2026-2027学年冀教版数学九年级上册期中仿真模拟试卷二（范围：1-3章）

冀教版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷二（范围：1-3章） 一、选择题 1．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≤2 B．k<2且k≠1 C．k≤2且k≠1 D．k≥2且k≠1 2． 摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点E，以点E为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（　　） A． B． C． D． 3．为了在2025年高中生创新能力大赛中取得优异成绩，某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组，参加本次比赛，下表反映的是各小组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛，那么应选的小组是（　　） 　 甲小组 乙小组 丙小组 丁小组 92 92 95 95 1 1.3 1 1.6 A．甲小组 B．乙小组 C．丙小组 D．丁小组 4．已知关于x的一元二次方程（c-2）x2+2x+1=0有实数根，则c的取值范围是（　　） A．c≥-3且c≠2 B．c≠2 C．c≤3 D．c≤3且c≠2 5．如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（　　） A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确 C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确 6．在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况.如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值)和上边缘（最大值)，中间箱体的底端是下四分位数，箱体中部的“x”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数，异常值是明显偏离样本的个别值，已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是 （　　) A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是80 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 7．阿基米德曾说：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理．图甲是用杠杆撬石头的示意图，当用力向下压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙，动力臂OA=150cm， 阻力臂OB=50cm， BD=20cm，则AC的长度是(　　) A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm 8．浙江城市篮球联赛(简称“浙BA”)城市争霸赛的参赛队伍分成A、B两组，且每组队伍数量相同.按照比赛规则，组内比赛时每两支队伍之间需进行两场比赛，A、B两组共需比赛220场组内赛，问共有几支队伍参赛?设共有x支队伍参赛，根据题意所列方程正确的为(　　) A．2x(x-1)=220 B．x(x-1)=220 C． D． 9．我们称形如（）的方程为关于x的“标准二次方程”。若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如2（x﹣3）2﹣4＝0与3（x﹣3）2﹣4＝0就是“伙伴方程”．已知2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是伙伴方程，那么代数式ax2+bx+2026能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 10．如图，已知菱形ABCD，AD=4，点E是CD上一点，连结BE，△BCE沿BE翻折，点C的对称点F刚好落在边AD上，BF，BE与对角线AC分别交于点 G，H，若AF=EF，则CH的长度为（　　) A． B． C． D． 二、填空题 11．已知一组正整数a，1，b，b，3有唯一众数8，中位数是5，则这一组数据的平均数是　 　. 12．已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则　 　. 13．如图，在中，点D，E分别在边，上，且，若，，的面积是2，则的面积是　 　． 14．如图，与位似，点O为位似中心．已知，则与的面积比为　 　． 15．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式 （其中 p，q，c均是不为零的常数)及这两个代数式的一些信息，如表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （2x+a) （x+b) （x+a) （-x+b) （说明： a，b，m，n，k1， k2均为常数) 有学生探究得到以下四个结论： ①若p+q=12， 则 2m+6=n； ②若 p=q=2，则 ③若有且只有一个 x的值，使代数式 的值为 0，则 p-4q=0； ④若 m-n=2，则 c的值不可能是-5. 其中所有正确结论的序号是　 　. 16．在中，，D为AC的中点，分别交直线AB，BC于点E，F，且，连接EF，当时，EF的长为　 　． 三、解答题 17．解方程：． 18．（1）已知，且a+b-2c=6，求a的值. （2）已知，求x的值. 19．已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 20． 在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）以A点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到． （2）在线段上画一个点M，使． 21．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是　 　(填“甲”或“乙”)；甲队员得分的中位数为27.5，乙队员得分的中位数为　 　； （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好； （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1＋平均每场篮板×1.5＋平均每场失误×(－1)，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 22．如图，在中，对角线和相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F，，求的长度． 23．某公园有一块长30米，宽20米的长方形空地，现将其划分成一个长方形区域I（阴影部分）和一个环形道路区域II（空白部分），如图1所示．区域II道路的宽度相等，且不超过5米．其中区域种植甲、乙两种花卉，且满足，设道路宽为米． （1）请用含的代数式表示长方形的面积； （2）若长方形的面积为336平方米，求道路宽的值； （3）若点为的中点，建设成本如图2，建造总费用恰好为50000元（建造总费用包含花卉种植费和道路铺设费），求道路宽的值． 24．教材母题：北师大（2024版）教材P21习题1.2第4题，已知△ABC为等边三角形，其边长为4.点P是AB边上一动点，连接CP. （1）如图1，点E在AC边上且AE=BP，连接BE交CP于点F. ①求证：BE=CP； ②求∠BFC的度数； （2）变式提升： 如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D.设BP=x，CD=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）拓展应用： 如图3，在（2）的条件下，延长BC至点E，且CE=BP，连接QE，DE.在点P运动过程中，当△CEQ的周长为时，求DE的长. 25．综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决： （3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有实数根 ∴Δ≥0且k-1≠0，即Δ=4-4(k-1)≥0且k≠1 ∴k≤2且k≠1 故答案为：C. 【分析】若一元二次方程没有实数根，则根的判别式Δ=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围.还要注意二次项系数不为0. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：在Rt△ECD中， DE=== 由题意EF=DE=， ∵EF=EC+CF， ∴变形得CF=EF−EC， 代入数值： CF=−1 故答案为：A. 【分析】由正方形边长与中点定义，得到直角三角形两条直角边EC=1、CD=2；由勾股定理算出圆半径DE，结合同圆半径相等得到EF=DE；由线段和差EF=EC+CF，变形求出CF；利用黄金分割比例验证结果，确认答案正确. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：由表格可知，丙小组的平均成绩最高，且方差最小， ∴丙小组的成绩较好且状态稳定， 故应选的小组为丙小组； 故选C． 【分析】 需先比较各小组的平均数确定成绩好的小组，再利用方差确定状态稳定的小组，综合选择即可. 4．【答案】D 【解析】【解答】根据题意可知△≥0且c-2≠0， 即， 解得 c≤3且c≠2 。 故答案为：D。 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据方程有实数根，可知△≥0，然后可得到关于c的不等式，同时要注意二次项系数不为零。 5．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故甲同学说法正确； 若， ∵， ∴， ∴，故乙同学说法正确； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中点，故丙同学说法正确； 综上，三个同学说法都正确， 故选：． 【分析】由等腰三角形的性质可得，利用三角形外角性质可得，即可，即可判断甲；证明即可判断乙；证明，由等腰三角形的性质即可判断丙；据此即可求解． 6．【答案】C 【解析】【解答】解：对于A，由图可得二班成绩比一班成绩更集中，故A错误；对于B，由图可得一班成绩的下四分位数是80，故B错误；对于C，由图可得一班有异常值超过140分，故C正确；对于D，由图可得一班的平均分低于二班的平均分，故D错误， 故选：C. 【分析】利用给定定义逐个选项分析求解即可. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：因为AC∥BD， 所以△OAC∽△OBD， 所以 因为 OA=150cm， OB=50cm， BD=20cm， 所以， 所以AC=（cm） 故答案为：A。 【分析】首先根据AC∥BD，得出△OAC∽△OBD，进而得出，进一步即可得出AC的长。 8．【答案】D 【解析】【解答】解：设共有支队伍参赛，每组队伍数量为，每小组比赛场次为， 列方程为，即， 故选：D． 【分析】根据分成两组，则每组队伍数量为，每两队之间都赛两场，每小组比赛场次为，根据题意列方程即可解题． 9．【答案】D 【解析】【解答】解：由2(x-1)2-1=0，得伙伴方程的形式为：k(x-1)2-1=0， 展开：k(x2-2x+1)-1=0，即kx2-2kx+(k-1)=0， 对比方程(a+1)x2+(b-2)x-2=0得： 则k=a+1，-2k=b-2，k-1=-2， 解得k=-1，a=-2，b=4， 则代数式-2x2+4x+2026=-2(x2-2x)+2026=-2(x-1)2+2028， 因为-2(x-1)2≤0，当x=1时，代数式取最大值2028。 故答案为：D. 【分析】先根据伙伴方程定义：两个方程的标准形式为k1(x一h)2+p=0、k2(x一h)2+p=0，即 h=1，p=-1；然后把方程(a+1)x2+(b-2)x-2=0化为标准二次方程k(x-1)2-1=0，展开后对比系数，求出a、b；最后代入代数式ax2+bx+2026，即可求解最大值， 10．【答案】D 【解析】【解答】解：由题可知，， ， 在和中， ， ， ， ， 在菱形中，，为的角平分线， ，则， ， ， 解得，则， ， 即，则， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， 整理得，解得或（舍去）， 即． 故答案为：D. 【分析】根据菱形的性质和翻折的性质得到，即可得到，然后推理证明，根据对应边成比例求出CH长解答即可． 11．【答案】5 【解析】【解答】解：∵这组数据有唯一众数8，∴b为8. ∵中位数是5，∴a是5， ∴这一组数据的平均数为＝5. 【分析】根据众数、算术平均数和中位数的概念求解. 12．【答案】-2 【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为， ∴-2 故答案为：-2 【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案. 13．【答案】12.5 【解析】【解答】解：， ， ∴，即， ∴． 故答案为：12.5． 【分析】由DE∥BC判定△ADE∽△ABC，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，代入已知面积与线段长度，计算得出S△ABC​的值。 14．【答案】 【解析】【解答】与位似，， 与的位似比为， 与的相似比为， 与的面积比为， 故答案为：． 【分析】 首先根据位似图形的性质确定和的相似比，再利用相似三角形“面积比等于相似比的平方”的性质计算面积比即可得到结果. 15．【答案】①④ 【解析】【解答】解：∵ (2x+a)(x+b)=2x2+(a+2b)x+ab (x+a)(-x+b)=-x2+(b-a)x+ab ∴p=a+2b，c=ab，q=b-a，，，， ①∵， ∴ ∵p+q=12， ∴q=12-p ∴ ∴2m+6=n；故正确； ②∵p=q=2， ∴ 解得： ∴；故错误； ③由题意可知：当2x2+px+c=0时，方程有两个相等的实数根， ∴Δ=b2-4ac=p2-8c=(a+2b)2-8ab=(a-2b)2=0， ∴a=2b， ∴p=4b，q=-b. ∴p-4q=4b-4×(-b)=8b≠0；故错误； ④当m-n=2，即， ∴p+2q=-8 ∴a+2b+2(b-a)=4b-a=-8， ∴a=4b+8 ∴c=ab=b(4b+8)=4b2+8b=4(b+1)2-4， ∵4(b+1)2≥0， ∴c=4(b+1)2-4≥-4，所以c的值不可能是-5，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④ 故答案为：①④. 【分析】由题意易得p=a+2b，c=ab，q=b-a，，，，，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案. 16．【答案】 【解析】【解答】解：过点D作DJ⊥AB于点J，DK⊥BC于点K ∵∠DJB=∠B=∠DKB=90° ∴四边形DJBK为矩形 ∴DJ∥BC，DK∥AB ∵AD=DC ∴AJ=JB，BK=CK ∴， ∵∠EDF=∠JDK=90° ∴∠JDE=∠FDK ∵∠DJE=∠DKF=90° ∴△AJE∽△DKF ∴ ∵AE=1， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【分析】过点D作DJ⊥AB于点J，DK⊥BC于点K，根据矩形判定定理可得四边形DJBK为矩形，则DJ∥BC，DK∥AB，根据边之间的关系可得AJ=JB，BK=CK，，，再根据相似三角形判定定理可得△AJE∽△DKF，则，根据勾股定理可得DE，再代入等式可得DF，再根据勾股定理即可求出答案. 17．【答案】解：， 因式分解，得：， ∴或， 解得，． 【解析】【分析】把因式分解后，求解出来即可得答案． 18．【答案】（1）解：设 =k，则a=6k，b=5k，c=4k， ∵a+b-2c=6， ∴6k+5k-2×4k=3k=6 ∴k=2 ∴a=6k=12， 答：a的值是12. （2）解：∵ ， ∴x=×1.5， 解得：x=， 答：x的值是. 【解析】【分析】（1）设 =k，用含k的代数式表示a，b，c，再代入求值即可； （2）根据比例的性质进行计算即可. 19．【答案】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个实数根，则判别式，解不等式即可求出答案. （2）根据二次方程根与系数的关系可得，再根据完全平方公式化简等式，再整体代入，解方程可得，再结合二次方程判别式即可求出答案. （1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 20．【答案】（1）解：如图，，即为所求； （2）解：如图，取格点，，连接交于点， ， ， ，故点即为所求． 【解析】【分析】（1）本题考查位似图形的作图，核心是位似变换的性质：位似中心与对应点的连线共线，且对应点到位似中心的距离比等于相似比。以点为位似中心，分别延长、至原长度的2倍，确定点、的位置，顺次连接三点即可得到放大2倍的位似三角形； （2）本题考查利用相似三角形分线段成比例的作图，通过构造平行的线段形成相似三角形，利用相似三角形对应边成比例实现线段的比例分割。选取合适的格点构造一组平行线段，使其长度比为1：3，连接两点形成的直线与的交点即为所求的点，由平行线判定三角形相似，结合相似三角形的性质可验证线段比例符合要求。 21．【答案】（1）甲；29 （2）解：因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以这六场比赛中，甲队员的表现更好．(答案不唯一，合理即可) （3）解：甲的综合得分为26.5×1＋8×1.5＋2×(－1)＝36.5. 乙的综合得分为26×1＋10×1.5＋3×(－1)＝38. ∵38＞36.5， ∴这六场比赛中，乙队员的表现更好． 【解析】【解答】解：(1)由折线图可得甲得分更稳定， 把乙的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三次、第四次的成绩分别为28和30， 故中位数为 ， 故答案为：甲，29； 【分析】(1)根据中位数的计算方法求解即可； (2)根据平均数的概念求解即可； (3)根据“综合得分”的计算方法求出甲和乙的得分，然后比较求解即可. 22．【答案】解：如图，过作，交于， ∴， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的长为． 【解析】【分析】如图，过作，交于，根据 平行于三角形一边的直线，与另外两边相交，所得三角形与原三角形相似 ，则，根据相似三角形对应边成比例，得，由平行四边形的性质可得，解得OG，BG的长，根据两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等证明，则，计算求解即可． 23．【答案】（1）解：． （2）解：由题意得 ， 解得，（舍去）， 答：道路宽为3米． （3）解：∵点为的中点，，四边形是矩形，∴，， ∴， 由题意知： 环形道路的面积为：， 花卉甲的种植面积为：， 花卉乙的种植面积为：， ∴， 整理得： 解得（舍去） 所以当道路宽为5米时，建造总费用为50000元． 【解析】【分析】（1）利用矩形的面积公式，即可利用含x的代数式表示面积； （2）将长方形的面积代入（1）中的代数式，可列得方程，求解即可； （3）先利用举行的性质，可证得，再分别求出环形道路，花卉甲和乙的种植面积，进而建立一元二次方程，即可求解. （1）解：． （2）解：由题意得 ， 解得，（舍去）， 答：道路宽为3米． （3）解：∵点为的中点，，四边形是矩形， ∴，， ∴， 由题意知： 环形道路的面积为：， 花卉甲的种植面积为：， 花卉乙的种植面积为：， ∴， 整理得： 解得（舍去） 所以当道路宽为5米时，建造总费用为50000元． 24．【答案】（1）解：①证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠A=∠ABC=60°， ∵AE=BP， ∴△ABE≌△BCP（SAS）， ∴BE=CP；②120° （2）解：如图，在AC上截取AG=BP=x，连接BG，QG， 同(1)①的方法知，BG=CP，由旋转知，∠PCQ=120°，CP =CQ， ∴ BG =CQ， 由(1)②知，∠BFC=120°， ∴∠BFC=∠QCP， ∴BG//CQ， ∴四边形BCQG是平行四边形， ∴CD =CG， ∵等边△ABC的边长为4， ∴AC=4， ∴CG = AC- AG = 4-x， ∴CD=(4 - x) = 2-x（0≤x≤4)； 即： （3）解：(3)如图，延长CE至M，使CM=BC=4，连接QM. ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC， ∴AC=MC， ∵∠PCQ=120°， ∴∠BCP+∠MCQ=60°， ∵∠BCP+∠ACP =60°， ∴∠ACP=∠MCQ， ∵CP=CQ， ∴△ACP △MCQ(SAS)， ∴MQ=AP=4-x，∠A=∠M， ∴∠ACB=∠M=60°， ∴EM = CM -CE =4-x， ∴EM=QM， ∴△EMQ是等边三角形， ∴QE=EM， ∵△CEQ的周长为4+， ∴ CE+ QE+ CQ = CE + EM+ CQ = CM+ CQ =4+CQ =4+， ∴CQ =， 过点Q作QN⊥EM，则MN=EM=2-x， QN ==(2 -x) ∴CN =CM-MN=2+x 根据勾股定理得，CN2+QN2=CQ2， (2+x)2+[(2-x）]2=()2， 解得x=1或3， 当x=1时，BP =CE =1，CD=y =2-= 过点D作DH⊥BC于点H，则CH=CD=，DH== ∴EH =CH + CE= ∴DE== 当x=3时，BP =CE=3，CD=2-=， ∴CH=CD=，DH==，EH=+3=， ∴DE== 综上所述，DE的长为或 【解析】【解答】解：（1）②由①知△ABE≌△BCP， ∴∠ABE=∠BCP， ∵ △ABC为等边三角形， ∴∠ABC=60°， 即∠ABE+∠CBE=60°， ∴∠BCP+∠CBE=60°， ∴∠ BFC =180°-（∠BCP+∠CBE）=180°-60°=120°； 故答案为：120°； 【分析】（1）①根据SAS可证得△ABE≌△BCP，即可得出BE=CP；②由①知△ABE≌△BCP，即可得出∠ABE=∠BCP，进而可得出∠BCP+∠CBE=60°，进而根据三角形内角和定理，即可得出∠ BFC =180°-（∠BCP+∠CBE）=180°-60°=120°； （2）如图，在AC上截取AG=BP=x，连接BG，QG，首先证明四边形BCQG是平行四边形，得出CD =CG，进而得出CG = AC- AG = 4-x，进一步可得出CD=(4 - x) = 2-x（0≤x≤4)，即； （3）如图，延长CE至M，使CM=BC=4，连接QM.首先根据等边三角形的性质可得出△ACP△MCQ，进而得出MQ=AP=4-x，∠A=∠M，再通过证明△EMQ是等边三角形，可得出CQ = ，过点Q作QN⊥EM，根据勾股定理可得出(2+x)2+[(2-x）]2=()2，解得x=1或3，当x=1时，DE==；当x=3时，DE==，综上所述，DE的长为或。 25．【答案】解：四边形是正方形， 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：，， 四边形是矩形， 四边形是正方形； ， 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ． 由旋转的性质，得，，， ， ， ， 由折叠的性质，知， 在中，， ，即； 解：或， 理由如下： 如下图所示， ， ， 在中，， 根据旋转的性质可得：， 则， ，， ，． 【解析】【分析】根据矩形的四个角都是直角可得，根据折叠的性质可证，，从而可证四边形是正方形； 根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得：，根据平行线的判断方法得出，进而得，根据旋转的性质可得，，从而可证，根据相似三角形的性质可得； 利用勾股定理可得，根据旋转的性质可得：，从而可求，，，根据三角形的面积公式求解即可． 学科网（北京）股份有限公司 $