线可得出的度数，进而得出结论． 【小问1详解】 ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 由（1）知，， ，分别为，的平分线， ， ． 20. 如图，交于点是上一点，且． （1）试说明． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质． （1）先证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据三角形的外角的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是和的外角， ，， ， ， ， ， ， ． 21. 如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，我们将这个模型称为“一线三直角”． （1）如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在第二象限，点坐标为，的坐标为，求点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； （3）等腰，，，点在轴正半轴上运动，点在轴上运动，点坐标为，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作轴于点，证明，则有，，又点坐标为，的坐标为，所以，，则，故点的坐标； （）同（）理可求解； （）分为点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在轴负半轴上运动两种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点坐标为，的坐标为， ∴，， ∴， ∴点的坐标； 【小问2详解】 解：如图，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点坐标为，的坐标为， ∴，， ∴， ∴点的坐标； 【小问3详解】 解：如图，点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点坐标为，的坐标为， ∴，， ∴， ∴； 如图，点在轴正半轴上运动，点在轴负半轴上运动，过作轴于点， 同理可得：， ∴，， ∵点坐标为，的坐标为， ∴，， ∴， ∴； 综上可得：，，之间的关系为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $