精品解析：河南省实验中学2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试题

2026-2027学年上期阶段性测评 九年级数学 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（ ） x 0 1 2 5 A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 3. 如图，为正方形中边上一点，为对角线，连接，交于点，若，则的度数为( ) A. B. ° C. ° D. 4. 如图，将一个正方形变为一个含角的菱形，则下列说法正确的是（ ） A. 周长变小 B. 面积变大 C. 两条对角线的夹角的度数变大 D. 两条对角线长度的和变小 5. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高.动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1，长方形 PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=（ ）秒时，S1=2S2． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（ ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则=_______． 12. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 13. 如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示） 14. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________． 15. 如图，在中，，，点是边的中点．点为边上一点，连接，交于点．若，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 【阅读材料】 老师的问题： 如图，已知中，，是斜边上的中线，求作菱形． 小丽的做法： （1）取的中点； （2）连接并延长到点，使； （3）连接，． 四边形即为所求作的菱形． 【解答问题】 （1）请根据小丽的作法利用尺规作图补全图形，不写作法，保留作图痕迹； （2）请根据材料中的信息，证明四边形是菱形． 18. 如图，的对角线，相交于点O，E是边的中点，连接．过点O，E作直线的垂线，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，，则矩形的面积为______． 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 20. 如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 21. 网络直播为农产品销售开辟了重要渠道，不少果农借助直播带货实现销售转型．河阴石榴是我省极具代表性的特色果品，已知该石榴若按每箱70元销售，平均每天可售出100箱；扣除种植与人工成本后，每箱可获利26元，另外每日需支付直播推广费300元，每箱还需额外支付纸箱打包费2元．经直播大数据统计：每箱石榴售价每降低1元，日销售量就增加10箱．为提升经营收益，果农决定下调售价． （1）设每箱降价元，则每天可以售出__________箱．（用含的代数式表示） （2）若果农希望每日纯利润达到2550元，那么每箱石榴的售价应该定为多少元？ 22. 在北师大版七年级下册第一章中，我们知道形如的代数式叫做完全平方式，其实我们也可以将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最值，求的最小值． 解：． ∵不论取何值，总是非负数，即， ∴，即当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： （1）直接写出多项式的最小值为___________； （2）若，比较、的大小（写出比较过程）； （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 23. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期阶段性测评 九年级数学 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（ ） x 0 1 2 5 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 3. 如图，为正方形中边上一点，为对角线，连接，交于点，若，则的度数为( ) A. B. ° C. ° D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质；根据正方形的性质可得，，则，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵为正方形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，将一个正方形变为一个含角的菱形，则下列说法正确的是（ ） A. 周长变小 B. 面积变大 C. 两条对角线的夹角的度数变大 D. 两条对角线长度的和变小 【答案】D 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，如图，连接，，，，再分别计算正方形，菱形的周长，面积，对角线的长，再逐一判断即可． 【详解】解：设正方形的边长为a， ∵将一个正方形变为一个含角的菱形， ∴前后变化边长不变，即它们的周长相等，故A错误； 如图，连接，，，， ∵四边形是正方形，四边形是菱形，且， ∴，， ∴是等边三角形，， 它们的对角线的夹角都为，故C错误， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为，两条对角线的和为， ∵正方形的面积为，两条对角线的和为，且， ∴变形后面积变小了，故B错误， ∵，且， ∴， ∴变形后两条对角线的和变小了，故D正确． 5. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键． 6. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余田的面积为468列出方程即可． 【详解】解：设入口的宽度为x m，由题意得： （30-2x）（20-x）=468． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 7. 如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，由相似三角形的判断方法，即可判断．关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：A、，，故该选项不符合题意； B、，，故该选项不符合题意； C、，，故该选项不符合题意； D、由可得，，，故该选项符合题意； 故选：D． 8. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、完全平方公式的几何背景，通过图形直观得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 【详解】解：整理一元二次方程， 可得：， 即长为，宽为的长方形的面积为， 构造边长为的正方形， 则正方形的面积是， 这个正方形的面积又是个长为、宽为的长方形的面积之和再加上中间的边长为的小正方形的面积， 即， ， 解得：， 能正确说明方程解法的构图，如下图所示， 故选：B． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高.动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1，长方形 PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=（ ）秒时，S1=2S2． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后根据S1=2S2，即可列方程求解． 【详解】解：∵，边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵PE∥BC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出S1和S2是关键 ． 10. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（ ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义“倍方程”，一元二次方程的解法与根与系数的关系，逐个验证每个说法即可得到结论． 【详解】解：①解方程， 因式分解得， 解得， ，满足2倍方程定义，①正确； ②方程的两根为， ∵方程是3倍方程， 故分两种情况讨论： 当时，，解得， 当时，，解得， 或，故②错误； ③若，则方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 由求根公式得， 即， ∴，满足2倍方程定义，故③正确； ④设方程的两根为， 由根与系数的关系得：，， 则，， 将代入得：， 两边同乘整理得：，故④正确． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则=_______． 【答案】8 【解析】 【详解】∵ ∴ ∴ 12. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【解析】 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 13. 如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式．先根据黄金矩形中，且，求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”的长．根据黄金矩形的定义求出的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键． 【详解】解: ∵黄金矩形中，且， ∴， ∵四边形是正方形， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ∴“黄金螺线”的长为， ． 故答案为：． 14. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， ∵一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵菱形面积为12， ∴， 解得：， ∴菱形的边长为 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点是边的中点．点为边上一点，连接，交于点．若，则的长为__________． 【答案】 或 【解析】 【分析】作于，利用勾股定理求出和的长，根据点在上的位置分两种情况讨论；过点作，交于点，利用平行线分线段成比例定理和相似三角形性质，建立与已知线段的关系式，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 在中，， 在中，， 是的中点， ∴， 点在边上， 点可能在点的左侧或右侧，需分两种情况讨论： 情况一：当点在点的右侧时（靠近点）， ，， 如图，过点作，交于点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ，即， ∴， ； 情况二：当点在点的左侧时（靠近点）， ，， 如图，过点作，交于点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ，即， ， ； 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可． （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 17. 【阅读材料】 老师的问题： 如图，已知中，，是斜边上的中线，求作菱形． 小丽的做法： （1）取的中点； （2）连接并延长到点，使； （3）连接，． 四边形即为所求作的菱形． 【解答问题】 （1）请根据小丽的作法利用尺规作图补全图形，不写作法，保留作图痕迹； （2）请根据材料中的信息，证明四边形是菱形． 【答案】（1） 如图所示，四边形即为所求； （2） 证明：∵中，，是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图垂直平分线，菱形的判定，三角形中位线的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半． （1）先作线段的垂直平分线，交于点M，连接，并延长，以点M为圆心，的长为半径画弧，交射线与点E，连接，即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据作图可得M是的中点，则是的中位线，得出，，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，的对角线，相交于点O，E是边的中点，连接．过点O，E作直线的垂线，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，，则矩形的面积为______． 【答案】（1） 证明：，， ，， 四边形是平行四边形， ， E是边的中点， ， 是的中位线， ，即， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、矩形的判定及性质、菱形的性质、勾股定理、三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，由E是边的中点可得，根据三角形中位线定理得到，即，进而推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论； （2）根据菱形的性质得到，求得，，，由勾股定理求出，根据三角形面积公式得到，根据矩形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是菱形，，， ， ，，， ， E是边的中点， ， ， ， ， 矩形的面积． 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）将代入方程，求出，再根据因式分解法解二元一次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程，得：． 解得：． 当时，方程为， ， ，， 方程的另一个根是． 20. 如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， （2）证明：四边形是正方形， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形，得，，然后通过“”证明 即可； （2）由四边形是正方形，得，所以，由全等三角形性质可得，，故有，然后证明，得，即，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 网络直播为农产品销售开辟了重要渠道，不少果农借助直播带货实现销售转型．河阴石榴是我省极具代表性的特色果品，已知该石榴若按每箱70元销售，平均每天可售出100箱；扣除种植与人工成本后，每箱可获利26元，另外每日需支付直播推广费300元，每箱还需额外支付纸箱打包费2元．经直播大数据统计：每箱石榴售价每降低1元，日销售量就增加10箱．为提升经营收益，果农决定下调售价． （1）设每箱降价元，则每天可以售出__________箱．（用含的代数式表示） （2）若果农希望每日纯利润达到2550元，那么每箱石榴的售价应该定为多少元？ 【答案】（1） （2）每箱石榴的售价应定为61元或65元 【解析】 【分析】（1）根据降价金额与日销量增加量的关系，结合原销量列代数式； （2）以每日纯利润为等量关系列一元二次方程，求解后计算对应售价． 【小问1详解】 解：∵原日均销售量为100箱，每箱降价1元日销售量增加10箱， ∴降价元时，日销售量增加箱 ∴每天可以售出箱； 【小问2详解】 解：由题意，每箱降价元后，扣除种植与人工成本的单箱利润为元，扣除每箱2元的打包费后，单箱实际利润为元，每日需支付固定推广费300元，纯利润为2550元， 列方程得：， 整理得：， 解得：，， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， 均符合下调售价的要求， 答：每箱石榴的售价应该定为61元或65元． 22. 在北师大版七年级下册第一章中，我们知道形如的代数式叫做完全平方式，其实我们也可以将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最值，求的最小值． 解：． ∵不论取何值，总是非负数，即， ∴，即当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： （1）直接写出多项式的最小值为___________； （2）若，比较、的大小（写出比较过程）； （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干已有的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合完全平方式的非负性得出，即可求解； （3）先根据三角形的面积公式列式得四边形面积为，结合，可知当时，四边形面积的最大值为．即可作答． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴ ∴当时，，即有最小值； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 故． 【小问3详解】 解：∵在四边形中，．， ∴四边形面积为： ， ∵， ∴， 则当时，四边形面积的最大值为． 23. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 【答案】（1） （2） ， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）4 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 问题发现：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 变式探究：略 【小问3详解】 解决问题：如图3，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ， 在中，，即， 解得，（舍去），， ∴正方形的边长为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $