精品解析：江西省南昌市外国语学校2025-2026学年上学期12月八年级数学检测试卷

2024-2025学年第一学期12月份阶段性学习质量检测 初二数学试卷 全卷满分120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下面不是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的概念是关键．如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，就称此图形是轴对称图形，这条直线称为对称轴；根据轴对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、选项中的图形是轴对称图形，不符合题意； B、选项中的图形是轴对称图形，故不符合题意； C、选项中的图形不是轴对称图形，符合题意； D、选项中的图形是轴对称图形，不符合题意； 故选：C 2. 下列计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的运算性质，逐一判断即可； 【详解】A．，选项A不符合题意； B．，选项B符合题意； C．，选项C不符合题意； D．，选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 3. 下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项． 【详解】∵因式分解需满足右边为整式的积， A：右边含分式 ，不是整式，不符合因式分解概念，不是因式分解； B：右边是差的形式，不是积，不符合因式分解概念，不是因式分解； C：该变形是整式乘法，是因式分解的逆运算，不符合因式分解的概念，不是因式分解； D：右边是整式的积，符合因式分解概念，是因式分解； ∴故选：D． 4. 如图，，点D在边上，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，以及等边对等角和三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即：， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理．熟练掌握全等三角形的对应边和对应角相等，以及等边对等角，是解题的关键． 5. 已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式，表达式应为的形式，比较系数进行列式求解，即可作答． 【详解】解：∵是某个整式的平方的展开式， ∴， ∴， ∴， ∴或 解得m的值为4或， 故选：C． 6. 如图，在中，，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】作点F关于AD的对称点F′，连接CF′交AD于点E′，连接EF′，得到≥CF′，结合点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短，即可求解． 【详解】作点F关于AD的对称点F′，连接CF′交AD于点E′，连接EF′， ∵平分交于点， ∴点F′在AB上， ∴≥CF′， 在中，当CF′⊥AB时，CF′的值最小，此时，CF′==， ∴的最小值为， 故选D 【点睛】本题主要考查轴对称与两线段和的最小值问题，熟练掌握“马饮水”模型，是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方、幂的乘方的法则进行计算； 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方，积的乘方等于积中各项乘方的积；幂的乘方底数不变，指数相乘，熟练运算法则是解题关键． 8. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用乘法公式计算之后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的计算，能够熟练计算乘积是解题关键． 9. 已知点和点关于轴对称，则两点之间的距离为________________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了轴对称性质．根据关于y轴对称的点的坐标规律，横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出点B的坐标，即可求出两点之间的距离，即可作答． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， 则两点之间的距离为， 故答案为：4 10. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，逆用幂的乘方和同底数幂的除法是解题的关键．利用指数运算法则，将转化为，再代入已知值计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 11. 已知，，则______． 【答案】13 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可得出答案． 【详解】解:∵x+y=5，xy=6 ∴(x+y)2=x2+2xy+y2=25 ∴x2+y2=25−2xy=25−2×6=13 故答案为：13. 【点睛】本题考查的是完全平方公式：(a+b)2=a2±2ab+b2，熟练掌握此公式是解题的关键． 12. 已知等腰△ABC中，BD⊥AC，且BD=AC，则等腰△ABC的顶角度数为________________． 【答案】90°或30°或150° 【解析】 【分析】根据题意画出图形，利用BD⊥AC，且BD=AC求出该直角三角形另一锐角的度数，由此得到答案． 【详解】解：如图1，∵BD⊥AC，AB=BC， ∴，AD=CD=AC， ∵BD=AC， ∴AD=BD=CD， ∴， ∴； 如图2，∵BD⊥AC， ∴， ∵AB=AC，BD=AC， ∴BD=AB， ∵； 如图3， ∵BD⊥AC， ∴， ∵AB=AC，BD=AC， ∴BD=AB， ∴， ∴； 故答案为：90°或30°或150°． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30度直角边等于斜边一半的性质，熟记等腰三角形的性质依据题意画出图形辅助解答问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 把下列各式因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的基本方法． （1）先提公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先根据完全平方公式和多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后计算除法，化简后再代入x，y求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 15. 欢欢与乐乐两人共同计算，欢欢抄错为，得到的结果为；乐乐抄错为，得到的结果为． 式子中的a、b的值各是多少？ 请计算出原题的正确答案． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】根据由于欢欢抄错了第一个多项式中的a符号，得出的结果为，可知，于是；再根据乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为，可知常数项是，可知，可得到，解关于的方程组即可求出a、b的值； 把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】根据题意可知，由于欢欢抄错了第一个多项式中的a的符号，得到的结果为， 那么， 可得 乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为， 可知 即， 可得， 解关于的方程组，可得，； 正确的式子： 【点睛】本题主要是考查多项式的乘法，正确利用法则是正确解决问题的关键． 16. 如图，在中，点E、F在上，，，． （1）求证：． （2）当，，时，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，又由，即可证明； （2）由得到,由全等三角形对应角相等得，由得到，即可得到，由三角形内角和定理得到的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． 17. 如图，是由三个等边三角形组成的图形，请仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中画出一个直角三角形，使得AB为三角形的一条边； （2）在图②中画出AD的垂直平分线． （1）　　　　 （2）　　　 【答案】（1）如图，△ABE即为所求作；（2）如图，直线CF即为所求作． 【解析】 【分析】（1）四边形ACED和四边形ABCD都是菱形，对角线AC⊥AE，根据AB∥CD，可证得AB⊥AE，问题可解； （2）四边形ABCD是等腰梯形，是轴对称图形．对角线AC和BD关于对称轴对称，所以其交点F必在对称轴上，又因为BE的中点C也在对称轴上，经过点F，C画直线问题可解． 【详解】解：（1）如图①，连接AE，则△ABE即为所求作的直角三角形； （2）如图②，连接AE、BD交于点F，过点C、F画直线CF，则直线CF即为AD的垂直平分线． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的性质，轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如材料图，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． （1）图1中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含的式子表示： （2）图3中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含的式子表示； （3）图1，图2中空白部分面积、，分别为19、68，求的值． （友情提示：第（1）（2）问答案要求化简成多项式） 【答案】（1） （2） （3）的值为2 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式的法则，数形结合思想是解题的关键． （1）等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积，据此求解即可； （2）等于大长方形的面积减去7个小长方形的面积，据此求解即可； （3）先用，表示，再求出和的值，进而即可求解． 【小问1详解】 解：由图形得， ； 【小问2详解】 解：由图形得， ； 【小问3详解】 解：由题意得，， ， ∴， ∴ ， 解得， ∴ ， 由图可得， ∴． 19. （1）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接，则的度数为______． （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①求的度数； ②求线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，② 【解析】 【分析】（1）先证出，那么，根据全等三角形证出，求出，得出，从而证出； （2）证明，得出，进一步得到，再证明，即可得到． 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴，， ∴ ． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． 故答案为： （2），． 理由：∵和均为等腰直角三角形， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． 20. 阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式·如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知：，因为，所以当，即时，的最小值是． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）利用配方法分解因式：； （2）利用配方法求多项式的最小值； （3）已知分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）当，的最小值是 （3） 的形状是等边三角形， 理由如下： ∵ ∴ ， 即： 于是，且， ∴， 即的形状是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解及其应用，根据材料学会运用配方法因式分解是解题的关键． （1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答； （3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到，即可解答． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴当，的最小值是； 【小问3详解】 略 五、解答题，（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 如图，在中，，，将一个足够大的直角三角尺（，）按如图方式放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，且与边的夹角，斜边交边于点D． （1）当时，判断的形状，并加以说明； （2）当时，求此时的长； （3）当点P在滑动时，是否存在是等腰三角形的情形？若存在，请求出夹角的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 是直角三角形，其理由是： ， ， ， ． 是直角三角形． （2） （3）存在是等腰三角形，的值为或或． 【解析】 【分析】此题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握平行线的性质、等边对等角和所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键． （1）由得到，求出为直角，即可得出是直角三角形； （2）先求出，再求出，然后根据三线合一和30°所对的直角边是斜边的一半即可得出结论； （3）根据等腰三角形腰的情况分类讨论：①当时，②当时，③当时． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ，， ， ． ， ． 在中，． 【小问3详解】 存在是等腰三角形，其理由是： ①当时，则， 此时． ②当时，则． ．此时． ③当时，则． 此时． 综上所述，的值为或或． 22. 阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法， 下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______________（填代号）． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为________________． （3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． （4）证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】（1）C （2） （3） （4） 解： ， 令， 原式 ， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴代数式的值一定是某个整数的平方． 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底． （1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式； （2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可； （3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可． （4）先整理原式，再令，整理原式，因为为正整数，得为正整数，即代数式的值一定是某个整数的平方． 【小问1详解】 解：观察做题过程，得该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设． ． 【小问4详解】 略 六、解答题（12分） 23. （1）【母题呈现】如图的三角形纸片中，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长． （2）【知识应用】在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． ①如图1，若，求的面积； ②如图2，求证：平分； ③如图3，过点作于，若，求的长． 【答案】（1）； （2）①； ②证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分； ③ 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，折叠的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）折叠得到，进而得到，，进而求出的长，再根据三角形的周长公式结合等量代换进行求解即可． （2）①根据折叠得出，，，根据求出结果即可； ②过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可； ③过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接，证明，根据，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】（1）解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． （2）①根据折叠可知：，，， ； ②略 ③如图，过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接， 由题可知，，， ， 由（2）可知， ， ， ， ∵，， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期12月份阶段性学习质量检测 初二数学试卷 全卷满分120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下面不是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2. 下列计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，点D在边上，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 或2 6. 如图，在中，，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算______． 8. 已知，则_____． 9. 已知点和点关于轴对称，则两点之间的距离为________________． 10. 若，，则______． 11. 已知，，则______． 12. 已知等腰△ABC中，BD⊥AC，且BD=AC，则等腰△ABC的顶角度数为________________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 把下列各式因式分解： （1） （2） 14. 先化简，再求值：，其中 15. 欢欢与乐乐两人共同计算，欢欢抄错为，得到的结果为；乐乐抄错为，得到的结果为． 式子中的a、b的值各是多少？ 请计算出原题的正确答案． 16. 如图，在中，点E、F在上，，，． （1）求证：． （2）当，，时，求的度数． 17. 如图，是由三个等边三角形组成的图形，请仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中画出一个直角三角形，使得AB为三角形的一条边； （2）在图②中画出AD的垂直平分线． （1）　　　　 （2）　　　 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如材料图，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． （1）图1中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含的式子表示： （2）图3中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含的式子表示； （3）图1，图2中空白部分面积、，分别为19、68，求的值． （友情提示：第（1）（2）问答案要求化简成多项式） 19. （1）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接，则的度数为______． （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①求的度数； ②求线段之间的数量关系，并说明理由． 20. 阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式·如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知：，因为，所以当，即时，的最小值是． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）利用配方法分解因式：； （2）利用配方法求多项式的最小值； （3）已知分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 五、解答题，（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 如图，在中，，，将一个足够大的直角三角尺（，）按如图方式放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，且与边的夹角，斜边交边于点D． （1）当时，判断的形状，并加以说明； （2）当时，求此时的长； （3）当点P在滑动时，是否存在是等腰三角形的情形？若存在，请求出夹角的值；若不存在，请说明理由． 22. 阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法， 下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______________（填代号）． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为________________． （3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． （4）证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 六、解答题（12分） 23. （1）【母题呈现】如图的三角形纸片中，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长． （2）【知识应用】在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． ①如图1，若，求的面积； ②如图2，求证：平分； ③如图3，过点作于，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $